О больших прогибах круглых пластинок

О больших прогибах круглых пластинок. Сборник Института инженеров путей сообщения, Петроград, 1915, вып. 89, стр. 1—10. Отд. оттиск, Петроград, 1915, 10 стр. [c.690]

Цень Вэй Чан, Е Кай Юань. О больших прогибах круглых тонких пластинок // [71].-С. 178-207. [c.363]

Беря для функции напряжений полиномы более высокой степени чем шестая, мы можем исследовать случаи изгиба круглой пластинки при неравномерно распределенной нагрузке. Вводя функции Qn(x) так же, как Р х) в 132, можно найти решения для круглой пластинки с отверстием в центре ). Все эти решения удовлетворительны лишь тогда, когда прогибы пластинки остаются малыми по сравнению с толщиной. Для большие прогибов следует учитывать растяжение срединной плоскости пластинки -). [c.390]

Считая равными нулю только члены с индексом ср, получим уравнения для круглой пластинки с большими прогибами, которые, если пренебречь величиной Fi и считать модуль упругости и толщину постоянными, являются интегральным вариантом уравнений Кармана [101 ]. [c.47]

С момента выхода в свет первого издания этой книги применения теории пластинок и оболочек в практике значительно расширились, теория же пополнилась некоторыми новыми методами. С тем, чтобы оказать этим фактам должное внимание, мы постарались внести в книгу по возможности достаточное количество необходимых изменений и дополнений. Важнейшими дополнениями являются 1) параграф о прогибах пластинки, вызванных поперечными деформациями сдвига 2) параграф о концентрации напряжений вокруг круглого отверстия в изогнутой пластинке 3) глава об изгибе пластинки, покоящейся на упругом основании 4) глава об изгибе анизотропной пластинки и 5) глава, посвященная обзору специальных и приближенных методов, используемых при исследовании пластинок. Мы развили также главу о больших прогибах пластинки, добавив в нее несколько новых случаев для пластинок переменной толщины и ряд таблиц, облегчающих расчеты. [c.10]

Приближенные формулы для равномерно нагруженной круглой пластинки с большими прогибами. Описанный в предыдущем параграфе метод может быть использован также и в случае поперечной нагрузки пластинки. Он, однако, не нашел практического применения, так как для получения прогибов и напряжений в каждом частном случае приходится производить большую вычислительную работу. Более удобный прием для приближенного вычисления прогибов можно получить, применяя энергетический метод. Пусть круглая пластинка радиуса а защемлена по контуру и подвергается действию равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q. Допустив, что форма изогнутой поверхности может быть при этом представлена тем же самым уравнением, что и в случае малых прогибов, положим [c.444]

Дифференциальные уравнения равновесия для круглой пластинки в случае больших прогибов [c.316]

А. Д. Багдасаров (1964) составил систему дифференциальных уравнений для описания колебаний произвольных упруго-пластических пластинок при больших прогибах. Я. Аминов (1964) составил соответствующую систему для круглых пластинок. [c.321]

Цень Вэй Чан. Приложение метода возмущений к теории круглых тонких пластинок большого прогиба Ц [71].— С. 56-—79. [c.363]

Цень Вэй Чан. Теория круглых пластинок большого прогиба при осевой симметрии Ц [71].—С. 11—38. [c.363]

На практике могут встретиться тонкие диски, несущие значительную поперечную нагрузку. Для таких дисков следует использовать уравнения, полученные в гл. 10 для круглых пластинок с большими прогибами. [c.364]

Изложенная теория изгиба круглых пластинок основана на допу щении, что, прогибы малы по сравнению с толщиной. При больших прогибах необходимо принять во внимание деформацию срединной поверхности пластинки. При этом можно показать, что при больших прогибах пластинка получается более жесткой, чем это следует на осно- [c.89]

В элементарной теории пластинок принимается, что прогибы пластинки малы в сравнении с ее толщиной. При больших прогибах необходимо принимать во внимание растяжение срединной плоскости соответствующие уравнения были выведены Кирхгоф-фом ) и Клебшем (см. стр. 311). Эти уравнения не линейны и с трудом поддаются решению Кирхгофф применил их лишь в одном простейшем случае, а именно в случае равномерного растяжения срединной плоскости. Дальнейшая разработка этой задачи была выполнена инженерами, главным образом в связи с практической необходимостью расчета напряжений в обшивке судов. Рассматривая изгиб длинной равномерно нагруженной прямоугольной пластинки, И. Г. Бубнов ) привел эту задачу к задаче изгиба полосы и решил ее для различных вариантов краевых условий, встречающихся в кораблестроении. Он составил также таблицы, благодаря которым весьма облегчаются расчеты и которые стали теперь повседневным пособием в судостроительной промышленности. Задача исследования больших прогибов круглой пластинки парами, равномерно распределенными по контуру, была рассмотрена автором настоящей книги ), установившим также для этого случая и границы точности элементарной линейной теории. Дальнейшее изучение этой темы провел. С. Вэй ) он исследовал изгиб равномерно нагруженной круглой пластинки, защемленной по контуру, одновременно и теоретически и экспериментально. Кроме того, он выполнил аналогичное исследование и для равномерно нагруженной прямоугольной пластинки ), показав, что если одна из ее сторон превышает другую более чем вдвое (а/Ь>2), то наибольшее напряжение в ней лишь незначительно отличается от указанного Бубновым для бесконечно длинной пластинки. [c.491]

Если мы хотим дать точное описание явления изгиба пластинки, нам нужно будет учесть также и местное перераспределение напряжений н деформаций, вызываемое сосредоточенной нагрузкой близ точки ее приложения. Это перераспределение распространяется в основном на цилиндрическую область, радиус которой несколько больше h, так что влияние его на общий изгиб приобретает пра ктическую важность лишь в том случае, если толщина пластинки не очень мала в сравнении с ее радиусом. Для примера на рис. 44 показаны прогибы круглой пластинки, защемленной по контуру, под сосредоточенной в центре нагрузкой, при отношении толщины к радиусу h/a, равном 0,2 04 и 0,6 ). Прогиб, получающийся из элементарной теории [уравнение (94)], показан прерывистой линией. Мы видим, что расхождение между элементарной теорией и точным решением быстро уменьшается по мере уменьшения отношения Л/л. В следующем параграфе мы покажем, что это расхождение обусловлено главным образом действием перерезывающих сил, совершенно не учитываемых в элементарной теории. [c.88]

Совершенно аналогйчно прямоугольной пластинке исследуется и вопрос об устойчивости плоской формы равновесия круглой пластинки. Кто придает большое значение точным решениям, тот в случае круглой пластинки будет чувствовать себя удовлетворенным в большей степени, чем в случае прямоугольной пластинки, так как мы можем совершенно аналогично тому, как это оказалось возможным в третьей главе при рассмотрении изгиба круглых пластинок, симметрично нагруженных силами, перпендикулярными к их поверхности, вывести сравнительно просто точное выражение для критической нагрузки. Но для практических целей это не имеет никакого значения, и потому мы предпочитаем вывести формулу для критической нагрузки круглой пластинки совершенно таким же способом, как и для прямоугольной. Для этой цели нам нужно лишь составить выражение работы деформации при изгибе для такой возможной формы изогнутой поверхности со стрелою прогиба /, которая не очень отличалась бы от получающейся при потере устойчивости плоской формы. В третьей главе такого готового выражения, мы непосредственно не имеем, так как там задачу, относящуюся к круглой пластинке, мы решали на основании диференциального уравнения упругой поверхности, а не на основании теорем о работе упругих сил. Но мы легко можем его вывести дополнительно. По формуле (103), найденной нами в 27, стрела прогиба /круглой пластинки, нагруженной в центре сосредоточенной силой Р и свободно опертой по контуру, выражается следующим образом [c.319]

Система уравнений (12.10.3), (12.10.5) и (12.10.6) описывает деформацию пластины с большими прогибами. Эти уравнения называются уравнениями Кармана. Вывод соответствующих уравнений для анизотропных пластин не встречает никаких затруднений, выписывать эти довольно громоздкие выражения мы здесь не будем. Система оказывается нелинейной, поэтому известны только численные решения ее для отдельных частных случаев путем непосредственного отыскания стационарного значения функционала (12.10.2) по способу, аналогичному тому, зшторый был описан в 12.9. Сложность состоит в том, что коэффициенты в предполагаемом выражении для прогиба w или функции напряжений F теперь ищутся из нелинейных алгебраических уравнений. Для симметричной деформации круглой пластинки уравнения (12.10.2) и (12,10,6) становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые можно интегрировать любым численным методом. [c.413]

Подставляя полученные решения в уравнение (470) и затем в граничные условия и полагая последовательно k = 0, 1, 2, 3,... и т. д., получаем бесконечную систему уравнений, из которой определяются произвольные постоянные. В результате решения 40 уравнений было найдено, что максимальный прогиб пластины в 2,31 раза больше максимального прогиба круглой тонкой плиты, опертой по наружному диаметру и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой.. ,акси-мальные изгибающие напряжения имеют место в центре пластинки (при г = 0) и в 1,49 раза больше максимальных изгибающих напряжений, чем в целой пластинке. Очевидно, что в рассмотренной выш пластинке величина окружного момента в непосредственной близости от прямолинейного края близка к нулю. [c.363]

В следующем разделе книги мы встречаемся с задачами о деформации тонких стержней и тонких пластинок. Теория тонких стержней Кирхгоффа излагается (стр. 307) в несколько измененном виде. Значительно расширена теория изгиба нластпнок, причем предлагаются уравнения для случая больших прогибов ). Наконец, Клебш, применяет теорию малых н])огибов к изгибу круглой пластинки, защемленной но контуру и загруженной в некоторой ее точке силой, перпендикулярной к ее поверхности. [c.311]

Занимаясь исследованием изгиба круглых пластинок, Прандтль заметил, что их прогибы пропорциональны нагрузкам лишь при малых прогибах, при сравнительно же больших прогибах пластинка обнаруживает большую жесткость, чем это предсказывается теориоГг. Это было, вероятно, первое экспериментальное [c.470]

Точное решение для равномерно нагруженной круглой пластинки, защемленной по контуру ). Для того чтобы получить более удовлетворительное решение задачи о больших прогибах равнр-мерно нагруженной круглой пластинки с защемленным контуром, необходимо решить уравнения (234). С этой целью напишем прежде всего эти уравнения в несколько ином виде. Как это можно заметить из самого процесса их вывода в 96, первое из этих уравнений эквивалентно уравнению [c.449]

Гораздо большее влияние на степень точности приближенного уравнения (206) имеет величина трех прогибов w, которые получает пластинка. Условие малости прогибов ограничивает область применения полученного выше приближенного уравнения к исследованию изшба пластинок в значительно большей степени, чем, например, при рассмотрении изгиба призматических стержней. Приближенная теория для призматических стержней дает удовлетворительные результаты даже в тех случаях, когда прогибы в несколько раз превосходят поперечные размеры стержня. Но в случае пластинок приближенное уравнение можно с уверенностью применять лишь тогда, когда прогибы пластинки малы по сравнению с ее толшдной. Причиной такой разницы между тонкими стержнями и тонкими пластинками является то обстоятельство, что искривление пластинки без деформаций в срединной плоскости возможно лишь в исключительных случаях, когда срединная плоскость обращается при изгибе в развертываемую поверхность Во всех других случаях изгиб сопровождается появлением деформаций в срединной поверхности. Деформации эти растут с прогибом и могут достигать значений такого же порядка, что и те деформации, которые учитываются приближенным решением. Эти обстоятельства легко объяснимы при рассмотрении простейшей задачи, которой является изгиб круглой пластинки парами сил, равномерно распределенными по контуру. Приближенное решение 200) соответствует в этом случае изгибу пластинки по шаровой поверхности. Пусть R — радиус этой поверхности, а — радиус пластинки и линия АОВ [c.383]

При потере устойчивости круглых пластинок могут иметь место атучаи осесимметричного и неси.мметричного выпучивания. При осесимметричном выпучивании срединная поверхность пластинки переходит в поверхность вращения. Несимметричная форма потери устойчивости возникает, например, в с.тучае подкрепленной пластинки при радиальном сжатии, либо пластинки, воспринимающей поперечное давление и имеющей большие прогибы [1] в последнем случае при достаточно больших прогибах у контура пластинки появляются значительные сжимающие напряжения, что и ведет к потере устойчизости. При несимметричном выпучивании образуется ряд вмятин как в радиальном, так и в окружном направлениях. [c.109]

Нагартовка оболочек. Нагартовкой называется процесс упрочнения оболочки путём сообщения ей предварительной пластической деформации сравнительно большой величины. Если материал оболочки обладает значительным упрочнением, так что, например, истинное сопротивление при разрыве образца в два раза больше предела текучести, то путём нагартовки можно значительно увеличить. прочность оболочки. Среди вопросов, которые в связи с этим могут быть решены методами теории пластичности, находятся такие, как вопрос о том, какова должна быть исходная форма оболочки и как нужно прикладывать деформирующие заготовку силы, чтобы полу-чпть в результате оболочку данной формы. Мы ограничимся простейшими примерами нагартовки сферической и цилиндрической оболочек, толщина которых в исходном состоянии постоянна, а также задачей о прочности круглой пластинки с большим прогибом. [c.249]

Рассмотрим теперь задачу о деформации круглой пластинки радиуса а под действием постоянного давления р в случае, когда прогиб её является значительным. На рис. 79 показана изогнутая пластинка и её размеры в деформированном состоянии, — начальное расстояние какой-нибудь точки М от оси, г = Го + и — её расстояние после деформации и и — прогиб / 1, / 2 — главные радиусы кривизны поверхности после деформации. Приближённое решение задачи можно получить для как угодно больших прогибов, если сделать очень вероятное предположение, что изогнутая поверхность будет частью сферы. Однако мы рассмотрим задачу в обычных для теории упругости предположениях, которые делаются при изучении больших прогибов мембран выражения деформаций возьмём не абсолютно строгие, ио приближённые с сохранением квадратичных членов [c.251]

Итак, отметим, что при малых углах конуса для достаточно длинных оболочек (д ё р = соп81) при определении прогибов, углов поворота и напряжений можно пользоваться результатами расчетов по теории цилиндрической оболочки, а при больших углах р удовлетворительные результаты можно ожидать при использовании теории изгиба круглой пластинки. [c.258]

Отмечаем, что максимальный изгибающшй момент в свободно опертой пластинке больше изгибающих моментов ка в центре, так и в заделке защемленной пластины. Следовательно, защемление круглой пластины по сравнению со свободным опиранием приводит к значительному снижению максимальных прогибов и максимальных изгибающих моментов. [c.174]

Этот результат представляет собой случай изгиба пластинок, исиользоваиный впоследствии А. Надаи для экспериментального подтверждения приближенной теории изгиба ), предложенной Кирхгоффом. О другой интересной краевой задаче упоминается н Натуральной философии Томсона—Тэйта. Здесь сообщается по этому поводу До сих пор, к сожалению, математикам не удалось решить, а возможно, что они даже и не пытались решать, прекрасную задачу об изгибании широкой, весьма тонкой полосы (подобной, например, часовой пружине) в круговое кольцо ). Лэмб исследовал антикластический изгиб по краю тонкой полосы ) и достиг большого прогресса в решении задачи о балке ). Рассматривая бесконечно длинную балку узкого прямоугольного сечения, нагруженную через равные интервалы равными сосредоточенными силами, действующими поочередно вверх и вниз, он упростил решение двумерной задачи а для некоторых случаев получил уравнения кривых прогиба. Таким путем было показано, что элементарная теория изгиба Бернулли достаточно точна, если высота сечения балки мала в сравнении с ее длиной. При этом было также показано, что поправка на поперечную силу, даваемая элементарной теорией Рэнкина и Грасхофа, несколько преувеличена и должна быть снижена до 75% от рекомендуемого этой теорией значения. Надлежит упомянуть также и о труде Лэмба, посвященном теории колебаний упругих сфер ) и распространению упругих волн по поверхности полубесконечного тела ), а также в теле, ограниченном двумя плоскими гранями ). Он изложил также и теорию колебаний естественно искривленного стержня ). Особый интерес для инженеров представляет его и Р. В. Саусвелла трактовка колебаний круглого диска ). [c.407]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...