Формулы для комплексных потенциалов

Формулы для комплексных потенциалов ) [c.216]

ФОРМУЛЫ для КОМПЛЕКСНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ 217 [c.217]

В случае жесткого включения выражение для комплексных потенциалов запишем, исходя из формул (41), [c.135]

Поскольку в формулы для напряжений не входят функции, зависящие от температуры, остаются справедливыми выражения для главного вектора (1.7) и главного момента (1.9), формулы преобразования комплексных потенциалов Ф (г) и Y (г) при переходе к новой системе координат (1.11) и все соотношения, связывающие компоненты напряжений с функциями Ф (z) и Ч (z), полученные в условиях силовой задачи. [c.227]

Используя формулы (2.10), (4.1), (4.4) —(4.6), запишем выражения для комплексных потенциалов Ф(2) и Т(2) [c.50]

Учитывая все сказанное, а также формулы (2.10) н (4.4), запишем выражения для комплексных потенциалов задачи [c.55]

Все сказанное в гл. 1 относительно геометрии двоякопериодической решетки и системы обозначений остается в силе и в данной главе ). Так же как и в гл. 1, мы выделяем здесь класс задач с двоякопериодическим распределением напряжений. Так как формулы (1.6) для изгиба аналогичны по структуре формулам (1.1.7) 2) для плоской задачи, то ясно, что условия периодичности и симметрии для комплексных потенциалов Ф(г) и 4 (2) совпадают с условиями (1.2.2а) и (1.2.2в) соответственно. Это значит, что функции Ф(г) и Ч (2), определяющие класс однородных двоякопериодических задач изгиба решеток, имеют представления вида (1.2.3) и по структуре совпадают с аналогичными потенциалами для плоской задачи. Коэффициенты а2л-ь2 и Р2Л+2 представлений комплексных потенциалов Ф(2) и 4 (2) должны быть определены из граничных условий задачи. [c.96]

Эта формула позволяет определить и и и для плоского напряженного состояния, если заданы комплексные потенциалы г )(г) и х(2)- Для случая плоской деформации, в соответствии с 20, в правой части формулы (86) v нужно заменить на v/(l—v). [c.188]

Имея окончательные формулы для двух комплексных потенциалов, определяемых уравнениями (н) и (п), выражения для перемещения и напрял<ения можно получить из общих формул (96)-(98). [c.228]

Комплексные потенциалы напряжений найдем по формулам V.1). Для Ф (г) получим выражение [c.157]

Комплексные потенциалы Ф (г) и (г) получим по формулам (Vni.31), считая для определенности, что пластина занимает нижнюю полуплоскость (Im г < 0) [c.267]

В этом случае подход к определению комплексных потенциалов из граничных условий тот же, что и для конечных областей, конформно отображаемых на круг с помощью полиномов. Для конечных областей этот подход подробно исследован в [65], а для бесконечных областей он изложен в [58], поэтому не будем рассматривать вывод расчетных формул, а приведем сразу алгоритм определения функций Фо(С) и Фо(С) из граничного условия [c.78]

Многосвязная область с отверстиями и трещинами. Пусть в бесконечной плоскости имеется один замкнутый криволинейный разрез L, разбивающий всю плоскость на две области внутреннюю 5+ и внешнюю 5 Предположим, что при переходе через контур L напряжения остаются непрерывными q t)=0), а вектор смещений получает скачок g t). Тогда комплексные потенциалы Ф г) и 4 (2) определяются по формуле (1.66), а неизвестная функция g t) удовлетворяет уравнению (1.67) (при q t)=0), т. е. сингулярное интегральное уравнение первой основной задачи (при заданной на границе L нагрузке) является одним и тем же для внутренней и внешней области. Из теоремы единственности следует, что для существования решения необходимо выполнение условий равновесия области 5+ (равенство нулю главного вектора и главного момента внешних усилий, действующих на контуре L), т. е. интегральное уравнение в этом случае имеет решение при дополнительных условиях, которым должна удовлетворять правая часть уравнения (следовательно, союзное однородное интегральное уравнение имеет нетривиальное решение). Таким образом, задача является некорректной. Для ее регуляризации в работах [94, [c.19]

Комплексные потенциалы напряжений Ф1 (2) и Ч " (2) для рассматриваемой задачи согласно формуле (1.66) представим в виде [c.78]

Это уравнение определяет действительное положительное число ц и угол X. Заметим теперь, что цв Й5/(г—С) является комплексным потенциалом в точке г для диполя мощности расположенного в точке 5, ось которого имеет направление Х- Следовательно, формула (2) показывает, что комплексный потенциал уо(г) можно рассматривать как непрерывное распределение диполей вдоль контура С при этом плотность распределения на единицу длины дуги дается формулой (3). Это распределение известно как эквивалентный слой диполей по Грину. Относительно другого вида эквивалентного слоя, также данного Грином, см. п. 13.64. [c.201]

Для того чтобы применить эту формулу к случаю п. 8.82, отбросим в комплексном потенциале хю член, обусловленный диполем в точке г=. Тогда получим [c.216]

Теорема об окружности в рассматриваемом случае непосредственно не применима, ибо Д имеет особые точки и внутри окружности,, и вне ее (в бесконечно удаленной точке будет располагаться источник), как следует из формулы (11.3.22). Однако можно применить теорему об окружности или метод изображений дважды к внешней и внутренней областям окружности. Воспользуемся сделанным замечанием для построения комплексного потенциала вне окружности и 1 и внутри окружности г/72. Течение вне окружности будет определяться особой точкой, расположенной внутри окружности (х=—у=0) (11.3.24), или комплексным потенциалом [c.295]

Краевые условия задачи (22)-(25) с помощью формул Колосова-Мусхелишвили [7] можно записать в виде граничной задачи для отыскания двух пар комплексных потенциалов Фб(-г), Фб(г) для втулки и Ф(г ), Ф(г ) для подкрепляющего цилиндра. [c.201]

Для того чтобы на основании формулы (83) можно было определить подъемную силу заданного контура, необходимо знать циркуляцию Г. Теоретически мы можем построить бесчисленное множество комплексных потенциалов течения около данного контура, задаваясь различными значениями Г. Но очевидно, что в реальных условиях при обтекании данного контура существует вполне определенное и единственное значение циркуляции Г, причем величина Г зависит от геометрических параметров контура. Естественно возникает вопрос как найти циркуляцию Г, если геометрические характеристики обтекаемого контура известны [c.306]

До настоящего времени, изучая свойства плоского потока, определяемого комплексным потенциалом т, мы рассматривали его лишь с кинематической точки зрения. Естественно возникает вопрос, как, зная комплексный потенциал т потока, обтекающего какое-нибудь тело, вычислить результирующую силу давления потока на тело. Впервые эта задача была решена в 1906 г. Н. Е. Жуковским в работе О присоединенных вихрях , где была выведена формула для результирующей силы давления потока на тело в том случае, когда поток задан комплексным потенциалом 1Ю.. [c.141]

Эта формула, позволяющая для потока, заданного комплексным потенциалом w, найти X ш Y, следовательно, и выражение для полной силы давления + носит название формулы [c.143]

Полученная формула носит название формулы Чаплыгина и позволяет для заданного комплексным потенциалом ш потока вычислить результирующий момент М от давления потока на тело. [c.146]

Комплексные потенциалы представлены формулами (4.35). Комплексные потенциалы для шайбы имеют такой вид [c.86]

Для коэффициентов Ргл+г имеют место формулы (1.4.23) величины Рбй+2 равны нулю. Комплексные потенциалы для данной задачи определены рядами (2.11). [c.113]

Формулы для определения коэффициентов р4/,+4 совпадают с формулами (1.4.34). Величины р4л+2 ( = 0, 1,. ..) равны нулю. Комплексные потенциалы имеют вид (2.17). [c.115]

Комплексные потенциалы для решетки имеют вид (2.8). Комплексные потенциалы шайбы получим из формулы (6.15), [c.121]

Интегральные представления комплексных потенциалов Ф (г) и Y (г) (1.145) являются общим решением двумерной бигармони-ческой задачи, содержащим две произвольные комплексные функции g (/) и q (/) (или четыре действительные функции), что позволяет с их помощью изучать самые разные краевые задачи для областей с разрезали . В частности, удовлетворив с помощью представления (1.145) и формул (1.26), (1.30), (1.42) граничным условиям плоской задачи теории упругости для бесконечной плоскости с разрезами, когда на одном берегу разреза заданы смещения, а на другом — напряжения, найдем сингулярные интегральные уравнения второго рода. При использовании условий неидеального контакта упругих тел, когда напряжения и смещения берегов разреза связаны линейными зависимостями (см. [40, 172, 175, 261]), легко получить сингулярные интегро-дифференциальные уравнения типа Прандтля для тел с тонкостенными упругими включениями 238]. Интегральные представления могут быть использованы при решении различных смешанных задач для тел с разрезами, задач о полосах пластичности, моделируемых скачками перемещений [23], и др. [c.38]

Используя представления комплексных потенциалов (z) и Ф2 (г) (IV.13), (IV.15), (IV.17) и (IV.18) через скачки смещений (tn) и напряжений Q на контурах криволинейных разрезов в полубесконечной плоскости, по формулам (L152) и (1.153) получаем сингулярные интегральные уравнения основных граничных задач для рассматриваемой области. В случае первой основной задачи для полуплоскости, ослабленной системой произвольно ориентированных прямолинейных трещин, такие уравнения впервые построены в работах [50, 2151. Они справедливы как для внутренних, так и для краевых трещин. В частности, па основе интегральных уравнений для системы прямолинейных трещин в полуплоскости [2151 в работе [420] рассмотрена задача об определении концентрации напряжений около треугольного краевого выреза в полубесконечной пластине. При этом вырез образовывался двумя краевыми трещинами, выходящими из одной точки. Точно так же изучалось распределение напряжений в полуплоскости около прямоугольного выреза [3521. При использовании интегральных уравнений в случае криволинейных разрезов можно рассматривать аналогичные задачи о криволинейных вырезах различной формы, выходящих на край полуплоскости. [c.115]

Комплексные потенциалы Ф (г) и Ч (г) для данно11 задачи могут быть получены по формулам (V.103). [c.179]

Таким образом, комплексные потенциалы Ф (г) и (г) стационарной задачи термоупругости для плоскости с термоизолированными трещинами имеют такую же зависимость от функции G (/), как и в случае силовой задачи от функции g (/). Очевидно, что в общем случае, когда, кроме температуры Т х, у), на тело действует силовая нагрузка, приложенная к берегам термоизолированных разрезов, комплексные потенциалы Ф (2) и (г) выражаются по таким же формулам, как и в силовой задаче, с тем лишь различием, что к функции Q (t) прибавляется слагаемое 2/бу (t). [c.229]

В основе решения плоского варианта лежит переход к плоскости годографа w = logg ( ), где g — функция, обратная к комплексному потенциалу, и этот переход также представляет собой конформное отображение. Для квазиконформных отображений такой переход также возможен — это переход к производной системе (см. гл. III). По формулам (11) 11 мы находим, что в данном случае производная система имеет вид [c.249]

Если предположить, что /(а, t) и ft (а, аналитические функдни от а, то правая часть равенства (3) также является аналитической функцией от а. Таким образом, мы можем использовать формулу (3) для определения комплексного потенциала w как аналитической функции комплексного переменного а и, следовательно, аналитической функции комплексной переменной г. Определенный таким образом комплексный потенциал w (z, t) является комплексным потенциалом потока, который имеет свободную поверхность, совпадающую со свободной поверхностью, задаваемой уравнением 2 = / (а, t). [c.288]

Различные специальные вопросы. Недавно С. М. Белоносову И—3] удалось получить интегральные уравнения плоской задачи, пригодные, вообще говоря, и в случае угловых точек ). Рассматриваемая область (конечная или бесконечная), ограниченная кусочно-гладким контуром L, отображается на правую полуплоскость Re С >0 плоскости вспомогательного переменного + iii]. Затем для искомых комплексных потенциалов ф и -ф, регулярных в правой полуплоскости, получаются функциональные уравнения, аналогичные уравнениям, данным в 78. Эти функциональные уравнения после применения к ним одностороннего преобразования Лапласа приводят к интегральному уравнению с действительным симметричным ядром относительно неизвестной плотности интегрального представления. Если контур L не содержит угловых точек и вообще достаточно гладок, то ядро уравнения, определенное для обеих переменных на всей бесконечной прямой, является фредголь-мовым. В общем случае при наличии угловых точек оно уже не будет фредгольмовым, но будет принадлежать к типу ядер Карлемана. Для частных случаев клина и бесконечной полосы интегральное уравнение допускает обращение по формуле Римана — Меллина и решение задачи находится в замкнутом виде (в квадратурах). Ядра интегральных операторов, входящих в решение задачи, не выражаются, правда, в элементарных функциях, но их всегда можно аппроксимировать с достаточной точностью простыми кусочно-аналитическими функциями. В названной выше работе [c.598]

Комплексные потенциалы для данной задачи могут быгь представлены формулами [c.108]

Решение задачи на первом этапе осуществляется методом комплексных потенциалов и основано на приближенном полиномиальном представлении аналитической функции, отображающей исследуемую область на внешность единичного круга. Это решение достаточно громоздко и требует численной реализации на ЭВМ. Разработанная с этой целью программа для БЭСМ-б позволила вычислить значения напряжений в любой точке прискважинной области. Далее, на втором этапе, с помощью формул (6.16) в каждой точке области фильтрации можно найти главные значения тензора проницаемости. Таким образом определяется поле направленных проницаемостей вокруг скважины, осложненной вертикальными щелевыми разрезами. [c.233]

Приведем обзор имеющихся результатов для случаев, когда условия (3.2) не выполняются. Задача рассеяния на чисто кулоновском потенциале U(x) = = —е /х решается, конечно, до конца для нее могут быть записаны явно амплитуда рассеяния и волновая функция. Сингх [94] провел анализ плоскости комплексного углового момента для этого случая. Литература по кулоновскому потенциалу настолько известна, что мы приведем только основные формулы. Трехмерная волновая функция равна [c.223]

Уменьшить амплитуду периферических волн можно также нанесением на поверхность оболочки внешнего слоя из вязкоупругого материала. Влияние такого слоя на акустические характеристики оболочки рассматривалось в работах [96 97, 101]. Внутри каждого слоя смещения и напряжения выражались через потенциалы и в результате для двухслойной системы без внутреннего заполнителя получалась система из девяти уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Для этой же цели можно воспользоваться общей методикой с применением переходных матриц, описанной в пп. 5.1, 5.7. Если скорость поперечной волны в вязкоупругом слое мала по сравнению со скоростью продольных волн, то при вычислениях сферических или цилиндрических функций можно встретиться с трудностью, описанной в п. 5.1.3, так как в этом случае величины kfO 1 2 будут комплексными числами, большими по абсолютной величине. Если же совсем пренебречь возможностью возникновения поперечных волн в вязкоупругом слое, то его можно аппроксимировать жидким слоем с комплексной скоростью продольньк волн Со и плотностью Ро. Модовые импедансы системы, состоящей из слоя (или системы слоев) с известными импедансами Z и нанесенного на внешнюю поверхность слоя с параметрами ро, Со, определяются таким же способом, как и в п. 5.7.1. Для них справедлива формула (5.111), причем в качестве внутреннего и внешнего радиусов этого слоя следует принять а и Го соответственно. [c.285]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...