Поворот в трехмерном пространстве

Поворот в трехмерном пространстве [c.791]

Пример 3. Среди галилеевых преобразований имеются повороты в трехмерном пространстве. Инвариантность относительно таких поворотов означает, что пространство изотропно, так что в нем нет предпочтительных направлений. [c.17]

Для поворота в трехмерном пространстве, кроме самого объекта, указывается ось, вокруг которой осуществляется поворот, и угол поворота. Ось может задаваться двумя точками, реальным объектом, осью координат (рис. 601). [c.367]

Вектор — следующий по слол<ности объект. Это — физическая величина,, которой помимо ее численного значения приписывается некоторое направление. Таковы скорость, ускорение, сила. Для обозначения вектора используется жирный шрифт и преимущественно строчные буквы латинского алфавита. Действия векторной алгебры предполагаются известными скалярное произведение векторов а и 6 обозначается а-Ъ, векторное а X Ь. Но для последующего необходимо напомнить правила преобразования проекций вектора при преобразовании поворота ортогональной декартовой системы координат только такие системы применяются в дальнейшем, пока не оговорено противное. Заметим еще, что во всем последующем рассматриваются величины в трехмерном пространстве Евклида ( з). [c.799]

Характеристики упругости анизотропных сред являются компонентами материального тензора четвертого ранга в трехмерном пространстве. Их преобразование при повороте осей координат происходит путем суммирования произведений, содержащих множителями по четыре косинуса углов поворота осей. Число компонент материального тензора зависит от симметрии среды (расчетной схемы анизотропии материала), а величина компонент непосредственно характеризует упругие свойства материала. [c.9]

НОСТЬ устройства, рис. 2.78, в. Как отмечалось выше, в этом устройстве оси опор В, С, Е не параллельны. Тогда такой вал будет существовать в трехмерном пространстве, допускающем три вращательных движения ф , фу, фг. Вектор угловой скорости вала в опорах В VI О при повороте звеньев 2 и 5 раскладывается в общем случае на три оси X, У и 2. [c.163]

Применяя метод конкатенации, можно одновременно осуществлять поворот, масштабирование, перенос объекта в трехмерном пространстве ХУ и проецирование его на плоскость проекций ХУ для получения графического изображения. Обобщенная матрица [c.239]

Перейдем к рассмотрению группы 0 (3) вращений в трехмерном пространстве. Как мы знаем, эта группа является трехпараметрической. В качестве ее параметров возьмем сейчас три составляющие аь аг, з вектора а, направленного по оси вращения и равного по длине углу поворота. Направление поворота определяется по правилу буравчика. Очевидно, что всегда можно считать а тт. Поэтому областью изменения параметров а, является щар с радиусом тг, и, следовательно, группа 0 (3) компактная. Обратим внимание на то, что различным внутренним точкам щара соответствуют различные вращения, в то время как любым двум точкам поверхности шара, лежащим на противоположных концах диаметра, соответствует одно и то же вращение (на угоя тг). [c.124]

Преобразование Лоренца соответствует поворотам системы координат в пространстве — времени. В специальной теории относительности доказывается инвариантность физических законов только относительно этого типа преобразований. Обычная векторная алгебра дает нам систему обозначений, не зависящую от какой-либо конкретной системы координат в обычном трехмерном пространстве. Значение открытия Эйнштейна состоит в обобщении собственно преобразования Лоренца и простой геометрии четырехмерного пространства — времени.. В общей теории относительности Эйнштейн доказал возможность выразить физические законы в форме, независимой от любых преобразований я пространстве — времени, а не только преобразований перехода от одной неускоренной системы отсчета к другой. При этом четырехмерное пространство — время уже не является пространством с евклидовой геометрией — наоборот, оно может обладать кривизной. [c.371]

Первый класс задач геометрической адаптации решается с помощью методов установочной (начальной) адаптации и может быть разделен на два подкласса 1) отклонения сводятся к случайному малому параллельному переносу линии сопряжения в двух- или трехмерном пространстве 2) отклонения могут рассматриваться как случайный малый поворот в плоскости (вокруг одной оси) или в пространстве (вокруг двух или трех осей). Задачи первого подкласса наиболее часто встречаются при сварке коротких швов в конструкциях средних и крупных габаритных размеров, в частности, каркасно-решетчатого типа. При этом можно не учитывать случайный малый поворот короткой линии соединения, так как линейные смещения коротких швов пренебрежимо малы. [c.133]

Представление поворотов при помощи кватернионов единичной нормы представляет собой многообразие, являющееся трехмерной сферой в четырехмерном пространстве + Л = 1. Это [c.51]

Будем задавать положение тела ортонормированным репером (вц 62, вд). Три вертикальные компоненты векторов репера задают вектор в трехмерном координатном евклидовом пространстве. Длина этого вектора 1 (почему ). Этот вектор Пуассона ) V определяет исходный репер с точностью до поворотов относительно вертикали (почему ). [c.345]

Строение ортогональных тензоров. В этой книге нам понадобятся сведения об ортогональных тензорах только в трехмерном векторном пространстве. При /1 = 3 центральная инверсия —I является ортогональным тензором, но не поворотом. Каждый ортогональный тензор Q есть либо поворот R, либо произведение —R поворота R на —1. Таким образом, строение ортогональных тензоров полностью определяется строением поворотов. [c.510]

Примеры свободное вращение твердого тела и задача трех тел. Рассмотрим сначала задачу Эйлера о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции (см. п. 2.4 гл. 1). Здесь Л1 = Г50(3) =50(3)X/ , группой симметрий О является группа вращений 50(3) ей соответствует пуассонов-ская алгебра первых интегралов, изоморфная алгебре Ли 50(3). Зафиксируем значение кинетического момента и рассмотрим интегральный уровень Мс=Рв<цз) Чс). Нетрудно показать, что при всех значениях с множество Мс является трехмерным многообразием, диффеоморфным пространству группы 50(3). Стационарной группой Ос является одномерная группа поворотов 50(2) твердого тела в неподвижном пространстве вокруг постоянного вектора кинетического момента. Приведенное фазовое пространство Л7е = 50(3)/50(2) диффеоморфно двумерной сфере. [c.110]

К векторным пространствам относятся множества вещественных и комплексных чисел, множества функций (например, периодических функций с некоторым периодом ), множества преобразований (например, множество поворотов с неподвижной точкой на плоскости шш в трехмерном про- [c.267]

Группа вращений 0 (3) ее элементы — преобразования вращения трехмерного пространства или соответствующие им ортогональные матрицы с определителем, равным единице. Это также непрерывная трехпараметрическая группа 9 элементов ортогональной матрицы преобразования связаны, как известно, щестью условиями. Б качестве независимых параметров вращения могут быть выбраны, например, углы (р, в, ф . Полярные углы <р ж в определяют положение оси вращения, проходящей через начало координат. Угол -ф определяет поворот относительно этой оси . Инвариантность относительно группы 0 (3) выражает свойство изотропности (т.е. равноправности направлений) трехмерного пространства. [c.11]

Доказать, что любое преобразование вращения трехмерного пространства может быть представлено в виде поворота на определенный угоя вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат. [c.14]

Любой начальный поворот вокруг оси а стороны, првтиволе- жащей стороне oq, относительно oq представлял бы кручение, которое здесь равно нулю, поскольку oq является линией кривизны. Соответствующий поворот, связанный с деформированием, несколько труднее поддается анализу, поскольку на этот поворот оказывают Ьлгхяние условия, действующие в трехмерном пространстве, а не в двумерном, как это, по существу, имело место в предыдущем случае. Однако окончательную картину деформирования можно представить в том же духе, что и в предыдущем случае. [c.434]

Команда ALIGN (ВЫРАВНЯЙ) уже рассматривалась в главе 10, Расширенный набор инструментов редактирования . При работе в трехмерном пространстве команду ALIGN используют для перемещения, поворота в плоскости XY, а также поворота в направлении Z — все это можно сделать в одном сеансе выполнения команды. [c.794]

Для доказательства теоремы удобно сделать следующее представление для конфигурационного многообразия твердого тела. Всякий поворот по теореме Эйлера может быть задан осью конечного поворота е и углом правовинтового вращения вокруг нее (р. Образуем в трехмерном пространстве вектор <ре, где О < у < тт. Между множеством положений тела и точками введенного шара взаимнооднозначного соответствия нет, поскольку поворот вокруг е на угол тг дает то же самое положение тела, что и поворот вокруг оси —е на угол тт. Однако если мы отождествим диаметрально противоположные точки поверхности этого шара, то получим множество, находящееся с поворотами во взаимно однозначном соответствии. Все замкнутые траектории в шаре могут быть разделены на два типа внутренние траектории (рис. 15а) и траектории с выходом на поверхность и последующим продолжением из диаметрально противоположной, тождественной точки (рис. 156). [c.50]

Новые средства для работы в трехмерном пространстве, построенные на основе нового математического ядра A IS 4.0, позволяют создавать такие модели, о которых раньше можно было только мечтать создание оболочек, редактирование ребер, граней и тел (подобие, копирование, поворот, смещение, удаление, изменение цвета). Задание пользовательской системы координат для каждого видового экрана и одновременная работа сразу на нескольких рабочих плоскостях. Средство навигации в трехмерном пространстве 3D Orbit позволяет динамически вращать каркасные и полутоновые объекты, динамически изменяя режим закраски, проекцию. [c.34]

Плоскопараллельные и осесимметричные течения. Изучаемые в этом параграфе плоскопараллельные и осесимметричные течения газа обладают общими свойствами. Основными величинами здесь являются компоненты ве1сгора скорости и = и, у), плотность р, давление р и энтропия 5, причем последние связаны уравнением состояния р = /(р, 5) и газ предполагается нормальным (см. 2). Основные величины рассматриваются как функции декартовых координат х,у). При этом некоторого разъяснения требует изображение осесимметричных течений. Прежде всего, безоговорочно принимается, что ось симметрии совпадает с прямой у = 0. Далее, физическая картина осесимметричного течения восстанавливается в трехмерном пространстве путем вращения меридиональной полуплоскости у >0 вокруг оси у = 0. При повороте на угол 180° эта полуплоскость становится продолжением исходной, а любое изображение — зеркально симметричным исходному. Ясно, что этим же свойством обладает преобразование симметрии [c.218]

В результате объединения пространства и времени в одну четырехмерную реальность (пространство — время), все четыре измерения которого в прпниипе эквивалентны, получается стройная система записи величин, инвариантных относительно преобразования Лоренца. При поворотах в обычном трехмерном пространстве преобразуются только пространственные координаты например, при повороте на угол 0 вокруг оси 2 координаты преобразуются по следующим формулам [c.366]

При таком допущении можно сопоставить двухмерньи объект — треугольник с трехмерным объектом — призмой (ппс. 106 —109). Лицо п изианка треугольника одинаковой расцветки (рисунка). Правдоподобно ли, что трехмерный треугольник с третьим измерением, приближающимся к нулю, при переходе через четырехмерное пространство после поворота окажется другого цвета, как это происходит с трехмерной призмой Окажется ли он при этом вывернутым наизнанку Такая метаморфоза в четырехмерном пространстве уже не кажется невероятной. Графически это можно представить в виде нескольких последовательных фаз, как показано на рис, 110. [c.26]

В трехмерном евклидовом пространстве тензору (oijj) соответствует вектор поворота с контравариантными компонентами [c.117]

Инвариантный объект, который в системе декартовых осей трехмерного пространства характеризуется девятью числами йц, преобразующимися при повороте осей по закону (1 . 16), называется тензором второго ранга, а эти девять чисел с двумя в определенном порядке индексами называются его компонентами. [c.392]

Тензором ранга р называется инвариантный объект, который в системе декартовых осей трехмерного пространства характеризуется 3" числами. .. t , занумерованньши в определенном порядке р индексами, причем при повороте осей эти числа, называемые компонентами тензора, преобразуются по закону [c.393]

В трехмерном эвклидовом пространстве тензором называется совокупность математических величин (компонент), преобразующихся при повороте осей координат по определенным линейным законам и обладающих рядом свойств, общих для этих величин. [c.8]

Из (3.7) получаем detQ= l. Ортогональные тензоры с положительным детерминантом называются собственно ортогональными, а с отрицательным — несобственно ортогональными. Ортогональное преобразование не меняет длин векторов и углов между ними, поэтому собственно ортогональный тензор в трехмерном евклидовом пространстве задает конечный поворот абсолютно твердого тела вокруг неподвижной точки. Несобственно ортогональный тензор осуществляет преобразование, состоящее из жесткого поворота и отражения. [c.12]

Можно ввести вектор R в четырехмерном пространстве-времени как величину с компонентами t, х, у, г (или t, г) и записать так R (t, х, у, г), или R (t, г). Вектор R называют чгтырехвекто-ром (4-вектором). В обычном трехмерном пространстве при повороте декартовой системы остается постоянной длина радиуса-вектора, длина г, или квадратный корень из гг (скалярного произведения г на самого себя). Вообще говоря, скалярное произведение двух векторов при повороте системы коордннат остается неизменным. [c.545]

Остановимся вкратце на некоторых следствиях теории относительности (см., например, [2]). В нерелятивистской механике основную роль играют трехмерные векторы в обычном пространстве (например, импульс, сила и т. д.). Теория относительности внесла фундаментальное изменение в это представление, связав пространство и время в единый четырехмерный континуум, в котором основные механические величины образуют уже не трехмерные, а четырехмерные векторы. Таким образом, длина этих векторов будет инвариантна уже относительно поворотов четырехмерных систем координат, в частности относительно перехода от одной инерциальной системы к, другой. Мы рассмотрим в этой кнцге только последнее преобрадорание. [c.12]

Для нас основным примером будет группа 80(3) — группа поворотов трехмерного евклидова пространства. Она состоит из ортогональных матриц третьего порядка с определителем, равным единице. Произвольная 3 х 3-матрица задается девятью произвольными параметрами. Шесть независимых условий ортогональности выделяют в девятимерном пространстве гладкую регулярную трехмерную поверхность — многообразие 50(3). С топологической точки зрения — это трехмерная сфера, у которой отождествлены антиподальные точки. Легко проверить, что операция умножения матриц будет гладким преобразованием этой поверхности. Как уже отмечалось ( 5 главы I), группа 50(3) — конфигурационное пространство в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.149]

Дальше, однако, возникает существенное осложнение. Дело в том, что — в отличие от группы трансляций — группа вращений трехмерного пространства — это группа неабелева. Поэтому нельзя ожидать, что унитарные операторы (90), соответствующие поворотам вокруг различных осей, будут коммутировать. [c.427]

Элементами точечных групп являются некоторые вращения трехмерного пространства, а также вращения, сопровождаемые инверсией. Мы знаем (см. упр. 1.1), что любой элемент группы вращений можно представить как поворот на некоторый угол р вокруг определенной оси. Если грухше принадлежит поворот на угол то ей принадлежит и поворот на угол к<р, где к — произвольное целое положительное или отрицательное число. Поэтому в конечной группе угол <р должен быть рациональной частью 2тг. Если наименьший угол поворота вокруг некоторой оси равен то такую ось называют осью п-го порядка. Преобразование поворота на угол обозначают через С или Ск ( ), где к — единичный вектор, направленный вдоль оси. Ясно, что если группа содержит поворот С , то она содержит также повороты С1, на углы [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...