Метод решения интегральных уравнений типа уравнения Фредгольма

МЕТОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [c.201]

Обобщенный зональный метод, описанный в разд. 5.2, приводит к необходимости решения системы интегральных уравнений для плотностей потоков эффективного излучения. В настоящем разделе будет дан краткий обзор методов решения интегральных уравнений типа уравнения Фредгольма, к которым сводится эта задача. Для более детального ознакомления с этим вопросом читателю следует обратиться к работам [1—3]. [c.201]

Решение системы (1) — (12) связано с большими трудностями. Поэтому были рассмотрены различные возможности численного решения задачи. Применение операционного исчисления Лапласа по переменной времени приводит к системе интегральных или (при несколько иной форме решения) интегро-дифференциальных уравнений. Ядра этих уравнений представляют собой решение уравнений теплопроводности и, строго говоря, являются бесконечными рядами по собственным значениям данной краевой задачи. В этих системах остаются две независимые переменные (время и высота в насадке), т. е. имеются двойные интегралы, причем и по Ро и по 2 как с переменным, так и с постоянным верхним пределом получается своеобразная смесь интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Поэтому известные аналитические методы, используемые для решения уравнений типа Фредгольма или Вольтерра в отдельности, в данном случае неприменимы. Конечно, полученные интегральные (интегро-дифференциальные) уравнения могут быть решены одним из известных методов численно, тем более, что численные методы для решения интегральных уравнений хорошо исследованы и их сходимость проверена. [c.338]

Применение метода интегральных уравнений, или метода потенциала, для получения решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных уходит своими корнями в классический анализ. Многие обозначения и терминология в этой области связаны с развитыми в девятнадцатом веке представлениями для сил притяжения в ньютоновских гравитационных полях. Параллельно разрабатывались методы решения задач о нагруженных упругих телах. Для частных конфигураций были найдены функции Грина, позволяющие находить явные решения интегральных уравнений. Вслед за классической работой Фредгольма появилось большое число исследований по теории потенциала, посвященных построению всевозможных доказательств существования и единственности применительно к конкретным частным типам математических задач. [c.9]

Число публикаций по развитию и применению МГЭ в различных задачах весьма велико и не поддается полному описанию. Появление и прогресс МГЭ обусловлены тем, что большой класс краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями параболического, эллиптического и гиперболического типов, сводится к интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма. Методы решения краевых задач на базе интегральных уравнений считаются более точными и экономичными, чем методы, основанные на аппроксимации дифференциальных операторов (МКЭ, МКР) [89]. В этой связи развитие и модификация различных вариантов МГЭ является актуальной научной проблемой, по которой защищается много кандидатских и докторских диссертаций в различных странах мира. Большое значение для обучения студентов имеет внедрение в учебный процесс современных методов расчета, в частности МГЭ, при этом [c.3]

Заметим, что уравнение (2.70) в отличие от (2.65) и (2.68) является интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода. Известно, что в общем случае рещение уравнения 1-го рода является некорректно поставленной задачей, так как малые изменения правой части могут приводить к большим изменениям решения, что вызывает неустойчивость и необходимость применения методов регуляризации. Однако в данном случае эта проблема не возникает, так как ядро G(z, у) на участке интегрирования имеет особенность в точке jT = x Эта особенность является слабой [типа Ijr или п (кг) в трехмерном и двумерном случаях соответственно], и так же как в формуле (2.20) несобственный интеграл существует в обычном смысле. [c.83]

Определение плотности геплового потока на границе тела ( или коэффициента теплообмена ) можно свести к некорректной задаче решения интегрального уравнения Фредгольма I рода. В обратных задачах обоих типов прямые методы веприменимы, в связи с чем использован метод пробных решений, дающий в некоторых случаях приемлемые по точности результаты [ 1J. Степень "устойчивости" метода исследована в процессе численного анализа вяИяния ошибок эксперимента на точность решения обратных задач. [c.342]

Решение прямой задачи по методу сеток заключалось в численном решении в решетчатой области задачи Дирихле для гармонических функций Ф" (х, у) или а(х, у), или, наконец, задачи Неймана для функции Ф(х, у). Эти же задачи сводились к решению интегральных уравнений типа Фредгольма, причем интегралы вычислялись вдоль контуров профилей и их ядра сушественно зависели как от формы просЬилей, так и от положения точки на профиле (дуги профиля). По методу конформных отображений решение краевой задачи для функций Ф(х, у) и ФДх, у) отпадает, так как эти функции определены в канонических областя> , зато возникает новая задача нахождения конформного отображения данной решетчатой области на каноническую, т. е. построения отображающей функции z Z). Решение последней задачи, по существу, также оказывается задачей Дирихле для гармонических функций х( , т ), у( , т ) или aгg т ), [c.145]

Дается обзор работ, посвященных развитию метода ортогональных функций (ортогональных многочленов) для решения интегральных и интегро-дифференци-альных уравнений смешанных задач. Эти исследования шли, в основном, по трем направлениям 1) получение новых спектральных соотношений для интегральных операторов, соответствующих главным частям интегральных уравнений рассматриваемых задач, с использованием в дальнейшем классической схемы алгоритма ортогональных функций 2) модификация проекционного метода Галеркипа, приближенное построение систем собственных функций и собственных чисел интегральных операторов смешанных задач 3) использование метода ортогональных функций для решения интегральных уравнений эволюционного типа, содержащих оператор Фредгольма по координатам и оператор Вольтерра по времени. [c.125]

Системы СИУ (34), (37) имеют нулевые индексы и, стало быть, являются квазифредгольмовыми для них три основные теоремы Ф. Нетера равнозначны трем теоремам Фредгольма. Соответствующие системы СИУ распадаются на п независимых СИУ, допускающих простые замкнутые решения в адекватном ОСЗ классе функций, что обеспечивает возможность эффективного применения к исследованию исходных систем СИУ метода регуляризации Карлемана-Векуа. Характерным свойством ядер в регулярных частях систем СИУ (34), (37) является наличие корневых особенностей одновременно по обеим переменным, что делает их нефредгольмо-выми и приводит в результате регуляризации к системам интегральных уравнений типа Фредгольма третьего рода. Для сравнения напомним, что канонические СИУ с фредгольмовыми ядрами в регулярной части сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. [c.223]

В работе [14] методом Карлемана-Векуа проведена регуляризация систем СИУ (34), (37) в результате они сведены к равносильным системам регулярных интегральных уравнений типа Фредгольма третьего рода, эффективно разрешимым численными методами. В процессе регуляризации выделены в явном виде особенности решений систем СИУ (34), (37) на концах отрезков интегрирования />2 -1 Р2 О на основе которых затем изучены особенности и установлены коэффициенты интенсивности напряжений на всех сингулярных контурах раздела краевых условий р = р2 -, р2] 1 ) в ОСЗ. В целом здесь разработаны надежные и достоверные вычислительные алгоритмы для эффективной численной реализации решения ОСЗ. [c.223]

Д. и, Шерман предложил метод эффективного решения этих задач для двусвязных областей определенного вида, заключающийся в следующем ) на одном из контуров, ограничивающих область сечения, вводится вспомогательная функция, для определения которой строится интегральное уравнение типа Фредгольма, которое затем решается при помощи разложения вспомогательной функции в ряд по степеням параметра, характеризующего частично размеры сечения, главным образом сравнительную близость граничных контуров для решения задачи с высокой степенью точности оказалось достаточным найти незначительное число приближений. В работах Д. И. Шермана [40], [41], [44—47], Д. И. Шермана и ]VI. 3. Народецкого [1] этим методом решены задачи кручения и изгиба брусьев, поперечные сечения которых являются двусвязными областями, ограниченными окружностью и эллипсом, окружностью и квадратом с закругленными вершинами, неконфокальными эллипсами и т. п. В работе Р. Д. Степанова и Д. И. Шермана [1] изучено кручение круглого бруса, ослабленного двумя продольными цилиндрическими круговыми полостями. В работе Д. И. Шермана [43] изучены бесконечные системы линейных уравнений, построенные для решения задач, рассмотренных в упомянутых выше работах (Шерман [40], Степанов и Шерман [1]). [c.629]

Плоские задачи теории упругости эффективно приводятся к интегральным уравнениям типа Фредгольма второго рода при помощи предсгавления аналитических функций интегралами типа Коши. Аналогичный метод позволяет получить интегральные уравнения и для решения осесимметричных задач. Однако интегральные уравнения в этом случае принадлежат к типу уравнений первого рода. Приведение осесимметричных задач к интегральным уравнениям второго рода будет рассмотрено ниже, в 36—39. [c.106]

Р. Я. Ивановой [23] была рассмотрена задача о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала. Задача решалась в плоской постановке при исходных физических интегральных зависимостях наследственного типа. Предполагалось, что движение катка начинается в момент времени —оо и продолжается с постоянной скоростью объемное последер вие отсутствует. Путем привлечения принципа Вольтерра задача решалась в рамках теории упругости с помощью метода Н. И. Мусхелишвили [38]. Полученные при этом два сингулярных уравнения типа Фредгольма содержат реологический оператор, который выражается через резольвенту ядра наследственности при сдвиге. После введения подвижной системы координат и замены дуги окружности катка дугой параболы одно из этих интегральных уравнений, которое соответствует мнимой части соотношения Мусхелишвили, удалось привести к форме, даюшей возможность решить его по методу Карлемана. Для конкретности резольвента ядра наследственности была взята в внде совокупности простых экспоненциальных ядер. Даже в этом случае получение численного результата было связано со значительными вычислительными трудностями. Решение выписано в квадратурах вычисление их осуществлялось приближенно применительно к материалам, обладающим достаточно большим временем релаксации. [c.403]

При ширине электродов, сравнимой с длиной волны звука, метод, изложенный в предыдуш ем параграфе, оказывается мало пригодным. В этом случае более удобно исходить из уравнений Фредгольма второго рода типа (4.11) или (4.12), позволяющих строить различные итерационные процедуры, существенным образом использующие ЭВМ. Такой подход был развит в работах Горышни-ка и др. [65, 176, 177]. Авторы получают интегральное уравнение для плотности заряда, основываясь на известном решении задачи Келдыша — Седова. Данный ими вывод вкратце сводится к следующему. [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...