Моменты инерции и эллипсоид инерции

Моменты инерции и эллипсоид инерции. Момент инерции твердого тела относительно оси L, проходящей через данную точку, определяется формулой [c.243]

Экспериментальные методы определения геометрии масс, применяемые при исследовании машин, нельзя непосредственно использовать в биомеханических исследованиях, так как в прикладной механике звено, распределение масс которого надо изучить, предварительно освобождают от связей. Лишь изолировав звено от прочих частей машины, можно с любой точностью (взвешиванием) определить его массу и, практически тоже с любой точностью, опытными методами определить положение центра масс, моменты инерции и эллипсоиды инерции этого изолированного твердого тела. Затруднения встречаются лишь в очень редких случаях, когда тело (звено) имеет слишком сложную форму. [c.25]

Задача 9.11. Однородный эллипсоид с полуосями Ь, с, h имеет массу М. Определить его момент инерции и радиус инерции относительно оси, совпадающей с осью эллипсоида 2Ь. [c.181]

Две другие взаимно перпендикулярные оси в плоскости, нормальной к 00, соответствуют одинаковым моментам инерции и являются главными. Поэтому эллипсоид инерции будет эллипсоидом вращения вокруг первой главной оси по линии 00. Очевидно, что момент инерции около этой оси равен /о — моменту инерции шара. Момент инерции относительно второй (и третьей) главной оси равен / + тк . Поэтому отношение полуосей эллипсоида инерции для точки О равно [c.235]

Пример 2. При вращении тела вокруг неподвижной точки половина произведения момента инерции относительно мгновенной оси на квадрат угловой скорости представляет собой живую силу. Пусть Т — живая сила тела, когда оно свободно вращается вокруг оси 01, Т — его живая сила, когда ось 01 внезапно закрепляется. Построим эллипсоид инерции в точке О, и пусть 0 — угол между эксцентрическими линиями двух осей 01, 01. Доказать, что Т = = Т os" 0. Отсюда следует, что живая сила всегда уменьшается, если становится неподвижной новая ось. [c.256]

Рассмотрим также однородное тело вращения с осью симметрии Z. Так как ось z — ось симметрии, то она является главной центральной осью две любые взаимно перпендикулярные пряные, перпендикулярные к оси г и пересекающие ее, могут быть приняты за главные оси инерции в какой-либо точке оси вращения тела. Действительно, для тела вращения всякая плоскость, проходящая через ось г, является плоскостью симметрии значит, перпендикулярная к этой плоскости прямая, т. е. любая прямая, является главной осью. Эллипсоид инерции в любой точке оси 2 является эллипсоидом вращения. Момент инерции относительно оси вращения эллипсоида инерции называется аксиальным-, моменты инерции относительно осей, перпендикулярных к оси вращения эллипсоида инерции, называются экваториальными. Очевидно, экваториальные моменты равны ежду собой, так как равны соответствующие полуоси эллипсоида инерции. [c.291]

Пр и м е р 3. Определить моменты инерции однородного эллипсоида с полуосями а, Ь, с. [c.134]

Изменение момента инерции относительно осей, проходящих через одну и ту же точку. Эллипсоид инерции (Пуансо). Исследуем теперь изменение моментов инерции относительно различных осей, выходящих из точки О (рис. 181). Примем эту точку за начало координат и пусть а, р, — направляющие косинусы некоторой прямой 03. Квадрат расстояния тр от точки с координатами х, у, г до этой прямой имеет значение От — Ор , т. е. [c.20]

Каждая плоскость симметрии относительно распределения масс является, конечно, и плоскостью симметрии эллипсоида инерции нормаль к этой плоскости определяет одну из главных осей этого эллипсоида. Распределению масс с симметрией вращения соответствует эллипсоид инерции, являющийся эллипсоидом вращения следовательно, это распределение масс наряду с главной осью, совпадающей с осью симметрии тела, имеет еще бесчисленное множество экваториальных главных осей инерции. Примерами могут служить обыкновенный игрушечный волчок и волчок в форме маховичка, которым обычно пользуются для демонстраций (рис. 40а и б). У первого волчка момент инерции относительно оси симметрии минимален поэтому соответствующая главная ось (в силу соотношения р = 0 /2) длиннее экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет продолговатым. У второго волчка, напротив, момент инерции относительно оси симметрии максимален поэтому (в силу того же соотношения) соответствующая главная ось короче экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет сплюснутым. В обоих случаях мы имеем дело с симметричными волчками. [c.166]

Эллипс ИНЕРЦИИ. В некоторых случаях важно изучить распределение моментов инерции относительно осей, лежащих в некоторой плоскости я и пересекающихся в одной точке О. Типичным примером такого случая будет система материальных точек, лежащих в одной плоскости (предыдущий пункт). Изменение моментов инерции относительно осей, лежащих в плоскости it системы и проходящих через одну точку О, согласно с геометрическим истолкованием, изложенным в п. 23, определяется эллипсом инерции е, который получается при пересечении с плоскостью я эллипсоида инерции Е относительно О. Если эллипс е отнесен к его главным осям [c.49]

Из возможности привести уравнение эллипсоида инерции к виду (26.12) мы заключаем, что через любой полюс всегда проходят три такие взаимно перпендикулярные оси, что для них произведения инерции обращаются в нули. Эти оси носят название главных осей инерции для взятого полюса, а моменты инерции, им соответствующие, называются главными моментами инерции для данного полюса. Когда за полюс взят центр масс, то эллипсоид инерции, главные оси и главные мо- [c.257]

Равенство осевых моментов инерции и равенство нулю центробежного момента инерции означают, что эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, а его сечение плоскостью пластинки — окружностью. Следовательно, моменты инерции относительно любой оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через центр, равны между собой. Следовательно, [c.606]

Таблица 5. Ко.эффициенты присоединенных масс и присоединенного момента инерции для эллипсоидов вращения

Задача. Найти оси и моменты инерции однородного эллипсоида-массы т с полуосями а, Ь, с относительно центра О. [c.125]

Чтобы можно было осуществить это дифференцирование, необходимо знать закон изменения размеров эллипсоида. Предположим, что все измененные эллипсоиды подобны и длины полуосей каждого эллипсоида равны Ь — ра, с = да. Тогда момент инерции всего эллипсоида будет [c.19]

Итак, есм момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю и эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то движение тела при любых начальных условиях есть регулярная прецессия. Угол нутации, отсчитываемый от неподвижного вектора Оо, будет постоянным. Тело равномерно вращается вокруг оси собственного вращения г. Ось собственного вращения равномерно прецессирует вокруг вектора Оо. Регулярная прецессия есть общее решение уравнений движения. [c.398]

Однородный диск радиуса а и массы т катится без скольжения ио горизонтальной плоскости. Составить уравнения движения диска 1) в координатах хс, ус, 9, ф, ср, где Хс, Ус — координаты центра масс диска, 0, ф, ср — углы Эйлера, 2) в координатах х, у, 6, ф, ср, где X, у — координаты точки контакта диска с плоскостью, Ф> Ф — углы Эйлера (см. задачу 50.11) 3) в квазикоординатах р, у, г, являющихся проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения диска на главные оси центрального эллипсоида инерции А, С — главные центральные моменты инерции диска., [c.386]

ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ. ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ [c.101]

Таким образом, геометрическим местом концов указанных отрезков, т. е. геометрическим местом точек N, является поверхность второго порядка. По самому построению длина отрезка ON на рис. V.4 отлична от нуля и ограничена, так как для любого конечного тела момент инерции У —величина, отличная от нуля и ограниченная. Среди поверхностей второго порядка ограничены лишь эллипсоиды (в частности, сферы). Следовательно, геометрическим местом точек N является эллипсоид i). Построенный так эллипсоид называется эллипсоидом инерции для точки О. Уравнение (29) является уравнением эллипсоида инерции для этой точки. Непосредственно видно, что задание тензора инерции однозначно задает эллипсоид инерции. [c.178]

Сравнивая теперь уравнение эллипсоида инерции, записанное в главных осях в форме (32), и уравнение эллипсоида инерции (29), записанное в произвольно выбранных осях, заключаем, что в системе координат, оси которой направлены по главным осям эллипсоида инерции, центробежные моменты инерции равны нулю [c.179]

Заметим, между прочим, что хотя моменты инерции куба относительно трех ребер, проходящих через его вершину, одинаковы, эллипсоид инерции для вершины куба заведомо отличен от сферы. Действительно, равные моменты инерции относительно трех указанных выше перпендикуляров, проведенных через центр куба, при переносе осей в вершину получают различные прира-ш,ения, и результируюш,ие моменты инерции будут разными. Читателю предлагается самому найти главные оси инерции для вершины куба. [c.183]

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек М, а следовательно, геометрическое место этих точек есть поверхность второго порядка. Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид не имеет бесконечно удаленных точек, следовательно, концы отложенных отрезков лежат на поверхности эллипсоида. Его называют эллипсоидом инерции . Заметим, что при построении этого эллипсоида мы взяли начало координат в произвольной точке О. Следовательно, для каждого тела в каждой точке пространства можно построить свой эллипсоид инерции с центром в этой точке. Момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через эту точку, обратно пропорционален квадрату отрезка оси, лежащей внутри эллипсоида инерции. Ясно, что наибольшей оси эллипсоида соответствует наименьший момент инерции и, наоборот, наименьшей оси эллипсоида — максимальный момент инерции. Напомним, что в эллипсоиде имеются обычно три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными. Можно совместить координатные оси с главными осями эллипсоида инерции. Из математики известно, что уравнение эллипсоида, отнесенного к главным осям, не содержит членов с произведениями координат. Следовательно, центробежные моменты инерции относительно этих осей равны нулю. Их называют главными осями инерции в данной точке О, а моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции. Формула (204) принимает. вид [c.341]

Радиус-вектор и все длины в эллипсоиде инерции Коши имеют, размерностью величину, обратную квадратному корню из размерности момента инерции, что вносит ряд осложнений, особенно в графические построения. Значительно удобнее откладывать вдоль [c.341]

Согласно определению, эллипсоид инерции с центром в точке О есть геометрическое место таких точек Р, расстояние от которых до точки О обратно пропорционально квадратному корню из момента инерции относительно оси, проходящей через точки О и Р. Рассмотрим, как преобразуются осевые моменты инерции при переходе от полюса к полюсу. [c.52]

Рассмотренная выше классификация по свойствам симметрии полной собственной функции [классификация по типам по.гной симметрии over-all spe ies), согласно Мелликену [645]] применяется не так часто, как классификация по свойствам симметрии только вращательной собственной функции (см. Деннисон [279]). Назовем для краткости три главные оси, относительно которых моменты инерции равны соответственно /д, 1ц, и /с, осями а, Ь к с. Вращательная собственная функция ([ г зависит от ориентации этой системы осей относительно неподвижной системы координат. дает вероятность различных ориентаций осей. В силу симметрии Эллипсоида инерции, данной ориентации осей и ориентациям, отличающимся от нее поворотом на 180° вокруг одной из осей, должны соответствовать одинаковые вероятности. [c.64]

Два тела с моментами инерции Л, В, С и А, В, С можно называть взаимно сопряженными. Рассмотрим движение только одного тела и предположим, что в теле закреплены эти два эллипсоида. Перпендикуляр 0L, опуш,енный на плоскость, касательную к эллипсоиду инерции тела в точке его пересечения с мгновенной осью враш,ения, является неизменяемой прямой. Соответству-ющий же перпендикуляр 0L на плоскость, касательную к сопряженному эллипсоиду в точке его пересечения с мгновенной осью враш,ения, называется сопряжнной прямой. Поэтому направля-юш,ие косинусы сопряженной прямой равны А щЮ, B ajG, С щЮ. [c.134]

Доказательство. По определению, диаметры эллипсоида инерции обратно пропорциональны квадратным корням из соответствующих осевых моментов инерции. Согласно теореме 1.10.2 момент инерции относительно оси, проходящей через точку О парал.чельно вектору ег, остается равным соответствующему центральному моменту инерции при любом значении г. Следовательно, диаметр, параллельный вг при любом г, будет таким же, каким он был в центр<гльном эллипсоиде. Моменты инерции относительно осей, не коллинеарных ег, растут, а соответствующие диаметры уменьшаются, стремясь к нулю при увеличении г. Весь эллипсоид стремится к отрезку, равному диаметру центрального эллипсоида инерции в направ.чении ег. Середина отрезка совпадает с точкой О, а сам отрезок расположен на оси, проходящей через точки О и С. Если х перпендикулярен вг, то вектор нормали к эллипсоиду в точке О можно представить (см. теорему 1.10.3) в виде [c.55]

Но кинетическая энергия Т и кинетический момент L являются некоторыми константами рассматриваемого движения, и, следовательно, касательная плоскость будет отстоять от центра эллипсоида инерции на постоянном расстоянии. Однако так как нормаль к этой плоскости направлена вдоль L и, следовательно, имеет неизменное направление, то эта плоскость является неподвижной. Поэтому рассматриваемое движение можно реализовать посредством качения эллипсоида инерции по некоторой неподвижной плоскости центр эллипсоида инерции находится при этом в фиксированной точке прострайства. Это качение происходит без скольжения, так как точка касания эллипсоида инерции с неподвижной плоскостью определяется вектором р, который направлен по мгновенной оси вращения, т. е. по той пря- [c.182]

Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что 7 и V в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат каких-j h6o смешанных членов. Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллипсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причем обе они диагонализируются матрицей А. Таким образом, применяемое здесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного при-еедения двух квадратичных форм к сумме квадратов. [c.362]

Посмотрим теперь, каково взаимное расположение кинетического момента тела относительно его. неподвижной точки О и эллипсоида инерции, построенного для этой точки. Покажем, что кинетический момент 0 nepfieHAH-кулярен к плоскости, касающейся эллипсоида инерции в точке Я, его встречи с мгновенной осью вращения (фиг. 138). Согласно формуле (26.9) на стр. 275 радиус-вектор р точки по модулю равен / [c.510]

Фокальные прямые конуса, образованного прямой ОН, перпендикулярны к круговым сеченням взаимного конуса, т. е. конуса, образованного прямой ОЬ. Эти круговые сечения совпадают с круговыми сечениями гирационного эллипсоида. Следовательно, фокальные прямые лежат в плоскости, содержащей оси наибольшего и наименьшего моментов инерции, и не зависят от начальных условий. [c.132]

Решение рассматриваемой задачи, полученное совершенно другим способом, было дано Лагранжем в его Аналитической механике ). Его результаты ие внолне согласуются с приведенными в этом пункте. Лагранж составляет квадратное уравнение, соответствующее уравнению (3), и определяет два неравенства между моментами ииерции и произведениями инерции относительно осей, проходящих через неподвижную точку О, при выполнении которых корни будут действительными и положительными. Но, используя известные свойства эллипсоида инерции, можно показать, что эти условия всегда выполняются. [c.189]

Фигура Луны аппроксимируется трехосным эллипсоидом, и поэтому существуют три момента инерции А, В к С относительно трех неравных взаимно перпендикулярных осей. Самая длинная ось (Ох) направлена в сторону Земли (приближенно), а самая короткая (Ог) почти перпендикулярна плоскости орбиты (О — центр масс Луны). Таким образом, момент инерции А относительно наибольшей оси является минимальным, а момент инерции С относительно наименьшей оси — максимальным. Изучая динамику системы Земля—Луна, можно показать, что если выполняются законы Кассини, то указанное выше соотношение между моментами инерции (А <С В <СС) действительно имеет место. Из законов Кассини также следует существование малых устойчивых колебаний около состояния стационарного движения. [c.291]

В общем случае имее1ся три различных действительных корня кубического уравнения J2, /3, которые являются главными моментами инерции. Действительно, если ось Ох совмадаег с главной осью инерции, го для точки М эллипсоида ипер щи, расположенной на эюй оси, ( = 0 и z = 0. Первое уравнение (29) принимает вид [c.289]

Гироскопический момент L совпадает с гироскопическим моментом, полученным по приближенной теории. Гироскопический MOMejn L" является поправкой к гироскопическому моменту L в случае точного вычисления кинетического момента при регулярной прецессии. Момент L" равен пулю, если Л = Л ( эллипсоид инерции является шаром), и при 0 = 90, т. е. когда ось гироскопа перпендикулярна оси прецессии. [c.520]

Если эллипсоид инерции отличен от сферы и не является эллип-соидом вращения, то существует единственная система главных осей. При этих условиях в каждой точке пространства может быть указана единственная система осей, замечательная тем, что по отношению к этой системе центробежные моменты инерции равны нулю. Оси, удовлетворяющие этому условию, называются главными осями инерции тела для рассматриваемой точки, а моменты инерции относительно этих осей — главными моментами инерции. Главные оси инерции, проходящие через центр инерции тела, называются главными центральными осями инерции. [c.179]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...