Решение для круглой пластинки

Чтобы получить решение для круглой пластинки при нагружении равномерной нагрузкой, возьмем функцию напряжений в форме полинома шестой степени. Рассуждая так же, как и прежде, находим [c.386]

Беря для функции напряжений полиномы более высокой степени чем шестая, мы можем исследовать случаи изгиба круглой пластинки при неравномерно распределенной нагрузке. Вводя функции Qn(x) так же, как Р х) в 132, можно найти решения для круглой пластинки с отверстием в центре ). Все эти решения удовлетворительны лишь тогда, когда прогибы пластинки остаются малыми по сравнению с толщиной. Для большие прогибов следует учитывать растяжение срединной плоскости пластинки -). [c.390]

В8] РЕШЕНИЕ для КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ, ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПО КОНТУРУ 449 [c.449]

РЕШЕНИЕ ДЛЯ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ, ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПО КОНТУРУ 451 Интегрируя и дифференцируя уравнение (е), получим соответственно f = + ...). (е) [c.451]

Соответствующее решение для круглой пластинки постоянной толщины следует из (9.70) и (9.71) при 61 = 62 = 6. [c.331]

Заметим еще, что полученные выше решения для круглой пластинки будут справедливы лишь в том случае, если перемещения (прогибы пластинки) малы по сравнению с ее толщиной. В противном случае, даже при чистом изгибе пластинки парами сил, равномерно распределенными по контуру, срединная поверхность пластинки испытывает растяжения или сжатия, зависящие от г и от величины прогиба. [c.161]

В качестве одного из возможных приближенных решений задачи напряженного состояния в квадратной пластинке от напряженной посадки и сил можно рекомендовать решение для круглой пластинки. [c.90]

Подставляя это в уравнение (10.69). получим общее решение для круглой пластинки под сплошной равномерной нагрузкой [c.319]

Были получены, кроме того, решения для бесконечной пластинки с круглым отверстием, когда усилия были приложены к границе отверстия ), для соответствующей задачи о полосе ) и задачи о ряде отверстий, расположенных вблизи (и параллельно) прямолинейной границы полубесконечной пластинки (ряд отверстий для заклепок). [c.111]

Изгибающие напряжения и прогибы в дисках постоянной толщины при различных краевых условиях могут быть определены по соответствующим решениям, полученным для круглых пластинок 186, 105 и др.1 [c.37]

Обратили на себя внимание и некоторые задачи осесимметричного распределения напряжений в теле вращения. Дж. Мичелл ) и А. Ляв ) показали, что все компоненты напряжения в подобных случаях могут быть выражены через одну функцию напряжений. Связь между этой функцией и соответствующей функцией двумерных задач была исследована К. Вебером ). А. П. Коробов ), приняв для функции напряжений при осесимметричном распределении форму полинома, получил строгое решение изгиба круглой пластинки при различных симметричных типах загружения. [c.483]

Пластинка, имеющая форму сектора круга. Выведенное для круглой пластинки ( 62) общее решение можно с некоторыми видоизменениями применить также и для пластинки, имеющей форму сектора, свободно опертого по прямолинейным краям ). Возьмем в качестве примера равномерно нагруженную пластинку в виде полукруга, опертую по диаметру АВ (рис. 145). Прогиб такой пластинки ничем, очевидно, не будет отличаться от прогиба показанной пунктиром круглой пластинки, загруженной, как показано на рис. 145, Ь. Равномерно распределенная нагрузка представляется в этом случае рядом [c.330]

Чтобы подойти к решению для круглой равномерно нагруженной пластинки, мы возьмем функцию напряжений в виде полинома шестой степени, [c.346]

О граничных условиях для круглых пластинок см. т. 1, гл. 17. Ниже приведены решения отдельных задач. [c.110]

Воспользуемся решением уравнения — функцией прогиба у, а также полученными по формулам (2) функциями угла наклона а и внутренних изгибающих моментов и М, для круглой пластинки, нагруженной согласно фиг. 2, которые получены методом начальных параметров [7]. [c.236]

Полный интеграл уравнения (16) составится из суммы отдельных решений, умноженных каждое на произвольную постоянную. Решение ур-ий (16) в конечной форме Ш. б. проведено только для круглой пластинки [I]. Для собственных колебаний круглой пластинки получится из (16) в полярных координатах два ур-ия [c.363]

Опишем теперь более ранние методы решения контактной задачи для круглой пластинки, лежащей на упругих основаниях, представляющих частные случаи основания с ядром (1.3). Применительно к обычному [c.295]

Например, в теории упругости дается решение для растянутой пластинки, ослабленной круглым отверстием, расположенным на оси симметрии фис. 18.2). Если ширина пластинки велика по сравнению с радиусом отверстия г, то в наиболее ослабленном сечении 1—1 напряжение (т, определяется по формуле [c.490]

Метод разделения переменных, сводящий решение уравнения в частных производных к решению нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений, при определенных условиях может быть применен и для решения краевых задач. Попытаемся решить задачу о стационарном распределении температуры в круглой пластинке радиуса а с различными краевыми условиями на границе 5 пластинки. [c.170]

Точные решения, полученные результате численного интегрирования, удается найти только для круглых симметрично загруженных пластинок. Умножая уравнения равновесия в цилиндрических координатах на z и интегрируя по толщине, мы получим следующее дифференциальное уравнение для изгибающих моментов [c.641]

Для решения задачи об изгибе круглой пластинки все уравнения изгиба пластинки, выведенные в декартовой системе координат, преобразуем к полярной системе координат. [c.146]

Решения были даны также для круглого диска под действием сосредоточенной силы в любой точке ), для диска подвешенного в некоторой точке и находящегося под действием собственного веса ), для диска, вращающегося вокруг эксцентричной оси ), как с использованием биполярных координат, так и без использования их ). Рассматривалось также влияние круглого отверстия в полубесконечной пластинке с сосредоточенной силой на прямолинейной границе ). [c.212]

До сих пор удалось найти решение этих уравнений только для случая круглой пластинки. Мы придем к решению в этом случае следующим путем. [c.380]

В заключение отметим, что модели фланцев в виде круглых пластинок-использовались и ранее для упрощенных расчетов фланцевых соединений (без решения контактной задачи). [c.114]

Отметим, что (23.5) совпадает с дифференциальным уравнением осесимметричного растяжения (сжатия) круглых пластинок переменной толщины, что позволяет применить для его решения методы, используемые в теории пластинок [49], [c.111]

Пример 2. На рис. 7.16 изображена круглая пластинка, сжатая по диаметру двумя сосредоточенными силами. Для этого случая имеется точное решение. Аналогично предыдущему примеру рассматривали четверть пластинки. Эпюры показывают изменение нормальных напряжений Оу (по оси х — сплошная линия и по оси у — штриховая линия). Результаты точного решения приведены в скобках. [c.248]

Выясняя граничные условия, он приходит к тем самым определениям, которые ныне являются общепринятыми для пластинок со свободно опертыми и с жестко защемленными краями. Для края, по которому распределены заданные силы, он требует выполнения трех условий (вместо двух, признанных достаточными в наше время). Эти условия сводятся к тому, что поперечная сила, крутящий момент и изгибающий момент (вычисленные из молекулярных сил для каждого элемента длины края) должны уравновешивать соответствующие величины для внешних сил, приложенных по краю. Сокращение числа условий с трех до двух было выполнено впоследствии Кирхгофом, физическое же обоснование такого сокращения было дано Кельвином (см. стр. 266). В доказательство применимости своей теории Пуассон исследует изгиб круглой пластинки под нагрузкой, интенсивность которой является функцией одного лишь радиуса. С этой целью Пуассон переписывает уравнение (а) в полярных координатах и дает полное решение задачи. В дальнейшем он применяет это решение к случаю равномерно распределенной нагрузки и дает уравнение для свободно опертых и для защемленных краев. Его внимание привлекает также задача о поперечных колебаниях пластинки, и он решает ее в применении к круглой пластинке, форма прогибов которой обладает центральной симметрией. [c.138]

Рассматривая напряжения, вызываемые в круглом диске сосредоточенными нагрузками, приложенными по контуру, Мичелл получает то же самое решение, которое было найдено до него Герцем (см. стр. 416). Далее он переходит к соответствующим решениям для тяжелого диска или катка на горизонтальной плоскости. В работе Мичелла приводится также ряд интересных диаграмм, иллюстрирующих различные типы распределения напряжений S круглых пластинках ). [c.422]

Круглая пластинка, нагруженная в центре. Решение для сосредоточенной нагрузки, приложенной в центре пластинки, может быть получено из выкладок предыдущего параграфа, если положить, что радиус круга, внутри которого распределяется нагрузка, становится бесконечно малым, в то время как величина полной нагрузки Р сохраняет заданное конечное значение. В соответствии с этим допущением и согласно уравнению (82) максимальный прогиб в центре свободно опертой пластинки будет равен [c.84]

Клебш первый занялся исследованием задачи плоского напряженного состояния и дал решение для круглой пластинки (см. с тр. 310). Другой случай, имеющий большое практическое значе-лие, был решен Харлампием Сергеевичем Головиным (1844— 1904) ). Он заинтересовался деформациями и напряжениями круговых арок постоянной толщины. Рассматривая задачу как двумерную, он сумел получить решения для систем, представленных на рис. 170. Он находит, что в условиях чистого изгиба (рис. 170, а) поперечные сечения остаются плоскими, как это обычно и принимается в элементарной теории кривого бруса. Но найденное им распределение напряжений не совпадает с тем, которое дается элементарной теорией, поскольку последняя предполагает, что продольные волокна испытывают лишь напряжение о, простого растяжения или сжатия, между тем как Головин доказывает существование также и напряжений а , действующих в радиальном направлении. При изгибе же, производимом силой Р, приложенной к торцу (рис. 170, б), в Киждом поперечном сечении возникают не только нормальные напряжения, но также и касательные, причем распределение последних не следует параболическому закону, как это предполагается в элементарной теории. Головин вычисляет не только напряжения для такого кривого бруса, но также и его перемещения. Имея формулы перемещений, он получает возможность решить и статически неопределенную задачу арки с защемленными пятами. Проделанные им вычисления для обычных соотношений размеров арок показывают, что точность элементарной теории должна быть признана для практических целей вполне достаточной. Исследования Головина представляют собой первую попытку применения теории упругости в изучении напряжений в арках. [c.419]

В выводе уравнений элементарной теории пластинок принимается, что каждый тонкий слой пластинки, параллельный ее срединной плоскости а г/, находится в плоском напряженном состоянии, в силу чего отличными от нуля остаются только три компоненты напряжения Оу и Тху. Для более толстых пластинок полезно иметь полное решение задачи с учетом всех шести компонент напряжения. Несколько решений этого рода было предложено Сен-Венаном в его переводе книги Клебша ). Некоторые элементарные строгие решения для круглых пластинок были найдены А. П. Коробовым ), опыт же построения общей строгой теории пластинок был предложен Дж. Мичеллом ) и получил дальнейшее развитие в книге А. Лява ) по теории упругости. В последнее время строгая теория, пластинок обратила на себя внимание инженеров и некоторые ее задачи были полностью решены. Особого упоминания заслуживают труды С. Войновского-Кригера ) и Б. Г. Галер-кина ). Возрастающий успех, который находят в настоящее время в разнообразных технических применениях тонкостенные конструкции, привлек большое внимание к теории оболочек. Приемлемое для практики решение во многих, относящихся к тонким оболочкам, задачах становится достижимым, если пренебречь изгибом и допустить, что напряжения распределяются по толщине [c.492]

Некоторые решения для круглой пластинки мы могли получить выше, рассматривая ее как частный случай пластинки с эллиптическим контуром. Но задача об изгибе круглой пластии-ки может быть разрешена в гораздо более общем слзгчае При разыскании этого решения выгодно, конечно, пользоваться полярными координатами. Располагая начало координат в центре пластинки и определяя положение какой-либо точки величиной радиуса-вектора г и углом 0, составляемым этим радиусом с осью х, будем иметь х = г os в у = г sin 0. Введя вместо х а у новые переменные гиб, получим [c.393]

Первый достаточно общий подход к плоским задачам содержится в трактате А. Кдебша Теория упругости твердых тел S где он рассмотрел, в частности, плоскую задачу для круглой пластинки. Решение весьма интересной задачи об изгибе кривого (очерченного по дугам концентрических окружностей) бруса было дано в 1881 г. X. С. Головиным С другой стороны, еще в 1862 г. Дж. Эри обнаружил существование функции, получившей впоследствии его имя, вторые производные от которой определяют компоненты напряжений в плоской задаче при отсутствии объемных сил. Дж. Максвелл указал что эта функция удовлетворяет бигармоническому уравнению. Глубокие исследования плоских задач были проведены в 1899—1900 гг. Дж. Мичеллом который продолжил исследование Максвелла о зависимости решений от упругих констант материала и дал, в частности, решение для клина, нагруженного сосредоточенной силой в вершине. [c.57]

Хомякевич Е.П. Решение обобщенной динамической задачи термоупругости для круглой пластинки.— В кн. Аналитические методы в теории фильтрации и теплопроводности, Киев, Изд-во Ин-та математики АН УССР, [c.306]

Путём наложения друг на друга двух напряжённых состояний расс.мотренного типа можно получить решение для бесконечной пластинки, ослабленной круглым отверстием, при равномерном растяжении в двух направлениях. [c.130]

Система уравнений (12.10.3), (12.10.5) и (12.10.6) описывает деформацию пластины с большими прогибами. Эти уравнения называются уравнениями Кармана. Вывод соответствующих уравнений для анизотропных пластин не встречает никаких затруднений, выписывать эти довольно громоздкие выражения мы здесь не будем. Система оказывается нелинейной, поэтому известны только численные решения ее для отдельных частных случаев путем непосредственного отыскания стационарного значения функционала (12.10.2) по способу, аналогичному тому, зшторый был описан в 12.9. Сложность состоит в том, что коэффициенты в предполагаемом выражении для прогиба w или функции напряжений F теперь ищутся из нелинейных алгебраических уравнений. Для симметричной деформации круглой пластинки уравнения (12.10.2) и (12,10,6) становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые можно интегрировать любым численным методом. [c.413]

Ряд решений для симметрично нагруженных круглых пластинок рассмотрел А. Коробов, Известия Киевского политехнического института, ИПЗ. Подобные решения были получены независимо Тимпе (Л. Т i m р е, Z. Angew. Math. Me h. 4 (1924)). [c.390]

Для исследования локальных значений коэффициентов теплоотдачи были изготовлены специальные а-калориметры, представляющие собой вырезку из безграничной пластины. Точное решение для такой плапины с граничными условиями третьего рода [Л. 12] позволяет на основании опытных данных о ходе изменения температуры в какой-либо точке калориметра весьма точно определить значение коэффициента теплоотдачи. При разработке конструкции калориметра особенно было важным создать гарантию отсутствия заметных утечек тепла от него в окружающие тела. Использовавшиеся калориметры изготовлялись в виде круглых пластинок небольшой толщины (2—4 мм) из электролитической меди, свойства которой хорошо изучены. Толщина пластинок выбиралась из условия заметного изменения температуры в средней точке калориметра за небольшой промежуток времени. Диаметр калориметров выбирался из условия получения малых утечек тепла по сравнению с основным потоком тепла от газа, а также из условий размещения их в зоне плоского потока. Локальные калориметры изолировались от остальной части стенки с помощью тефлоновых колец шириной 1 мм и высотой 1 мм. Торцовая часть а-калориметра, противоположная той, которая обтекалась газом, выходила в вакуумную камеру, где находился сильно разреженный покоящийся газ. [c.465]

Для решения задачи об изгибе круглой пластинки все уравнения изгиба пластинки, выведенные в декартовой системе координат, преобразуем к полярной системе. В этом случае прогиб пластинки и нагрузка являются функцияхми переменных г и 0, т. е. ги = ш (г, 9) я q = q (г, 0). Тогда согласно зависимостям (7.3) основное уравнение изгиба пластинки (8.15) принимает вид аз ) di d w [c.140]

Исследуя цилиндрические оболочки, подвергнутые внутреннему давлению, Грасхоф не только применяет формулы Ламе, но учитывает и местные напряжения изгиба, возникающие в тех случаях, когда края оболочки жестко соединяются с торцовыми плитами. В этом исследовании он пользуется дифференциальным уравнением прогибов продольных полосок, вырезанных из обо-лочки сменшыми радиальными сечениями ). Грасхоф дает также полные решения для некоторых случаев симметрично нагруженных круглых пластинок. Рассматривает он и равномерно нагружен-нью прямоугольные пластинки, предлагая для некоторых случаев приближенные решения. [c.163]

В элементарной теории пластинок принимается, что прогибы пластинки малы в сравнении с ее толщиной. При больших прогибах необходимо принимать во внимание растяжение срединной плоскости соответствующие уравнения были выведены Кирхгоф-фом ) и Клебшем (см. стр. 311). Эти уравнения не линейны и с трудом поддаются решению Кирхгофф применил их лишь в одном простейшем случае, а именно в случае равномерного растяжения срединной плоскости. Дальнейшая разработка этой задачи была выполнена инженерами, главным образом в связи с практической необходимостью расчета напряжений в обшивке судов. Рассматривая изгиб длинной равномерно нагруженной прямоугольной пластинки, И. Г. Бубнов ) привел эту задачу к задаче изгиба полосы и решил ее для различных вариантов краевых условий, встречающихся в кораблестроении. Он составил также таблицы, благодаря которым весьма облегчаются расчеты и которые стали теперь повседневным пособием в судостроительной промышленности. Задача исследования больших прогибов круглой пластинки парами, равномерно распределенными по контуру, была рассмотрена автором настоящей книги ), установившим также для этого случая и границы точности элементарной линейной теории. Дальнейшее изучение этой темы провел. С. Вэй ) он исследовал изгиб равномерно нагруженной круглой пластинки, защемленной по контуру, одновременно и теоретически и экспериментально. Кроме того, он выполнил аналогичное исследование и для равномерно нагруженной прямоугольной пластинки ), показав, что если одна из ее сторон превышает другую более чем вдвое (а/Ь>2), то наибольшее напряжение в ней лишь незначительно отличается от указанного Бубновым для бесконечно длинной пластинки. [c.491]

Если мы хотим дать точное описание явления изгиба пластинки, нам нужно будет учесть также и местное перераспределение напряжений н деформаций, вызываемое сосредоточенной нагрузкой близ точки ее приложения. Это перераспределение распространяется в основном на цилиндрическую область, радиус которой несколько больше h, так что влияние его на общий изгиб приобретает пра ктическую важность лишь в том случае, если толщина пластинки не очень мала в сравнении с ее радиусом. Для примера на рис. 44 показаны прогибы круглой пластинки, защемленной по контуру, под сосредоточенной в центре нагрузкой, при отношении толщины к радиусу h/a, равном 0,2 04 и 0,6 ). Прогиб, получающийся из элементарной теории [уравнение (94)], показан прерывистой линией. Мы видим, что расхождение между элементарной теорией и точным решением быстро уменьшается по мере уменьшения отношения Л/л. В следующем параграфе мы покажем, что это расхождение обусловлено главным образом действием перерезывающих сил, совершенно не учитываемых в элементарной теории. [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...