Уравнение дисперсии и его решение

При изучении диффузии растворимого вещества в текущем потоке жидкости пользуются уравнением (6-9-1) и (6-9-6). Если положить в основу дифференциальное уравнение (6-9-6), то из его решения для простейших граничных условий первого рода (полупространство с постоянной концентрацией на открытой поверхности) можно рассчитать коэффициенты диффузии D (коэффициент дисперсии). [c.444]

Заменяя в (37) / (х), по (40 ) получаем линейное уравнение. Решая его, выражаем спектральную плотность, дисперсию и математическое ожидание решения через коэффициенты линеаризации [c.244]

Итак, квантовомеханический пространственно-временной эволюционный подход позволил нам избавиться от устаревшей проблемы отбора решений и специальных правил обхода полюсов функций Грина. Сила этого подхода в том, что он приводит не к вычислению отклика среды на действие источника, а к решению начальной задачи (задачи Коши), для которой существуют теоремы о существовании и единственности решения. Фейнман в своем первоначальном подходе к построению диаграммной техники для функции Грина постулировал правила обхода ее полюсов. Эти правила оказались абсолютно правильными для задач квантовой теории поля, в которой рассматривается только рассеяние одной, двух (т.е. конечного числа) частиц друг на друге, а все бесконечное число степеней свободы утоплено в ненаблюдаемый в реальных переходах вакуум. Его роль проявляется только в виртуальных переходах и сводится к перенормировке параметров частиц (закона дисперсии, массы, заряда). При рассеянии частиц и волн в макроскопических системах такой подход оказывается недостаточным, поскольку при этом макроскопическое число частиц или волн оказывается в возбужденных ( над вакуумом ) состояниях. Использование правил отбора решений Фейнмана для таких задач в монографиях [41, 42] приводит к ошибочным результатам. В этом случае работают все четыре обхода двух полюсов, то есть четыре функции Грина, и необходимо использовать диаграммную технику Келдыша [39], полностью эквивалентную задаче Коши. Такая ситуация имеет место для любой классической задачи, связанной с нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением. Эти задачи эквивалентны квантовым (хороший пример - теория турбулентности [43]). Только для линейных задач с параметрической случайностью , т.е. для линейных уравнений со случайными коэффициентами, из четырех функций Грина остаются две - запаздывающая С и д опережающая. Мы увидим, что энергия рассеянных волн выражается через их произведение. При этом (3 отвечает за эволюцию поля на нижней ветви контура Швингера-Келдыша, а 0 - за эволюцию на верхней ветви (см. рис. 2). [c.67]

Искажение плоской волны в случае малых чисел Рейнольдса рассмотрено в [28] для сред с малой дисперсией скорости. Решение уравнений гидродинамики приводит в этом случае во втором приближении к уравнению биений в пространстве. Этот результат вполне естествен, так как в результате дисперсии скорости фа.ча второй гармоники изменяется в пространстве относительно фазы первой гармоники. Этот сдвиг фазы, меняющийся в пространстве (отсутствие синхронизма), сначала, если бы не было релаксационного поглощения, приводил бы к замедлению роста амплитуды гармоники, затем к прекращению его и, наконец, к падению амплитуды второй гармоники. Однако одновременно с дисперсией скорости на величину второй гармоники будут оказывать влияние диссипативные процессы, связанные с теплопроводностью и вязкостью (как сдвиговой, так и объемной). Как показано в [28], даже учет одной только объемной вязкости приводит к тому, что характер изменения амплитуды второй гармоники из-за малой дисперсии в основном определяется поглощением звука. [c.132]

Одним из методов решения этой задачи является метод моментов. При его использовании параметрам теоретического распределения придают такие значения, при которых несколько важнейших моментов совпадают с их статистическими оценками. Так, если статистическое распределение, определяемое гистограммой, приведенной на рис. 26, мы хотим описать кривой нормального распределения, то естественно потребовать, чтобы математическое ожидание и дисперсия последнего совпадали со средним арифметическим и оценкой дисперс 1й, вычисленным по опытным данным. В предыдущем примере 8,91936 мм, 5 =0,0028 мм и уравнение кривой нормального распределения, лучше всего согласующегося со статистическим распределением, должно иметь вид [c.121]

Элементарная теория распространения упругих волн вдоль цилиндрических стержней, описанная в начале этой главы, может быть распространена на стержни любого поперечного сечения, если только длина волны велика по сравнению с его поперечными размерами. Согласно этой теории, продольные волны распространяются с постоянной скоростью Со = (f/p) , а скорость крутильных волн должна зависеть от формы поперечного сечения, но для любой данной формы она постоянна. Изгибные же волны испытывают дисперсию фазовая скорость синусоидальных изгибных волн с длиной волны А равна 2т Л Со/Л, где К—радиус инерции поперечного сечения стержня относительно оси, перпендикулярной оси стержня и лежащей в нейтральной поверхности [см. уравнение (3.26)]. Когда длины волн становятся сравнимыми с поперечными размерами стержня, написанное соотношение теряет силу и для исследования природы распространения надо использовать точные уравнения теории упругости. Точная теория для цилиндрических стержней была рассмотрена в предыдущих параграфах, но для стержней некругового поперечного сечения анализ становится чрезвычайно сложным, и лишь в немногих случаях были сделаны попытки найти решения. [c.74]

Кроме того, можно учесть законы распределения случайных величин — длины рабочего участка винта I и соответственно его жесткости массы подвижного узла т вместе с массой обрабатываемой детали и коэффициента трения / в направляющих в соответствии, например, с кривыми, приведенными на рис. 59-Системе уравнений (78) и условиям (79) соответствует структурная схема, представленная на рис. 60, для расчета на аналоговой вычислительной машине. Решение составленной системы уравнений для координатного стола с ЧПУ дало возможность определить математическое ожидание и дисперсию погрешности позициони- [c.82]

Интересно отметить, что в одномерной задаче механизмы фильтрационной дисперсии и молекулярной диффузии действуют , т. е. входят в уравнения аддитивно, что не исключает их взаимного влияния, поскольку формально решение задачи нелинейно зависит от эффективного коэффициента дисперсии к.. В случае неодномерного течения взаимодействие упомянутых механизмов представляется более слоЖйым. Рассмотрим достаточно нерегулярную по проницаемости среду. Поле скоростей фильтрации в такой среде разбалтывает поле концентрации примеси или насыщенности, делая его нерегулярным. С другой стороны, диффузионный процесс или капиллярные силы (во втором случае) стремятся сгладить, размазать языки . Очевидно, чем более нерегулярна среда и, следовательно, поле скоростей, тем больше возможностей для проявления диссипативных процессов (диффузии или капиллярности). Можно считать, что фильтрационная дисперсия усиливает проявления диссипативного процесса. С другой стороны, диффузионный или капиллярный механизм ослабляет процесс фильтрационной дисперсии, стаскивая примесь или соответствующую жидкую фазу с наиболее быстрых траекторий, т, е. в определенной степени препятствуя росту языков. [c.262]

Вторая часть монографии посвящена микроскопическому описанию трещиноватых упругих и пороупругих сред и проблеме рассеяния волн на случайных неоднородностях. Основное её содержание сводится к применению методов квантовой теории поля и диаграммной техники Фейнмана [1] для вычисления усредненного поля деформахщй и его среднеквадратичных флуктуаций в трещиноватых упругих и пороупругих средах. Физическая мощь этих методов обусловлена тем, что они не связаны никакими ограничениями со стороны длин и частот распространяющихся в среде волн, ни с характером распределения случайных и регулярных неоднородностей. Математическая их мощь заключается в том, что они позволяют получить точные уравнения для одночастичной и двухчастичной функций Грина, контролирующих динамику усреднённого поля деформаций и его двухчастичной (парной) функции корреляций, и, в частности, амплитуду и энергию распространяющихся, отраженных, преломленных и рассеянных волн. Ядра этих уравнений (массовые операторы) нелокальны во времени и пространстве, их преобразования Фурье являются комплексными функциями частоты и волнового вектора. Тем самым они учитывают временную и пространственную дисперсию сейсмических и акустических волн и полностью определяют их спектр и затухание в трещиноватых упругих и пороупругих средах. К сожалению, эти ядра не могут быть вычислены точно (что было бы эквивалентно решению проблемы многих тел), и для их приближенного расчёта разработана диаграммная техника, позволяющая просуммировать бесконечную последовательность наиболее важных членов ряда, отвечающих за тот или иной процесс взаимодействия волн со средой. [c.40]

Уравнение, эквивалентное (3.33), (3.38), было предложено в работах [38, 39]. Оно отличается от уравнений, обычно использовавшихся в задачах наследственной упругости, тем, что соответствующий ему линейный оператор, содержащий старшие производные второго порядка, явно факторизуется, то есть может быть представлен в виде суперпозиции линейных операторов с производными не выше первого порядка. Это значительно облегчает построение и анализ его решений. Здесь мы пришли к данному виду уравнения, отталкиваясь от одноволнового уравнения для линейной волны, бегущей в одном направлении в среде, свойства которой формируют определенный закон дисперсии для этой волны. Этот путь естественным образом приводит к такой факторизуемой форме. Обратим внимание на то, что отношение члена второго порядка по Я к члену первого порядка в частотной области для уравнения (3.33) равно Я . Ясно, что в границах применимости модели распространения линейных волн, удовлетворяющих уравнению (3.33) или его многомерным (по пространственным переменным) аналогам, каким бы малым (в любом разумном смысле) не было значение Я, при достаточно малых со величина этого отношения может стать при а -1 < О сколь угодно большой, и пренебречь в (3.33) членами квадратичными по Я будет нельзя. Это может оказаться существенным для реальной физической системы тогда, когда соответствующие этим частотам длины волн попадают в диапазон масштабов фрактальности. Если в области низких частот эта модель утрачивает свою физическую адекватность, то это, прежде всего, означает, что решения уравнения (3.33) на достаточно больших временах теряют смысл для описания происходящих в ней процессов распространения возбуждений. Тем не менее, эти решения могут быть вполне адекватными для относительно малых времен, прошедших от момента начала возбуждения колебаний в некоторой точке среды, которой достигло возбуждение. Таким образом, при рассмотрении распространения переходных волн в первоначально невозмущенной среде, эта модель может описывать изменения её состояния в зоне конечной ширины позади переднего фронта возмущения, который перемещается со скоростью, обозначенной в (3.27), а в (3.33) и далее, для упрощения выкладок, принятой нами за единицу. [c.143]

Уравнение распространения (2.3.35)-нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, которое, вообще говоря, нельзя решить аналитически, за исключением некоторых частных случаев, когда для решения применим метод обратной задачи рассеяния [27]. Поэтому часто для изучения нелинейных эффектов в световодах необходимо численное моделирование. Для этой цели можно использовать множество численных методов [31-38], которые можно отнести к одному из двух классов 1) разностные методы и 2) псевдоспектральные методы. Вообще говоря, псевдоспектральные методы на порядок или даже более быстрее при той же точности счета [39]. Одним из наиболее широко используемых методов решения задачи распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией является фурье-метод расщепления по физическим факторам (SSFM) [33, 34]. Относительно большая скорость счета этим методом по сравнению с большинством методов конечных разностей достигается благодаря использованию алгоритма быстрого фурье-преобра-зования [40]. В этом разделе кратко описывается фурье-метод с расщеплением по физическим факторам, а также его применение для задачи распространения импульсов в волоконном световоде. [c.49]

Предьщущее уравнение содержит три неизвестных. Поэтому в данной форме оно нерешаемо. Чтобы решить его и тем самым разложить фенотипическую дисперсию 2 на составляющие компоненты, надо записать в соответствии с правилами решения уравнений с несколькими неизвестными столько независимых уравнений, сколько имеется неизвестных. В данном случае их требуется три. Эту систему уравнений можно составить, если помимо поколения 2 в генетический анализ включить другие расщепляющиеся поколения. Для различных расщепляющихся поколений К. Мазер определил теоретические доли компонентов дисперсии. Наиболее важные из них представлены в таблице 7. [c.358]

Уравнения (3.97) - (3.99) включают отношение вида /и, где знаменатель и может принимать значения, как годно близкие к нулю. Поэтому при использовании этих равнений для оценки параметров модели ГТИ абсо-[ютно необходима та или иная регуляризация решения. Стандартный прием в этом случае сводится к замене роби а/и ее регуляризованной версией аи/[и + де (5 - это дисперсия величины и, - произвольная юложительная величина, скажем, 0,0001 < < 0,01. Регуляризация этим способом уравнения (3.97), напри-lep, дает его регуляризованную версию [c.103]

Оба эти свойства аналогичны свойствам волн на мелкой воде в соответствии с этим было обнаружено, что дисперсия, так же как и для скачка в открытом канале, препятствует образованию ударных волн. Далее, динамические уравнения этой упругой системы можно преобразовать в уравнение Кортевега — де Фриза (см. [14], 7), которое описывает распространение длинных волн на воде. Поэтому вопрос об устойчивости периодических волн в этой новой системе решается немедленно ссылкой на исследование возмущений, которое Уизем применил к периодическим решениям (т. е. кноидальным волнам) уравнения Кортевега — де Фриза его результаты показывают, что в обеих физических системах однородные цуги волн устойчивы. Однако для волн растяжения с большими волновыми числами неустойчивость заведомо остается возможной, в частности, ввиду того, что функция f"(k) дважды меняет знак при увеличении к от нуля. (Но при к-> оо стационарные цуги волн постоянной амплитуды становятся невозможными, поскольку / ( )->- onst и дисперсия волн исчезает.) Заслуживает исследования также [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...