Эллипсоида момент инерции

Это уравнение поверхности эллипсоида моментов инерции. Уравнение (10.4) можно привести к каноническому виду [c.201]

Однородный диск радиуса а и массы т катится без скольжения ио горизонтальной плоскости. Составить уравнения движения диска 1) в координатах хс, ус, 9, ф, ср, где Хс, Ус — координаты центра масс диска, 0, ф, ср — углы Эйлера, 2) в координатах х, у, 6, ф, ср, где X, у — координаты точки контакта диска с плоскостью, Ф> Ф — углы Эйлера (см. задачу 50.11) 3) в квазикоординатах р, у, г, являющихся проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения диска на главные оси центрального эллипсоида инерции А, С — главные центральные моменты инерции диска., [c.386]

ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ. ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ [c.101]

Как определить по эллипсоиду инерции, относительно какой оси из всех осей, проходящих через данную точку, момент инерции твердого тела имеет наибольшее значение [c.116]

Таким образом, геометрическим местом концов указанных отрезков, т. е. геометрическим местом точек N, является поверхность второго порядка. По самому построению длина отрезка ON на рис. V.4 отлична от нуля и ограничена, так как для любого конечного тела момент инерции У —величина, отличная от нуля и ограниченная. Среди поверхностей второго порядка ограничены лишь эллипсоиды (в частности, сферы). Следовательно, геометрическим местом точек N является эллипсоид i). Построенный так эллипсоид называется эллипсоидом инерции для точки О. Уравнение (29) является уравнением эллипсоида инерции для этой точки. Непосредственно видно, что задание тензора инерции однозначно задает эллипсоид инерции. [c.178]

Сравнивая теперь уравнение эллипсоида инерции, записанное в главных осях в форме (32), и уравнение эллипсоида инерции (29), записанное в произвольно выбранных осях, заключаем, что в системе координат, оси которой направлены по главным осям эллипсоида инерции, центробежные моменты инерции равны нулю [c.179]

Заметим, между прочим, что хотя моменты инерции куба относительно трех ребер, проходящих через его вершину, одинаковы, эллипсоид инерции для вершины куба заведомо отличен от сферы. Действительно, равные моменты инерции относительно трех указанных выше перпендикуляров, проведенных через центр куба, при переносе осей в вершину получают различные прира-ш,ения, и результируюш,ие моменты инерции будут разными. Читателю предлагается самому найти главные оси инерции для вершины куба. [c.183]

Моменты инерции и эллипсоид инерции. Момент инерции твердого тела относительно оси L, проходящей через данную точку, определяется формулой [c.243]

Если оси хну, проходящие через точку О, не являются осями эллипсоида, то ф О, т. е. если только одна из осей будет главной осью инерции в данной точке твердого тела, то в нуль обращаются лишь два центробежных момента инерции относительно осей, одной из которых является главная ось инерции например, если д — глав- [c.245]

Упражнение 8. Пусть эллипсоид инерции собственно маятника в точке подвеса О является эллипсоидом вращения, в экваториальной плоскости кото[Юго расположена горизонтальная ось х маятника (рис. 3). Показать, что тогда выражение обобщенной кориолисовой силы инерции имеет вид (/ = 1у. - главные моменты инерции собст- [c.48]

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек М, а следовательно, геометрическое место этих точек есть поверхность второго порядка. Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид не имеет бесконечно удаленных точек, следовательно, концы отложенных отрезков лежат на поверхности эллипсоида. Его называют эллипсоидом инерции . Заметим, что при построении этого эллипсоида мы взяли начало координат в произвольной точке О. Следовательно, для каждого тела в каждой точке пространства можно построить свой эллипсоид инерции с центром в этой точке. Момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через эту точку, обратно пропорционален квадрату отрезка оси, лежащей внутри эллипсоида инерции. Ясно, что наибольшей оси эллипсоида соответствует наименьший момент инерции и, наоборот, наименьшей оси эллипсоида — максимальный момент инерции. Напомним, что в эллипсоиде имеются обычно три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными. Можно совместить координатные оси с главными осями эллипсоида инерции. Из математики известно, что уравнение эллипсоида, отнесенного к главным осям, не содержит членов с произведениями координат. Следовательно, центробежные моменты инерции относительно этих осей равны нулю. Их называют главными осями инерции в данной точке О, а моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции. Формула (204) принимает. вид [c.341]

Радиус-вектор и все длины в эллипсоиде инерции Коши имеют, размерностью величину, обратную квадратному корню из размерности момента инерции, что вносит ряд осложнений, особенно в графические построения. Значительно удобнее откладывать вдоль [c.341]

Перейдем к характеристикам эллипсоида инерции. Взятый относительно центра масс множества Q он называется центральным эллипсоидом инерции, его главные оси — главными центральными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей — главными центральными моментами инерции. [c.52]

Согласно определению, эллипсоид инерции с центром в точке О есть геометрическое место таких точек Р, расстояние от которых до точки О обратно пропорционально квадратному корню из момента инерции относительно оси, проходящей через точки О и Р. Рассмотрим, как преобразуются осевые моменты инерции при переходе от полюса к полюсу. [c.52]

Если эллипсоид инерции не есть эллипсоид вращения, то по крайней мере две из величин р, у, г должны быть равны нулю. Но это и означает, что тело вращается вокруг одной из главных осей инерции. Если эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения, например А = В -ф С, то тогда любая ось в плоскости, перпендикулярной оси, соответствующей моменту инерции С, будет главной. Величины р и д могут быть тогда любыми, и если хотя бы одна из них отлична от нуля, то тогда должно быть г = 0. Если А = В = С, то тогда любая ось тела будет главной, а р, у, г могут при этом быть произвольными. [c.471]

Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки в поле силы тяжести. С помощью ортонормированных векторов, е з, вз, жестко связанных с телом, зададим направления главных осей инерции относительно неподвижной точки О. Соответственно Л, В, С суть главные моменты инерции. Потребуем, чтобы тело было динамически симметричным (эллипсоид инерции был эллипсоидом вращения). Например, пусть [c.478]

Из-за симметрии эллипсоида инерции гироскопа любая ось, проходящая через О и перпендикулярная к 63, будет главной осью инерции, и моменты инерции гироскопа относительно таких осей будут одинаковыми. Обозначим эти моменты инерции А. Момент инерции относительно оси фигуры обозначим С. [c.495]

Тензору инерции или симметричному тензору второго ранга соответствует геометрический образ в виде эллипсоида, центр которого находится в точке О. Для доказательства этого рассмотрим момент инерции относительно оси А, проходящей через О и направленной под углами а, р, у к осям координат. [c.173]

Из поверхностей второго порядка этому условию удовлетворяет только одна, а именно эллипсоид. Найденный эллипсоид называют эллипсоидом инерции для данного тела в точке О. Очевидно, эллипсоид инерции для данного тела можно построить в любой точке пространства. Поэтому эллипсоидом инерции для данного тела в какой-либо точке называют эллипсоид с центром в этой точке, центральные радиусы-векторы точек которого равны обратным значениям квадратных корней из моментов инерции тела относительно осей, направленных по этим радиусам-векторам. [c.249]

Главные оси эллипсоида инерции для тела в какой-либо точке называют главными осями инерции тела в этой точке. Моменты инерции относительно этих осей называют главными моментами инерции тела в этой точке. В каждой точке пространства для данного тела существует три взаимно перпендикулярные главные оси инерции. [c.250]

Эллипсоид инерции для тела, построенный в его центре масс, называют центральным эллипсоидом инерции. Главные оси этого эллипсоида называют главными центральными осями инерции тела. Моменты инерции относительно этих осей называют главными центральными моментами инерции. [c.251]

Для характеристики распределения моментов инерции тела относительно различных осей, проходящих через заданную точку, используется поверхность второго порядка — эллипсоид инерции. Для построения этой поверхности на каждой оси 01 (рио. 31), проходящей через точку О, откладывают от этой точки отрезок [c.272]

Это действительно уравнение эллипсоида, так как отрезок 0/( имеет конечную длину для всех осей, для которых моменты инерции не обращаются в нуль. Другие поверхности второго порядка, например гиперболоиды и параболоиды, имеют бесконечно удаленные точки. Эллипсоид инерции вырождается в цилиндр для тела в виде прямолинейного отрезка, если точка О расположена на самом отрезке. Для оси, направленной по этой прямой линии, момент инерции обращается в нуль и соответственно отрезок ОК равен бесконечности. [c.272]

В общем случае имеется три различных действительных корня кубического уравнения JУз, которые являются главными моментами инерции. Действительно, если ось Ох совпадает с главной осью инерции, то для точки М эллипсоида инерции, расположенной на этой оси, / = о и 2 = 0. Первое уравнение (29) принимает вид [c.277]

Подставляя в (29) У = У,, получим только два независимых уравнения для определения координат точки х, у, г эллипсоида инерции, соответствующих главной оси инерции. Для которой главный момент инерции есть Третье уравнение системы будет следствием двух других уравнений, так как определитель этой системы равен нулю. Из (29) можно найти только две величины, например х/г и у г. Они определят направление вектора г, вдоль главной оси инерции, момент инерции относительно которой есть Модуль радиус-вектора п остается неопределенным. Аналогично определяются направления векторов Гд и Гд вдоль двух других главных осей инерции, для которых главные моменты инерции равны У.2 и Уд. Можно доказать, что векторы г,, и Гд, направленные вдоль главных осей инерции, взаимно перпендикулярны. [c.277]

Закон, момент, радиус, произведение, сила, центр, эллипсоид, ось. .. инерции. [c.26]

Эллипсоид с центром в данной точке, для которого квадрат радиуса-вектора каждой его точки, проведённого из этого центра, обратно пропорционален моменту инерции механической системы относительно оси, направленной вдоль радиуса-вектора. [c.104]

Поверхность, определенная уравнением (1.94), не имеет точек на бесконечности, поскольку отрезок ОМ d — конечный. Действительно, этот отрезок, как видно из формул (I. 93), мог бы стать бесконечно большим лишь при условии, что и обращается в нуль. Но, как видно из определения момента инерции относительно оси, /и всегда является положительной величиной, отличной от нуля. Таким образом, поверхность, определенная уравнением (1.94), может быть только эллипсоидом. Этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции. [c.80]

Оси симметрии эллипсоида инерции, построенного для некоторой точки, называются главными осями инерции для этой точки, их направления — главными направлениями, а моменты инерции относительно главных осей — главными моментами инерции ). [c.81]

Наконец, обратим внимание на общую структуру семейства полодий на поверхности эллипсоида инерции. Как видно из рис. 52, полодии делятся на четыре группы. Каждая из этих групп кривых охватывает конец одной из тех главных осей эллипсоида инерции, которым соответствуют наибольший и наименьший моменты инерции. Эти группы полодий отделяют два эллипса, спроектированных на плоскость 0 т1 в случае, которому соответствует рис. 52, в форме двух отрезков прямых линий АВ и СО. [c.421]

К этому случаю приводится также движение так называемого сферического гироскопа. Гироскоп называется сферическим, если эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки, является сферой. В этом случае между моментами инерции существует связь Уь = Ут1 = У , и произвольная ось, проходящая через неподвижную точку, является главной. [c.443]

Доказательство. По определению, диаметры эллипсоида инерции обратно пропорциональны квадратным корням из соответствующих осевых моментов инерции. Согласно теореме 1.10.2 момент инерции относительно оси, проходящей через точку О парал.чельно вектору ег, остается равным соответствующему центральному моменту инерции при любом значении г. Следовательно, диаметр, параллельный вг при любом г, будет таким же, каким он был в центр<гльном эллипсоиде. Моменты инерции относительно осей, не коллинеарных ег, растут, а соответствующие диаметры уменьшаются, стремясь к нулю при увеличении г. Весь эллипсоид стремится к отрезку, равному диаметру центрального эллипсоида инерции в направ.чении ег. Середина отрезка совпадает с точкой О, а сам отрезок расположен на оси, проходящей через точки О и С. Если х перпендикулярен вг, то вектор нормали к эллипсоиду в точке О можно представить (см. теорему 1.10.3) в виде [c.55]

Каждому тензору можно поставить еоответетв)Ш1цую тензорную поверхность. Тензору моментов инерции соответствует эллипсоид моментов инерции. [c.201]

У,,,, J,. главные моменты инерции. Уравнение эллипсоида инерции (27 ) не содержи сла1аемых с произведениями коорди-паг ючек. Поэтому центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции равны нулю, г. е. [c.226]

Каждой точке тела соответствует определенный эллипсоид инерции, который характеризует моменты инерции тела относительно всех осей, проходящих через данную точку. Действительно, имея эллипсоид инерции для некоторой точки О (рис. 87, б) по расстоянию OjVi от начала координат О до точки N, в которой какая-либо ось Vj пересекает эллипсоид инерции, можно определить момент инерции тела относительно этой оси по формуле (38.1) [c.102]

Если эллипсоид инерции отличен от сферы и не является эллип-соидом вращения, то существует единственная система главных осей. При этих условиях в каждой точке пространства может быть указана единственная система осей, замечательная тем, что по отношению к этой системе центробежные моменты инерции равны нулю. Оси, удовлетворяющие этому условию, называются главными осями инерции тела для рассматриваемой точки, а моменты инерции относительно этих осей — главными моментами инерции. Главные оси инерции, проходящие через центр инерции тела, называются главными центральными осями инерции. [c.179]

Для простоты примем, что центр масс диска расположен в центре Ос опорной окружности, а центральный эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения вокруг оси, параллельной вектору 63 и проходящей через Ос- Это означает, что моменты инерции, взятые относительно осей репера Опе1б2ез, не будут изменяться при движении диска. [c.509]

Легко видеть, что в тех случаях, когда одна ось системы координат совпадает с одной из главных осей инерции, два соответствующих центробежных момента инерции обращаются в нуль. Действительно, в точке пересечения главной оси с поверхностью эллипсоида радиус-вектор, проведенный из начала координат, и орт нормали к поверхности эллипсоида коллинеариы (рис. 13). [c.81]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...