Момент инерции (относительно оси) эллипсоида

Если оси хну, проходящие через точку О, не являются осями эллипсоида, то ф О, т. е. если только одна из осей будет главной осью инерции в данной точке твердого тела, то в нуль обращаются лишь два центробежных момента инерции относительно осей, одной из которых является главная ось инерции например, если д — глав- [c.245]

Согласно определению, эллипсоид инерции с центром в точке О есть геометрическое место таких точек Р, расстояние от которых до точки О обратно пропорционально квадратному корню из момента инерции относительно оси, проходящей через точки О и Р. Рассмотрим, как преобразуются осевые моменты инерции при переходе от полюса к полюсу. [c.52]

Из-за симметрии эллипсоида инерции гироскопа любая ось, проходящая через О и перпендикулярная к 63, будет главной осью инерции, и моменты инерции гироскопа относительно таких осей будут одинаковыми. Обозначим эти моменты инерции А. Момент инерции относительно оси фигуры обозначим С. [c.495]

Тензору инерции или симметричному тензору второго ранга соответствует геометрический образ в виде эллипсоида, центр которого находится в точке О. Для доказательства этого рассмотрим момент инерции относительно оси А, проходящей через О и направленной под углами а, р, у к осям координат. [c.173]

Поверхность, определенная уравнением (1.94), не имеет точек на бесконечности, поскольку отрезок ОМ d — конечный. Действительно, этот отрезок, как видно из формул (I. 93), мог бы стать бесконечно большим лишь при условии, что и обращается в нуль. Но, как видно из определения момента инерции относительно оси, /и всегда является положительной величиной, отличной от нуля. Таким образом, поверхность, определенная уравнением (1.94), может быть только эллипсоидом. Этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции. [c.80]

Рассмотрим также однородное тело вращения с осью симметрии Z. Так как ось z — ось симметрии, то она является главной центральной осью две любые взаимно перпендикулярные пряные, перпендикулярные к оси г и пересекающие ее, могут быть приняты за главные оси инерции в какой-либо точке оси вращения тела. Действительно, для тела вращения всякая плоскость, проходящая через ось г, является плоскостью симметрии значит, перпендикулярная к этой плоскости прямая, т. е. любая прямая, является главной осью. Эллипсоид инерции в любой точке оси 2 является эллипсоидом вращения. Момент инерции относительно оси вращения эллипсоида инерции называется аксиальным-, моменты инерции относительно осей, перпендикулярных к оси вращения эллипсоида инерции, называются экваториальными. Очевидно, экваториальные моменты равны ежду собой, так как равны соответствующие полуоси эллипсоида инерции. [c.291]

Изменение момента инерции относительно осей, проходящих через одну и ту же точку. Эллипсоид инерции (Пуансо). Исследуем теперь изменение моментов инерции относительно различных осей, выходящих из точки О (рис. 181). Примем эту точку за начало координат и пусть а, р, — направляющие косинусы некоторой прямой 03. Квадрат расстояния тр от точки с координатами х, у, г до этой прямой имеет значение От — Ор , т. е. [c.20]

Вычисление величины 0 является задачей интегрального исчисления. Не приводя доказательства, укажем, что для однородного эллипсоида с полуосями а, Ь, с момент инерции относительно оси с (и соответственно относительно других главных осей) равен [c.88]

Каждая плоскость симметрии относительно распределения масс является, конечно, и плоскостью симметрии эллипсоида инерции нормаль к этой плоскости определяет одну из главных осей этого эллипсоида. Распределению масс с симметрией вращения соответствует эллипсоид инерции, являющийся эллипсоидом вращения следовательно, это распределение масс наряду с главной осью, совпадающей с осью симметрии тела, имеет еще бесчисленное множество экваториальных главных осей инерции. Примерами могут служить обыкновенный игрушечный волчок и волчок в форме маховичка, которым обычно пользуются для демонстраций (рис. 40а и б). У первого волчка момент инерции относительно оси симметрии минимален поэтому соответствующая главная ось (в силу соотношения р = 0 /2) длиннее экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет продолговатым. У второго волчка, напротив, момент инерции относительно оси симметрии максимален поэтому (в силу того же соотношения) соответствующая главная ось короче экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет сплюснутым. В обоих случаях мы имеем дело с симметричными волчками. [c.166]

Наиболее известным является случай С. Ковалевской. Эллипсоид инерции предполагается здесь симметричным но центр тяжести лежит не на оси фигуры, а в экваториальной плоскости кроме того, момент инерции относительно оси фигуры должен равняться половине экваториального момента инерции. В этом случае не требуется специализировать состояние движения. [c.184]

В случае однородного эллипсоида с полуосями а, Ь, с для момента инерции относительно оси 2а мы получим выражение [c.64]

Особое значение имеет эллипсоид инерции, относящийся к центру масс G системы, так как если известен момент инерции относительно оси, проходящей через G, то легко определить момент и относительно всякой другой параллельной оси, находящейся на расстоянии /. Этот момент инерции будет получаться прибавлением ( Статика", 73). [c.66]

Эллипс ИНЕРЦИИ. В некоторых случаях важно изучить распределение моментов инерции относительно осей, лежащих в некоторой плоскости я и пересекающихся в одной точке О. Типичным примером такого случая будет система материальных точек, лежащих в одной плоскости (предыдущий пункт). Изменение моментов инерции относительно осей, лежащих в плоскости it системы и проходящих через одну точку О, согласно с геометрическим истолкованием, изложенным в п. 23, определяется эллипсом инерции е, который получается при пересечении с плоскостью я эллипсоида инерции Е относительно О. Если эллипс е отнесен к его главным осям [c.49]

Моменты инерции относительно осей, пересекающихся в одной точке. Эллипсоид инерции [c.510]

Эллипсоид инерции. Формула (2.35) для момента инерции относительно оси допускает наглядную геометрическую интерпретацию. [c.29]

Эллипсоид инерции. Выражение, найденное в п 15 для момента инерции / относительно оси с направляющими косинусами [c.27]

Заметим, между прочим, что хотя моменты инерции куба относительно трех ребер, проходящих через его вершину, одинаковы, эллипсоид инерции для вершины куба заведомо отличен от сферы. Действительно, равные моменты инерции относительно трех указанных выше перпендикуляров, проведенных через центр куба, при переносе осей в вершину получают различные прира-ш,ения, и результируюш,ие моменты инерции будут разными. Читателю предлагается самому найти главные оси инерции для вершины куба. [c.183]

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек М, а следовательно, геометрическое место этих точек есть поверхность второго порядка. Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид не имеет бесконечно удаленных точек, следовательно, концы отложенных отрезков лежат на поверхности эллипсоида. Его называют эллипсоидом инерции . Заметим, что при построении этого эллипсоида мы взяли начало координат в произвольной точке О. Следовательно, для каждого тела в каждой точке пространства можно построить свой эллипсоид инерции с центром в этой точке. Момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через эту точку, обратно пропорционален квадрату отрезка оси, лежащей внутри эллипсоида инерции. Ясно, что наибольшей оси эллипсоида соответствует наименьший момент инерции и, наоборот, наименьшей оси эллипсоида — максимальный момент инерции. Напомним, что в эллипсоиде имеются обычно три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными. Можно совместить координатные оси с главными осями эллипсоида инерции. Из математики известно, что уравнение эллипсоида, отнесенного к главным осям, не содержит членов с произведениями координат. Следовательно, центробежные моменты инерции относительно этих осей равны нулю. Их называют главными осями инерции в данной точке О, а моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции. Формула (204) принимает. вид [c.341]

Перейдем к характеристикам эллипсоида инерции. Взятый относительно центра масс множества Q он называется центральным эллипсоидом инерции, его главные оси — главными центральными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей — главными центральными моментами инерции. [c.52]

Главные оси эллипсоида инерции для тела в какой-либо точке называют главными осями инерции тела в этой точке. Моменты инерции относительно этих осей называют главными моментами инерции тела в этой точке. В каждой точке пространства для данного тела существует три взаимно перпендикулярные главные оси инерции. [c.250]

Эллипсоид инерции для тела, построенный в его центре масс, называют центральным эллипсоидом инерции. Главные оси этого эллипсоида называют главными центральными осями инерции тела. Моменты инерции относительно этих осей называют главными центральными моментами инерции. [c.251]

Подставляя в (29) У = У,, получим только два независимых уравнения для определения координат точки х, у, г эллипсоида инерции, соответствующих главной оси инерции. Для которой главный момент инерции есть Третье уравнение системы будет следствием двух других уравнений, так как определитель этой системы равен нулю. Из (29) можно найти только две величины, например х/г и у г. Они определят направление вектора г, вдоль главной оси инерции, момент инерции относительно которой есть Модуль радиус-вектора п остается неопределенным. Аналогично определяются направления векторов Гд и Гд вдоль двух других главных осей инерции, для которых главные моменты инерции равны У.2 и Уд. Можно доказать, что векторы г,, и Гд, направленные вдоль главных осей инерции, взаимно перпендикулярны. [c.277]

Оси симметрии эллипсоида инерции, построенного для некоторой точки, называются главными осями инерции для этой точки, их направления — главными направлениями, а моменты инерции относительно главных осей — главными моментами инерции ). [c.81]

Эллипсоид инерции с центром в центре масс тела называют центральным эллипсоидом инерции, его оси — главными центральными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей — главными центральными моментами инерции. Обозначим их через [c.289]

Если эллипсоид инерции для точки О построен, то момент инерции относительно какой-нибудь оси 03 равен 10Р , где Р обозначает точку пересечения оси 08 с эллипсоидом. Из всех осей, проведенных через точку О, наименьший момент инерции получится для той, которая совпадает с большой осью эллипсоида. [c.21]

Отнесем систему к главным осям инерции Ох, Оу, Ог центрального эллипсоида, т. е. эллипсоида инерции, построенного в центре тяжести, и пусть Ма , МЬ , Мс — моменты инерции относительно координатных плоскостей. [c.23]

Главный момент количеств движения. Так как эллипсоид инерции в точке О есть эллипсоид вращения вокруг Ог, то оси Ох, Оу, Ог являются главными осями инерции и моменты инерции относительно Ох и Оу равны одной и той же постоянной А, несмотря на то, что эти оси перемещаются в теле. Конец а главного момента [c.190]

Моменты инерции относительно пересекающихся осей. Эллипсоид инерции. — Примем точку пересечения заданных осей за начало трех прямоугольных осей координат Охуг. Найдем момент инерции тела относительно оси О/ , проходящей через начало и определяемой направляющими косинусами [c.55]

Тела, подобные телам вращения в отношении гироскопических свойств.—в предыдущем пункте мы сформулировали принцип стремления осей вращения к параллельности на основе изложенной выше теории движения тяжелого однородного тела вращения. Однако ни эта теория, ни самый принцип, который мы из нее вывели, не требуют, чтобы твердое тело было на самом деле телом вращения достаточно, чтобы центральный эллипсоид инерции тела был эллипсоидом вращения. Если это условие осуществлено, то ось симметрии этого эллипсоида будет обладать всеми свойствами, которые были выведены для оси симметрии тела в изложенной выше теории. Действительно, в силу соотношения, связывающего моменты инерции относительно двух параллельных прямых (п° 319), каждая точка оси симметрии центрального эллипсоида есть центр [c.160]

Доказательство. По определению, диаметры эллипсоида инерции обратно пропорциональны квадратным корням из соответствующих осевых моментов инерции. Согласно теореме 1.10.2 момент инерции относительно оси, проходящей через точку О парал.чельно вектору ег, остается равным соответствующему центральному моменту инерции при любом значении г. Следовательно, диаметр, параллельный вг при любом г, будет таким же, каким он был в центр<гльном эллипсоиде. Моменты инерции относительно осей, не коллинеарных ег, растут, а соответствующие диаметры уменьшаются, стремясь к нулю при увеличении г. Весь эллипсоид стремится к отрезку, равному диаметру центрального эллипсоида инерции в направ.чении ег. Середина отрезка совпадает с точкой О, а сам отрезок расположен на оси, проходящей через точки О и С. Если х перпендикулярен вг, то вектор нормали к эллипсоиду в точке О можно представить (см. теорему 1.10.3) в виде [c.55]

Это уравнение геометрического места точек Р, удаленных от начала координат на расстояние, обратное корню квадратнол1у из момента инерции относительно оси 01. Поскольку Ji ибо тело расположено в конечной части пространства, и Л О, так как точки тела не лежат на одной прямой, то ОР =0 а ОР Единственной поверхностью второго порядка, пе имеющей бесконечно удаленных точек, является эллипсоид. Поэтому уравнение (22.3) есть уравнение эллипсоида, называемого эллипсоидом инерции тела для точки О. [c.395]

Зависимость между моментами инерции относительно осей, проходящих через данную точку. Произведения инериии. Эллипсоид инерции. Сравним теперь между собой моменты инерции некоторой системы ча тип относительно осей, проходяших через одну и ту же [c.255]

Важное значение имеет эллипсоид HHejHwn, относящийся к центру масс С твердого тела. Если известен момент инерции относительно оси, проходящей через С, то, пользуясь теоремой Штейнера, легко найти момент инерции относительно любой параллельной оси, находящейся на расстоянии d от первой. Эллипсоид инерции для центра масс французский математик и механик Луи Пуансо (1777-1859) назвал центральным. [c.169]

Эллипсоид инерции, построенный для центра тяжести тела, называется центральным, а его оси называются главными центральными осями инерции. Теперь нетрудно показать, что для вычисления момента инерции тела относительно какой угодно оси достаточно знать направления трех главных центральных осей инерции тела, которые мы обозначим через т) и и моменты инерции /р, /,j и относительно этих осей. В самом деле, пусть требуется вычислить момент инерции J относительно произвольно выбранной оси L, направление которой образует с главными центральными осями инерции углы а, Р и у. Проведем через центр тяжести тела o bL, параллельную оси L расстояние между этими осями обозначим через I. Если момент инерции относительно оси L обозначим через J, то по теореме предыдущего параграфа имеем [c.513]

Динамика абсолютно твердого тела. Момент импульса. Тензор инерции. Момент импульса тела относительно оси. Эллипсоид инерции. Вычисление моментов инерции относительно оси. Теорема Тюйгенса-Штейнера. Момент импульса относительно движущегося центра масс. [c.21]

У,,,, J,. главные моменты инерции. Уравнение эллипсоида инерции (27 ) не содержи сла1аемых с произведениями коорди-паг ючек. Поэтому центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции равны нулю, г. е. [c.226]

Если эллипсоид инерции отличен от сферы и не является эллип-соидом вращения, то существует единственная система главных осей. При этих условиях в каждой точке пространства может быть указана единственная система осей, замечательная тем, что по отношению к этой системе центробежные моменты инерции равны нулю. Оси, удовлетворяющие этому условию, называются главными осями инерции тела для рассматриваемой точки, а моменты инерции относительно этих осей — главными моментами инерции. Главные оси инерции, проходящие через центр инерции тела, называются главными центральными осями инерции. [c.179]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...