Метод факторизации решения интегральных уравнений

Метод факторизации решения интегральных уравнений [c.101]

Метод, которым в первой части были решены задачи о полу-бесконечных волноводах, обычно называют методом Винера— Хопфа — Фока или методом факторизации. Действительно, в фундаментальных работах Винера и Хопфа 2] и Фока [1] дан общий метод решения интегрального уравнения с ядром, зави-сяш,им от разности переменных, и в полубесконечных пределах. Это интегральное уравнение может быть как однородным, так и неоднородным, но первоначально метод решения был дан для уравнения второго рода, в то время как диффракционные задачи сводятся к интегральному или интегро-дифференциальному уравнению первого рода (см., например, гл. I). Однако метод факторизации, данный в работах [1] и [2], легко переносится на эти уравнения, а также на эквивалентные им функциональные уравнения, которые приводят к решению задачи более коротким путем (см. гл. II и III). Для несимметричных электромагнитных волн в полубесконечном круглом волноводе (гл. IV) получается система двух функциональных уравнений. В общем случае система интегральных уравнений Винера—Хопфа—Фока или эквивалентных им функциональных уравнений не решается, но благодаря своей простоте эта система допускает точное решение, несколько более сложное (см. 25), чем для одного уравнения, но все же достаточно эффективное — оно позволяет рассчитать все важные физические величины. [c.199]

Первая группа методов (п. 6.1) — представляет собой обобщение развитого в цикле работ В.А. Бабешко [11, 13, 38 и др.] метода факторизации на классы интегральных уравнений, символы ядер которых имеют точки ветвления на вещественной оси. Использование предложенного в настоящей работе подхода позволило построить в новой форме решения интегральных уравнений задач о сдвиговых и вертикальных колебаниях штампа на поверхности упругого полупространства. [c.100]

Функция Ks3 (а) определяется формулами (5.3.1), в которые необходимо внести Ki = а, о 2 = О и положить начальные напряжения равными нулю. Для решения интегрального уравнения (7.5.11) применим метод факторизации. Функция Qo к2) дается формулой (6.1.26), которую для удобства запишем в виде [c.161]

Для получения практически приемлемых решений интегрального уравнения (2.30) используем метод приближенной факторизации [294]. Именно, с учетом, свойств (2.8) —(2.Ц) аппроксимируем функцию для задачи 1) и задачи 2) при (а=я/2, я) выражением [c.135]

Решение интегрального уравнения (5.16) может быть найдено методом Винера — Хопфа [184]. Для возможности доведения задачи до числа целесообразно, как впервые показал Койтер [328], прибегнуть к приближенной факторизации. Для этого им было предложено аппроксимировать трансформанту Фурье ядра интегрального уравнения некоторым выражением, правильно описывающим поведение трансформанты при ы->оо и м->0. Однако аппроксимация, предложенная Койтером, и позднее более общая аппроксимация, предложенная в работе В. М. Александрова и В. А. Бабешко [24], не полно отражают поведение трансформанты, встречающейся при изучении контактных задач для цилиндрических тел [27]. Поэтому в работе В. М. Александрова и А. В. Белоконя [28] была предложена более сложная аппроксимация, полнее отражающая свойства трансформанты. Именно, учитывая, что трансформанта ЬГп (и)В и) может быть представлена в виде суммы двух функций [c.228]

Для получения практически приемлемых решений интегральных уравнений (9.51) приходится, как это уже отмечалось в 9 гл. 2, использовать метод приближенной факторизации Койтера. Продемонстрируем это на примере контактной задачи с полным разделом граничных условий для упругой полосы, жестко защемленной по основанию (см. п. 1). В соответствии с (9.4) и (9.43) здесь имеем [c.260]

Процедура факторизации может возникать при решении методом интегральных преобразований некоторых краевых задач математической физики для полуплоскости, в которых граничные условия различны на разных участках границы. Кроме того, этот метод используется для эффективного решения определенного класса интегральных уравнений, так называемых уравнений Винера — Хопфа (см. 4). [c.30]

Потребность изучения смешанных задач для областей типа неоднородного полупространства или слоя с переменными свойствами обусловила необходимость обобщения метода фиктивного поглощения на эти классы задач. Обобщение метода основано на применении в его рамках численных процедур, что позволило существенно повысить эффективность самого метода и расширить класс исследуемых смешанных задач [21,65]. Одно из достоинств такого подхода состоит в том, что применение численных методов позволяет использовать точное представление символа ядра интегрального уравнения, опустив традиционный для метода фиктивного поглощения этап аппроксимации с применением громоздких по структуре и допускающих факторизацию функций. Тем самым реализована возможность строить более точные решения, улавливающие любые незначительные изменения свойств среды, вызванные как возникновением дефектов в ее структуре, так и изменением ее напряженного состояния под воздействием силовых факторов различной природы. [c.4]

Обобщение основано на применении в рамках метода фиктивного поглощения прямых численных методов. Это позволяет использовать точное представление символа ядра исходного интегрального уравнения, опустив этап аппроксимации его функциями, допускающими факторизацию. Тем самым, сохраняются все динамические особенности символа ядра, в том числе точки ветвления, что приводит к более полному учету динамических свойств задачи, и, следовательно, к повышению точности решения. [c.121]

Изложенный выше метод, эффективный при исследовании задач для областей типа слоя, пакета слоев, цилиндра не учитывает наличия точек ветвления на вещественной оси, что приводит к потере его эффективности при исследовании задач для областей типа полупространства и слоистого полупространства. В работе [20] было предложено обобщение метода факторизации на класс интегральных уравнений вида (7), символы ядер которых имеют пару точек ветвления на вещественной оси, и построено следующее решение [c.294]

В работе [21] метод факторизации обобщен на класс интегральных уравнений вида (7), символы ядер которых имеют две пары точек ветвления на вещественной оси. Существенным моментом явилось использование специальной аппроксимации [27]. Решение имеет вид [c.294]

Для интегрального уравнения с таким ядром техника метода факторизации уже применима. Кроме того, такое интегральное уравнение уже описывается в теории М. Г. Крейна [203] и В. А. Фока [349], и потому полученное формальным путем решение можно обосновать, пользуясь этими теориями, а устремляя в этом решении в- 0, можно получить решения уравнения (3.26). Описанный прием широко применяется при решении задач математической физики (см., например, [245]). На той, по существу, идее основан н так называемый принцип предельного поглощения [335]. [c.39]

Если функция В (а)—мероморфна, то метод факторизации позволяет [173] свести решение функционального уравнения (3.32) или интегрального уравнения (3.33) к бесконечным системам алгебраических уравнений. [c.40]

Задачу об изгибе полубесконечной пластинки на линейном комбинированном основании тем же способом можно свести с учетом (1.12) к интегральному уравнению второго рода, которое получается из (2.11) добавлением члена кр (х) и получить его точное решение методом факторизации. [c.290]

Точное решение задачи об изгибе полубесконечной пластинки на упругом слое построено Р. В. Серебряным [95], обобщившим на эту задачу способ, предложенный им для расчета ослабленных шарнирами пластинок (1). Его способ позволяет, минуя интегральное уравнение, разрешимое точно методом факторизации (1, 3, 2). [c.290]

Задача о вдавливании кругового штампа и эквивалентная ему осесимметричная задача Герца решена в работе Г. Я. Попова [67 ] путем сведения заменой г=е , р = е" интегрального уравнения (2.24) к уравнению типа Винера — Хопфа, разрешимого методом факторизации (1, 3). Н. А. Ростовцев [89] получил точное решение задачи о вдавливании кругового штампа путем решения того же уравнения методом сведения к двум повторным уравнениям Абеля (1, 4, 2°). В работе Г. Я- Попова [72] для той же задачи указано точное решение еще и в виде ряда по многочленам Якоби. [c.298]

Содержание данного параграфа основано на работе Гринберга и Фока. Мы остановились так подробно на задаче о береговой рефракции, довольно далеко отстоящей от тематики этой книги, по нескольким причинам. Во-первых, задача о береговой рефракции явилась, по существу, первой диффракцион-ной задачей, к которой был применен метод решения интегральных уравнений, развитый в работе [1]. В этой задаче впервые была проведена факторизация с помощью дифференцирования и последующего интегрирования, т. е. использован прием, к KOTopoJviy мы прибегали на протяжении всей книги. Во-вторых, эта задача после небольшой модификации позволяет рассчитать диффракцию поверхностной волны на койце по-лубесконечной импедансной структуры, поддерживающей распространение этой волны ( 60). В-третьих, решение задачи о береговой рефракции, полученное при достаточно частных предположениях, позволяет разобраться в более сложных вопросах, относящихся к распространению и диффракции волн. Последнее обстоятельство придает задаче о береговой рефракции особое значение, поэтому мы продолжим ее рассмотрение в 59. [c.326]

Центральным моментом нри исследовании динамических задач для преднапряженных тел является точный учет влияния начальных напряжений на динамические свойства этих задач. Одним из наиболее эффективных в этом плане методов является метод факторизации [6, 28]. Это обстоятельство определило выбор этого метода в работах [1-5, 37, 38] для решения интегральных уравнений типа (7). [c.293]

Высокую эффективность при исследовании динамических смешанных задач для областей типа слоя или пакета слоев, особенно на высоких частотах колебаний, показали развитый в ряде работ В.А. Бабешко метод факторизации [11, 38, 39], а также предложенный В.А. Бабешко и развитый в цикле работ В.А. Бабешко и О.Д. Пряхиной [11, 14, 39] метод фиктивного поглош,ения. Последний был успешно использован при изучении контактного взаимодействия массивных жестких штампов, упругих балочных плит и двухмассовых инерционных систем, а также для решения систем интегральных уравнений, возникающих при исследовании задач контактного взаимодействия массивных электродов с электроупругими средами. [c.4]

В работе Ю. А. Антипова [10] получено точное решение осесимметричной задачи о вдавливании плоского кольцевого штампа в упругое однородное полупространство. 1У1етод решения основан на сведении интегрального уравнения с ядром Вебера-Сонина, которому эквивалентна задача [27], к уравнению типа свертки на отрезке, а затем к векторной задаче Римана с треугольным матричным коэффициентом специального вида, точное решение которой построено последовательным применением метода факторизации и асимптотического метода. Решение задачи выписано в виде двойного ряда, для коэффициентов которого получены явные формулы. [c.138]

При исследовании задачи о вдавливании узкого, прямоугольного в плане штампа в упругое полупространство В. М. Александров и М. А. Сумбатян [7] развили асимптотический подход, основанный на методе малых Л , который позволил построить эффективное приближенное решение исходного уравнения. Показано, что для данной задачи трансформанта ядра соответствующего интегрального уравнения Фредгольма первого рода имеет в нуле логарифмическую особенность. Посредством приближенной факторизации трансформанты ядра решение таких уравнений получены в простой аналитической форме. При исследовании аналогичной задачи некоторыми другими авторами [40,41] оказалось, что уравнение, анализируемое в этих работах, соответствует вырожденному решению задачи, описывающему распределение давления в удалении от границ штампа и не улавливающему характер его поведения вблизи острых кромок. [c.140]

При исследовании динамических контактных задач для нолуограниченных тел выбор методов исследования напрямую зависит от значений частоты колебания. Случаи низких и средних частот могут быть изучены с применением регулярных методов (см. гл.1) — метод ортогональных многочленов, метод больших Л , метод фиктивного поглош,ения, прямые численные методы и т.д. С ростом частоты колебания регулярные методы, как правило, приводят к алгебраическим системам очень высокой размерности и при дальнейшем росте частоты теряют устойчивость. Сингулярные асимптотические методы (в частности, метод малых Л ) с успехом применялись к решению высокочастотных контактных задач в антиплоском случае [1,2], где символ ядра основного интегрального уравнения допускает факторизацию в простой форме. Данный параграф посвящен развитию сингулярных методов для задач, в которых известные стандартные подходы, как правило, не приводят к явным аналитическим решениям. Изложение, в основном, следует работам автора [3-5]. [c.278]

Остановимся теперь на контактных задачах, относящихся к равновесию бесконечного цилиндра. При рассмотрении этих вопросов наиболее эффективным оказывается метод парных интегральных уравнений, связанных с преобразованием Фурье по осевой координате. Характерной особенностью этого способа является то обстоятельство, что в случае полубесконечной области контакта эти уравнения допускают точное решение с помощью методов теории функций комплексного переменного, опирающихся на возможность факторизации аналитической функции, заданной в полосе. Первой работой этого направления явилась статья Б. И. Когана (1956), посвященная изучению осесимметричного напряженного состояния бесконечного цилиндра, зажатого без трения в полубеско-нечную ж есткую обойму. В предположении, что в области контакта задано постоянное радиальное смещение, задача сводится к парным уравнениям вида [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...