Метод перемещений для линейно-упругого тела

Метод перемещений для линейно-упругого тела [c.8]

Для линейно-упругого тела при однозначных малых перемещениях ui, удовлетворяющих условию (1.41), справедлив метод суперпозиции. [c.89]

Прямая задача теории упругости, т. е. определение перемещений и напряжений упругого тела по заданным внешним силам и условиям закрепления, даже в линейной ее постановке, весьма трудна, и в настоящее время нет эффективного общего метода ее аналитического решения. Иными словами, сформулировав какую-либо конкретную задачу этой теории математически, мы часто не имеем достаточных математических средств, для того чтобы ее решить, если не говорить о приближенных методах интегрирования или об использовании вычислительных машин. Однако поскольку всякая задача теории упругости является по существу физической задачей, уместно привлекать к ее решению не только математические, но и физические соображения. Именно этим путем и было решено большинство задач теории упругости, представляющих наибольший практический интерес. [c.236]

Обратим внимание на важную особенность системы (4.17) в нее не входят константы упругости и и. Следовательно, при заданных на поверхности пластинки нагрузках р , ру (4.4) эти уравнения могут быть решены и дадут напряжения, не зависящие от упругих свойств изотропного линейно-упругого материала. Это положение обычно называют теоремой Леви. Она служит теоретическим основанием, позволяющим напряжения, найденные на моделях, изготовленных из какого-либо материала, переносить на геометрически подобные и аналогично загруженные детали конструкций, выполненные из другого материала. Например, в методе фотоупругости используются прозрачные модели, а результаты экспериментальных исследований переносят на стальные, бетонные и т. п. элементы конструкций. Подчеркнем, что строго это положение справедливо только для элементов с заданной поверхностной нагрузкой (а не перемещениями) и, как показывает более подробный анализ, только для односвязных тел, т. е. тел без отверстий. В телах с отверстиями для применимости теоремы Леви надо, чтобы выполнялось дополнительное условие, а именно на каждом из замкнутых контуров тела и отверстий главные векторы и момент поверхностной нагрузки должны быть равны нулю. [c.77]

В математике аналогом этого метода служит упрощенный метод Ньютона. В физическом смысле метод упругих решений означает итерационный поиск таких дополнительных нагрузок, которые сообщают линейно деформируемому телу перемещения, равные перемещениям нелинейного тела под заданную нагрузку. В связи с этим метод часто называют методом дополнительных нагрузок. Жесткостные характеристики, обусловливающие оператор Ао, назначаются заранее. Как правило, начальный модуль деформации Eq, который определяет Ао, назначается для состояния, когда отсутствуют напряжения и деформации, т. е. [c.73]

Согласно методу начальных напряжений для каждого линейного решения определяют начальные напряжения, необходимые для приведения упругого решения в соответствие с искомым, т.е. деформации в упруго пластическом теле будут одинаковыми с деформациями в упругом теле, если на последнее действуют дополнительные нагрузки, определяемые по (2.3.2). Итерационный процесс заключается в следующем. В начальном приближении все дополнительные нагрузки считают равными нулю. Решая (2.3.24), определяют узловые перемещения началь- [c.100]

Теорема Кастильяно является общим методом определения перемещений любых упругих линейно деформируемых систем (стержневых систем, пластин, оболочек и массивных тел). Но для стержневых систем более простым является метод Мора. Поэтому для них метод Кастильяно практически не используется. [c.211]

Для однородного и изотропного тела последнее условие не является необходимым. Метод наложений пригоден и в том случае, когда поворот цилиндра вокруг оси z сопровождается поворотом вокруг других осей, а также линейным перемещением вдоль какой-либо оси и т. д. Требуется лишь, чтобы расположение цилиндров в пространстве и их упругие напряжения зависели от одного параметра а>, который меняется монотонно в определенных пределах. Введение такого приема позволяет получить для напряженного состояния некоторых тел более простые представления. [c.203]

Задание закона состояния приводит к замкнутой системе дифференциальных уравнений, по которой определяется реализуе- мое в теле напряженное состояние и вектор перемещения точек среды. Из сказанного следует, что в линейной постановке задача определения формы и размеров упругого тела в конечном состоянии отодвигается на второй план—их находят после того, как задача решена в предполон<ении неизменности начальной формы тела. Этот прием позволяет избежать серьезной трудности нелинейной теории упругости, когда напряженное состояние приходится разыскивать в 1/-объеме — в теле с неизвестной наперед границей О. Его законность подтверждается тем, что при решении задач нелинейной теории упругости методом последовательных приближений, например в форме ряда по степеням параметра ма.пости, характеризующего малость градиента вектора перемещения, исходное приближение, получаемое при пренебрежении слагаемыми, содержащими этот параметр, представляет решение задачи для линейно-упругого тела, когда определяющие уравнения отнесены к начальному объему и начальной форме его границы. [c.102]

Для исследования напряжений и перемещений в линейно упругих телах в настоящее время обычно используются три метода метод комплексных потенциалов Колосова—Мусхелигпвили [ ], метод интегральных преобразований (см., нанример, [ ]) и метод разложения но собственным функциям [ ]. [c.54]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

При использовании электрических цепей исследуемая область заменяется ступенчатым телом, состоящим из прямоугольных блоков (см. рис. 66). В методе конечных элементов осесимметричное цилиндрическое тело представляется системой кольцевых элементов, чаще всего с треугольным поперечным сечением (рис. 68, а). Считается, что все элементы связаны между собой шарнирно в их узловых точках и в пределах каждого элемента напряжения и температуры постоянны. Поверхностные и объемные силы, действующие на элементы и их стороны, заменяются силами, сосредоточенными в узлах. Под действием сил, приложенных к кольцейому элементу, узловые точки перемещаются (рис. 68, б) перемещения их изменяются линейно от нагрузок, т. е. по закону Гука, как для упругой задачи. Для каждого узла в отличие от электрических цепей составляются два алгебраических уравнения одно для перемещения узла по оси г, а другое— по оси г. [c.131]

В деформационной теории пластичности для анализа напряжений широко используется метод упругих решений, разработанный А. А. Ильюшиным [103]. Названный метод в каждом приближении состоит в решении задачи неоднородной теории упругости. С этой целью уравнения поля для процесса нагружения выражаются в перемещениях . В нулевом приближении принимается решение линейной термоупругой задачи для неоднородного тела с заданными граничными условиями при данной интенсивности поверхностной нагрузки. Если известны деформации, согласно (4.12) можно вычислить эквивалентные деформации. Далее, когда в какой-либо точке возникает текучесть, секущий модуль в Х4.9) ф 2[х при (О == (о(ёу, 0) О, Соотношение напряжений — деформации для рассматриваемого материала дается, например, выражением (4.16), следовательно, можно определить секущий модуль. Это позволяет найти из закона Гука соответствующее напряжение, скажем Wij, Если дулевое приближение является точным, будет справедливо равенство ац = ц. Если же это приближение не является точным, то ищется следующее приближение, при котором значение рассматривается как ис-трчник фиктивных массовых сил /П/ и поверхностных нагрузок д ], определяемых как рт,- = Wi/, /, qi s где / — внеш- [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...