Эллипсоид инерции. Главные оси и главные моменты инерции

ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ. ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ [c.101]

Эллипсоид инерции. Главные оси и главные моменты инерции..............351 [c.10]

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек М, а следовательно, геометрическое место этих точек есть поверхность второго порядка. Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид не имеет бесконечно удаленных точек, следовательно, концы отложенных отрезков лежат на поверхности эллипсоида. Его называют эллипсоидом инерции . Заметим, что при построении этого эллипсоида мы взяли начало координат в произвольной точке О. Следовательно, для каждого тела в каждой точке пространства можно построить свой эллипсоид инерции с центром в этой точке. Момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через эту точку, обратно пропорционален квадрату отрезка оси, лежащей внутри эллипсоида инерции. Ясно, что наибольшей оси эллипсоида соответствует наименьший момент инерции и, наоборот, наименьшей оси эллипсоида — максимальный момент инерции. Напомним, что в эллипсоиде имеются обычно три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными. Можно совместить координатные оси с главными осями эллипсоида инерции. Из математики известно, что уравнение эллипсоида, отнесенного к главным осям, не содержит членов с произведениями координат. Следовательно, центробежные моменты инерции относительно этих осей равны нулю. Их называют главными осями инерции в данной точке О, а моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции. Формула (204) принимает. вид [c.341]

Из возможности привести уравнение эллипсоида инерции к виду (26.12) мы заключаем, что через любой полюс всегда проходят три такие взаимно перпендикулярные оси, что для них произведения инерции обращаются в нули. Эти оси носят название главных осей инерции для взятого полюса, а моменты инерции, им соответствующие, называются главными моментами инерции для данного полюса. Когда за полюс взят центр масс, то эллипсоид инерции, главные оси и главные мо- [c.257]

Каждая плоскость симметрии относительно распределения масс является, конечно, и плоскостью симметрии эллипсоида инерции нормаль к этой плоскости определяет одну из главных осей этого эллипсоида. Распределению масс с симметрией вращения соответствует эллипсоид инерции, являющийся эллипсоидом вращения следовательно, это распределение масс наряду с главной осью, совпадающей с осью симметрии тела, имеет еще бесчисленное множество экваториальных главных осей инерции. Примерами могут служить обыкновенный игрушечный волчок и волчок в форме маховичка, которым обычно пользуются для демонстраций (рис. 40а и б). У первого волчка момент инерции относительно оси симметрии минимален поэтому соответствующая главная ось (в силу соотношения р = 0 /2) длиннее экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет продолговатым. У второго волчка, напротив, момент инерции относительно оси симметрии максимален поэтому (в силу того же соотношения) соответствующая главная ось короче экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет сплюснутым. В обоих случаях мы имеем дело с симметричными волчками. [c.166]

В общем случае имеется три различных действительных корня кубического уравнения JУз, которые являются главными моментами инерции. Действительно, если ось Ох совпадает с главной осью инерции, то для точки М эллипсоида инерции, расположенной на этой оси, / = о и 2 = 0. Первое уравнение (29) принимает вид [c.277]

Рассмотрим также однородное тело вращения с осью симметрии Z. Так как ось z — ось симметрии, то она является главной центральной осью две любые взаимно перпендикулярные пряные, перпендикулярные к оси г и пересекающие ее, могут быть приняты за главные оси инерции в какой-либо точке оси вращения тела. Действительно, для тела вращения всякая плоскость, проходящая через ось г, является плоскостью симметрии значит, перпендикулярная к этой плоскости прямая, т. е. любая прямая, является главной осью. Эллипсоид инерции в любой точке оси 2 является эллипсоидом вращения. Момент инерции относительно оси вращения эллипсоида инерции называется аксиальным-, моменты инерции относительно осей, перпендикулярных к оси вращения эллипсоида инерции, называются экваториальными. Очевидно, экваториальные моменты равны ежду собой, так как равны соответствующие полуоси эллипсоида инерции. [c.291]

Вычисление величины 0 является задачей интегрального исчисления. Не приводя доказательства, укажем, что для однородного эллипсоида с полуосями а, Ь, с момент инерции относительно оси с (и соответственно относительно других главных осей) равен [c.88]

Эллипс ИНЕРЦИИ. В некоторых случаях важно изучить распределение моментов инерции относительно осей, лежащих в некоторой плоскости я и пересекающихся в одной точке О. Типичным примером такого случая будет система материальных точек, лежащих в одной плоскости (предыдущий пункт). Изменение моментов инерции относительно осей, лежащих в плоскости it системы и проходящих через одну точку О, согласно с геометрическим истолкованием, изложенным в п. 23, определяется эллипсом инерции е, который получается при пересечении с плоскостью я эллипсоида инерции Е относительно О. Если эллипс е отнесен к его главным осям [c.49]

Из этого выражения следует, что при f -> оо вектор о) стремится совпасть с осью фигуры независимо от того, вытянут или сплюснут эллипсоид инерции и каково отличие в моментах сопротивления враш ению относительно главной и экваториальных осей. [c.78]

Если два главных момента инерции равны, например 1х = 1у, то эллипсоид инерции будет эллипсоидом вращения вокруг оси Z. Такое твердое тело имеет кинетическую симметрию относительно оси Z. Английский механик и математик Эдуард Джон Раус (1831-1907) назвал такие тела одноосными. Все перпендикулярные оси г прямые являются главными осями инерции. [c.169]

Эти оси называются главными осями инерции. Очевидно, что направления главных осей инерции дают оси наибольшего и наименьшего момента инерции. Наибольшая ось эллипсоида будет соответствовать наименьшему моменту инерции и наоборот. [c.557]

Задача 2-я. Для данной точки тела построить эллипсоид инерции, если известен центральный эллипсоид инерции. Отнесем данное тело к главным осям центрального эллипсоида инерции. Пусть дана точка N (фиг. 351), для которой требуется построить эллипсоид инерции, т. е. найти величину и направление главных его осей. Координаты точки N обозначим через т и С, Проведем некоторую прямую ОЬ, образующую с осями Ох, Оу, Ог соответственно углы а, р и 1. Тогда момент инерции относительно этой оси ОЬ выразится так [c.560]

Тогда эллипсоид [уравнение (29)] будет эллипсоидом вращения (фиг. 87). При этом получается равенство ие только моментов инерции для осей у, г, но и для всякой оси, лежащей в плоскости уг, момент инерцни будет тоже равен Уз. Все эти оси будут главными осями тела. [c.126]

II. Если три главных момента инерции для любой точки О равны между собой, эллипсоид инерции, построенный для этой точки, становится сферой. В этом случае каждый диаметр — главный и все радиусы-векторы эллипсоида инерции по величине равны. Следовательно, каждая прямая, проходящая через точку О, служит главной осью для этой точки, и моменты инерции относительно любой из этих прямых одинаковы. [c.30]

Этим эллипсоидом можно также воспользоваться для нахождения момента инерции относительно произвольной прямой, проходящей через начало координат. Пользуясь результатами, полученными в п. 15, можно доказать, что момент инерции тела относительно произвольной прямой, проходящей через начало координат, пропорционален разности двух выражений. Одно из пих является суммой величин, обратных квадратам длин полуосей этого эллипсоида, другое — величиной, обратной квадрату длины радиуса-вектора эллипсоида, направленного вдоль данной прямой. Рассматриваемый эллипсоид является поверхностью, взаимной эллипсоиду Лежандра. У всех этих эллипсоидов главные диаметры совпадают по направлению, и любой из этих эллипсоидов может быть использован для определения направления главных осей инерции в произвольной точке. [c.34]

Эти результаты следуют также из пп. 57 и 58. Описанный около гирационного эллипсоида конус с вершиной в точке Р должен на основании результатов этих пунктов быть прямым круговым, если два главных момента инерции для точки Р равны. Но из стереометрии известно, что это будет только в том случае, если его вершина лежит на фокальном коническом сечении, и тогда осью неравных моментов инерции будет касательная к этому коническому сечению. [c.58]

Пусть и, V, — составляющие скорости центра тяжести одного из тел непосредственно до удара, а и, V, тю — составляющие скорости в произвольный момент времени I после начала удара, но до его окончания. Пусть йу, — компоненты угловой скорости тела относительно его главных диаметров в центре тяжести непосредственно перед ударом, а со., со со — компоненты угловой скорости в момент времени I. Пусть а, Ь, с — полуоси эллипсоида. А, В, С — главные моменты инерции для центра тяжести относительно указанных осей соответственно, а М — масса тела. Штрихованные буквы обозначают те же самые величины для второго тела. Предположим, что тела ударяются в точках, лежащих на концах осей с, с. [c.277]

В п. 43 показано, что длины полуосей вписанного эллипсоида определяются из кубического уравнения, коэффициенты которого являются функциями площадей граней и длин ребер тетраэдра. Положения осей также определяются геометрически. Следовательно, главные моменты инерции можно легко найти. [c.451]

Однородный диск радиуса а и массы т катится без скольжения ио горизонтальной плоскости. Составить уравнения движения диска 1) в координатах хс, ус, 9, ф, ср, где Хс, Ус — координаты центра масс диска, 0, ф, ср — углы Эйлера, 2) в координатах х, у, 6, ф, ср, где X, у — координаты точки контакта диска с плоскостью, Ф> Ф — углы Эйлера (см. задачу 50.11) 3) в квазикоординатах р, у, г, являющихся проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения диска на главные оси центрального эллипсоида инерции А, С — главные центральные моменты инерции диска., [c.386]

Сравнивая теперь уравнение эллипсоида инерции, записанное в главных осях в форме (32), и уравнение эллипсоида инерции (29), записанное в произвольно выбранных осях, заключаем, что в системе координат, оси которой направлены по главным осям эллипсоида инерции, центробежные моменты инерции равны нулю [c.179]

Заметим, между прочим, что хотя моменты инерции куба относительно трех ребер, проходящих через его вершину, одинаковы, эллипсоид инерции для вершины куба заведомо отличен от сферы. Действительно, равные моменты инерции относительно трех указанных выше перпендикуляров, проведенных через центр куба, при переносе осей в вершину получают различные прира-ш,ения, и результируюш,ие моменты инерции будут разными. Читателю предлагается самому найти главные оси инерции для вершины куба. [c.183]

Если эллипсоид инерции не есть эллипсоид вращения, то по крайней мере две из величин р, у, г должны быть равны нулю. Но это и означает, что тело вращается вокруг одной из главных осей инерции. Если эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения, например А = В -ф С, то тогда любая ось в плоскости, перпендикулярной оси, соответствующей моменту инерции С, будет главной. Величины р и д могут быть тогда любыми, и если хотя бы одна из них отлична от нуля, то тогда должно быть г = 0. Если А = В = С, то тогда любая ось тела будет главной, а р, у, г могут при этом быть произвольными. [c.471]

Из-за симметрии эллипсоида инерции гироскопа любая ось, проходящая через О и перпендикулярная к 63, будет главной осью инерции, и моменты инерции гироскопа относительно таких осей будут одинаковыми. Обозначим эти моменты инерции А. Момент инерции относительно оси фигуры обозначим С. [c.495]

Подставляя в (29) У = У,, получим только два независимых уравнения для определения координат точки х, у, г эллипсоида инерции, соответствующих главной оси инерции. Для которой главный момент инерции есть Третье уравнение системы будет следствием двух других уравнений, так как определитель этой системы равен нулю. Из (29) можно найти только две величины, например х/г и у г. Они определят направление вектора г, вдоль главной оси инерции, момент инерции относительно которой есть Модуль радиус-вектора п остается неопределенным. Аналогично определяются направления векторов Гд и Гд вдоль двух других главных осей инерции, для которых главные моменты инерции равны У.2 и Уд. Можно доказать, что векторы г,, и Гд, направленные вдоль главных осей инерции, взаимно перпендикулярны. [c.277]

Наконец, обратим внимание на общую структуру семейства полодий на поверхности эллипсоида инерции. Как видно из рис. 52, полодии делятся на четыре группы. Каждая из этих групп кривых охватывает конец одной из тех главных осей эллипсоида инерции, которым соответствуют наибольший и наименьший моменты инерции. Эти группы полодий отделяют два эллипса, спроектированных на плоскость 0 т1 в случае, которому соответствует рис. 52, в форме двух отрезков прямых линий АВ и СО. [c.421]

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (И), видим, что все центробежные моменты инерции в системе осей Ox y z обратились в нуль. Этим доказывается существование в каждой точке твердого тела трех взаимно перпендикулярных главных осей инерции они совпадают по направлению с осями эллипсоида инерции тела в этой точке. Моменты инерции /ь /2, /з представляют собой главные моменты инерции. [c.286]

В частных случаях, когда эллипсоид инерции тела для точки О будет приводиться к шару J — J = У ) или когда вращение тела происходит вокруг одной из главных осей инерции, например оси г (и> = (Оу = 0), направление векторов кинетического момента Ко и мгновенной угловой скорости (О между собой совпадают, т. е. [c.698]

Три последние соотношения будут одновременно удовлетворены, если обращаются в нуль две координаты точки О, другими словами, шаровые точки могут лежать на главных осях центрального эллипсоида инерции. Не уменьшая общности, допустим, что , = 0, 1Г) = 0. В этом случае для шаровой точки О все моменты инерции А, В, С относительно осей O x y z должны быть равны между собой и моменты эти могут быть определены по теореме Штейнера [c.139]

Эллипсоид инерции. Главные оси и главные моменты ииериди [c.351]

При сообщении свободному твердому телу начальной угловой скорости вокруг одной из осей эллипсоида инерции три направления — этой оси, мгновенной оси вращения (вектора о) и главного момента количеств движения К совпадают и сохраняют неизменное направление в пространстве. При малом возмущении вектор ю будет описывать конус с малым углом раствора (конус герполопии) вокруг нового, но неизменного в пространстве направления вектора К однако угол раствора конуса герполодии, описываемого вектором <л по отношению к осям, связанным с телом, будет оставаться достаточно малым лишь при условии, что начальное вращение происходило вокруг оси наибольшего или наименьшего моментов инерции. В этом смысле говорят, что вращения свободного твердого тела вокруг осей наибольшего или наименьшего моментов инерции устойчивы, а вокруг оси среднего момента инерции неустойчивы. Вращение вокруг оси наибольшего момента инерции устойчивее в том смысле, что малое возмущение начального вращения вокруг этой оси создает конус герполодии с меньшим углом раствора, чем возмущение вокруг оси наименьшего момента инерции. (Прим. ред.) [c.703]

Рассмотренная выше классификация по свойствам симметрии полной собственной функции [классификация по типам по.гной симметрии over-all spe ies), согласно Мелликену [645]] применяется не так часто, как классификация по свойствам симметрии только вращательной собственной функции (см. Деннисон [279]). Назовем для краткости три главные оси, относительно которых моменты инерции равны соответственно /д, 1ц, и /с, осями а, Ь к с. Вращательная собственная функция ([ г зависит от ориентации этой системы осей относительно неподвижной системы координат. дает вероятность различных ориентаций осей. В силу симметрии Эллипсоида инерции, данной ориентации осей и ориентациям, отличающимся от нее поворотом на 180° вокруг одной из осей, должны соответствовать одинаковые вероятности. [c.64]

За такую систему, неизменно связанную с телом, возьмем систему осей Gxyz, в которой ось Gz совпадает с главной осью инерции, вначале перпендикулярной к плоскости г. (и ориентированной так же, как Q ), а оси Gx и Gy представляют собой две другие главные оси инерции, проходящие через G (или две любые другие оси, перпендикулярные между собой, если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения относительно Gz), Проекции результирующего момента количеств движения на оси системы Gxyz определяются (гл. IV, п. 16) равенствами [c.26]

Эллипсоид инерции сжат в направлении главной оси, отвечающей наибольшему моменту инерции, и вытянут в направлении оси с наименьщим моментом (рис. 17). Если тело переходит само [c.65]

Эллипсоид инерции, построенный для центра тяжести тела, называется центральным, а его оси называются главными центральными осями инерции. Теперь нетрудно показать, что для вычисления момента инерции тела относительно какой угодно оси достаточно знать направления трех главных центральных осей инерции тела, которые мы обозначим через т) и и моменты инерции /р, /,j и относительно этих осей. В самом деле, пусть требуется вычислить момент инерции J относительно произвольно выбранной оси L, направление которой образует с главными центральными осями инерции углы а, Р и у. Проведем через центр тяжести тела o bL, параллельную оси L расстояние между этими осями обозначим через I. Если момент инерции относительно оси L обозначим через J, то по теореме предыдущего параграфа имеем [c.513]

Если эллипсоид инерции отличен от сферы и не является эллип-соидом вращения, то существует единственная система главных осей. При этих условиях в каждой точке пространства может быть указана единственная система осей, замечательная тем, что по отношению к этой системе центробежные моменты инерции равны нулю. Оси, удовлетворяющие этому условию, называются главными осями инерции тела для рассматриваемой точки, а моменты инерции относительно этих осей — главными моментами инерции. Главные оси инерции, проходящие через центр инерции тела, называются главными центральными осями инерции. [c.179]

Легко видеть, что в тех случаях, когда одна ось системы координат совпадает с одной из главных осей инерции, два соответствующих центробежных момента инерции обращаются в нуль. Действительно, в точке пересечения главной оси с поверхностью эллипсоида радиус-вектор, проведенный из начала координат, и орт нормали к поверхности эллипсоида коллинеариы (рис. 13). [c.81]

Если два из моментов инерции равны, например А В, то уравнения (10) удовлетворяются нри p = q — 0 и любом г (вращение вокруг главной оси инерции Oz), а также при г==0 и любых р п q (вращение вокруг люоой оси, проходящей через точку О, лежащий в экваториальной плоскости эллипсоида инерции и, следовательно, являющейся главной осью инерции). [c.158]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...