ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение интегральных уравнений из "Аналитические методы в контактных задачах теории упругости " В этой главе рассматриваются трехмерные контактные задачи теории упругости о действии штампа произвольной формы на поверхность слоя толщины h, жестко соединенного с упругим полупространством с другими упругими постоянными (задача L ) или лежащего на нем без трения (задача L2) [198, 333, 338, 340, 342, 354]. Зона контакта предполагается заранее неизвестной и зависящей от величины действующих на щтамп нормальной силы Р и тангенциальной силы Т. Предполагается также, что между щтампом и слоем имеют место силы кулоновского трения, которые коллинеарны направлению действия тангенциальной силы Т. Штамп не поворачивается в процессе взаимодействия. Вне штампа поверхность слоя свободна от напряжений. Рассматривается случай предельного равновесия, случай квазистати-ческого движения штампа по поверхности слоя в подвижной системе координат может быть рассмотрен аналогично. [c.245] Получены интегральные уравнения поставленных контактных задач, для решения которых в случае неизвестной области контакта использован метод нелинейных граничных интегральных уравнений [104, 105]. Исследовано влияние коэффициента трения Кулона, формы штампа, упругих констант и толщины слоя на величину контактных напряжений, на зависимость вертикального перемещения штампа от вдавливающей силы, на величину и форму области контакта и на перемещение точек поверхности слоя вне области контакта. [c.245] С учетом сил трения плоские контактные задачи рассматривались в работах [18, 106, 195], пространственные для полупространства — в работах [109, 179] и для клина — в работах [247, 249]. [c.245] Будем считать, что слой имеет модуль сдвига G и коэффициент Пуассона v, а упругое полупространство — соответственно G2 и (рис. 7.1). [c.246] Это совпадает с ядрами интегрального уравнения аналогичной задачи для полупространства, рассмотренной в работе [109. [c.248] Когда G — О G2 — ею), получаем задачи для слоя, соединенного с жестким основанием (задача L3) или лежащего без трения на жестком основании (задача I/4). [c.248] Отметим, что интегральные уравнения (7.2) только с ядрами k t,r) соответствуют контактным задачам о вдавливании штампа в слой без трения [88]. [c.248] К интегральным уравнениям (7.2) с ядрами (7.10)-(7.11) кроме условий статики необходимо добавить также условие для нахождения области контакта, которое будет сформулировано и реализовано ниже. [c.248] Для решения интегральных уравнений (7.2) с ядрами (7.3), (7.10), (7.11) применим метод нелинейных граничных уравнений, развитый в работах [104, 105]. Этот метод позволяет одновременно находить не только функцию распределения контактных напряжений, но и область контакта, а также и перемеш,ения точек поверхности слоя вне штампа в некоторой области, содержащей область контакта. Интегральные уравнения с такими же свойствами исследовались в работах [197, 199, 200]. [c.249] В соответствии с методом нелинейных граничных уравнений [104, 105] предположим, что область контакта О заключена в прямоугольнике S = ж а, у 6 , 6 а. [c.249] Здесь параметр Ло характеризует относительную толщину слоя, а параметр q — эксцентриситет области контакта. [c.250] Решение нелинейного уравнения (7.17) будет найдено численно методом последовательных приближений с использованием модифицированного метода Ньютона [104]. Алгоритм этого метода позволяет одновременно находить контактные напряжения и область контакта, когда известно перемещение штампа 5. Дискретизация уравнения осуществлялась с учетом симметрии области контакта, а узлы дискретизации в области S выбирались равномерно по осям координат. [c.251] Схема решения уравнения (7.17) предполагает [104, 105], что известно перемещение штампа 5, а сила Р находится как интеграл от функции распределения контактных напряжений. [c.251] Как показывают числовые расчеты, итерационный процесс численного решения нелинейного граничного интегрального уравнения (7.17) с правой частью (7.21) хорошо сходится. [c.251] В случае, когда h = оо, а Р и соответственно D 5) от 5 не зависят, естественно за нулевое приближение Sq в (7.22) взять величину 5 внедрения штампа в полупространство (Ло = сю) при неизменности других параметров задач. [c.252] Вернуться к основной статье