Решение интегрального уравнения (специальный случай)

Решение интегрального уравнения (специальный случай). Рассмотрим случай, когда смещение подошвы штампа задается функцией [c.104]

В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6" граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5", причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34]

Интегральные уравнения, безусловно, представляют удобное средство для общих исследований граничных задач, в частности для доказательства существования их решения. Но вместе с тем метод интегральных уравнений часто упрекают в недостаточной эффективности, и не без оснований. Попытки практического решения задач на основе этого метода, с его обычной схемой, использующей для счета дискретный аналог интегральных уравнений, малоутешительны даже при современных вычислительных средствах. Поэтому, ввиду отсутствия более приемлемого алгоритма решения для общего случая многосвязной области, приходится разыскивать специальные методы эффективного решения, приспособленные к тем или иным классам граничных задач. [c.51]

Н. М. Крюкова [2.70]. Методом Д. И. Шермана [2.162] задача сводится к двум сингулярным интегральным уравнениям относительно специальным образом введенных на двух (из трех) границах раздела сред функций. Далее, система сингулярных уравнений сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Эти исследования развиваются И. М. Крюковой в ее диссертации (см. [2.71]). Там же рассмотрен предельный случай свободных от сил отверстий, показана эффективность используемого метода. В работе [1.42] содержится большая информация о численных решениях различных плоских задач для многосвязных областей. Приводятся таблицы и графики, иллюстрирующие распределение напряжений в плоскости с отверстиями два и три — равноотстоящих одинаковых круговых отверстия вдоль прямой 4, 6 и 19 одинаковых круговых отверстий, расположенных с циклической симметрией эксцентрическое круговое кольцо 3, 4, 6 и 7 одинаковых круговых отверстий в диске два ряда одинаковых круговых отверстий и т. д. [c.293]

Выше рассмотрено решение уравнений ламинарного пограничного слоя для простейшего случая, когда dU/dx = О, т. е. dp/dx = 0. В общем случае обтекания тел с продольным перепадом давления (dp/dx Ф 0) задача существенно усложняется. В инженерных расчетах преимущественное применение получили методы, основанные не на уравнениях Л. Прандтля, а на интегральных соотношениях, которые можно получить или специальными преобразованиями этих уравнений, или путем непосредственного применения к пограничному слою законов количества движения и сохранения энергии. [c.338]

Приближенные методы решения уравнений пограничного слоя, в случае обтекания выпуклого контура для решения задачи о пограничном слое развит ряд приближенных методов, основанных либо на использовании интегральных соотношений, либо на специальном выборе безразмерных независимых переменных, с помощью которых дифференциальные уравнения в частных производных сводятся к одному или к последовательности обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, которые решаются в дальнейшем численно. Подробное изложение этих методов приведено в ряде монографий [7] — [12] и отдельных статей. Мы изложим здесь наиболее удобный и допускающий непосредственно обобщение на случай течения газа метод использования интегральных соотношений, следуя в основном [7]. [c.511]

Другая трудность, возникающая при решении контактных задач методом однородных решений, — получение эффективных выражений для неоднородных решений, используемых при удовлетворении смешанным краевым условиям. Для этой цели использована хорошо разработанная теория для полубесконечных тел. В отличии от классического случая, получаемые интегральные уравнения в правой части содержат осцил-лируюш,ие функции. Для их решения предложен эффективный метод, основанный на известных спектральных соотношениях и методе Ремеза. Основываясь на специальном представлении решения интегрального уравнения, в соотношениях для неоднородного решения плохо сходящаяся часть интегрируется, что позволяет получить соотношения удобные для численной реализации. Результаты исследований, приведенные в этой главе, показали, что метод однородных решений является удобным и эффективным средством решения контактных задач для тел, достаточно сильно отличающихся от канонических. [c.222]

Задача о плоском штампе с круговым основанием ( 4), как указывалось в примечаниях главы 2, впервые рассмотрена Буссинеком для случая центрально нагружённого штампа. Для нецентрально нагружённого штампа решение было дано В. М. Абрамовым в работе Исследование случая несимметричного давления штампа круглого сечения на упругое полупространство (Доклады Акад. наук 23, 1939, 8, стр. 759—763). Решение В. М. Абрамова, основанное на рассмотрении интегрального уравнения (2.11) при (х, у) = О, весьма сложно и требует знания некоторых специальных свойств бесселевых функций. [c.325]

Структура ядра этого интегрального уравнения вызвала необходимость в специальной разработке способа его решения. Для случая вдавливания жесткого штампа с прямолинейным основанием в полуплоскость, т. е. когда правая часть интегрального уравнения (3.30) со слабой особенностью является постоянной, удалось получить (Н. X. Арутюнян и М. М. Манукян, 1963) точное решение этого интегрального уравнения в замкнутом виде. При помощи этого решения для определения контактного давления р (х) была получена формула [c.199]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...