Момент эллипсоида

Однородный эллипсоид с моментами инерции Л, (3/2)Л, 2Л движется вокруг своего неподвижно закрепленного центра масс. В начальный момент эллипсоиду сообщена угловая скорость II = [c.108]

Однородный диск радиуса а и массы т катится без скольжения ио горизонтальной плоскости. Составить уравнения движения диска 1) в координатах хс, ус, 9, ф, ср, где Хс, Ус — координаты центра масс диска, 0, ф, ср — углы Эйлера, 2) в координатах х, у, 6, ф, ср, где X, у — координаты точки контакта диска с плоскостью, Ф> Ф — углы Эйлера (см. задачу 50.11) 3) в квазикоординатах р, у, г, являющихся проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения диска на главные оси центрального эллипсоида инерции А, С — главные центральные моменты инерции диска., [c.386]

ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ. ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ [c.101]

Как определить по эллипсоиду инерции, относительно какой оси из всех осей, проходящих через данную точку, момент инерции твердого тела имеет наибольшее значение [c.116]

Таким образом, геометрическим местом концов указанных отрезков, т. е. геометрическим местом точек N, является поверхность второго порядка. По самому построению длина отрезка ON на рис. V.4 отлична от нуля и ограничена, так как для любого конечного тела момент инерции У —величина, отличная от нуля и ограниченная. Среди поверхностей второго порядка ограничены лишь эллипсоиды (в частности, сферы). Следовательно, геометрическим местом точек N является эллипсоид i). Построенный так эллипсоид называется эллипсоидом инерции для точки О. Уравнение (29) является уравнением эллипсоида инерции для этой точки. Непосредственно видно, что задание тензора инерции однозначно задает эллипсоид инерции. [c.178]

Сравнивая теперь уравнение эллипсоида инерции, записанное в главных осях в форме (32), и уравнение эллипсоида инерции (29), записанное в произвольно выбранных осях, заключаем, что в системе координат, оси которой направлены по главным осям эллипсоида инерции, центробежные моменты инерции равны нулю [c.179]

Заметим, между прочим, что хотя моменты инерции куба относительно трех ребер, проходящих через его вершину, одинаковы, эллипсоид инерции для вершины куба заведомо отличен от сферы. Действительно, равные моменты инерции относительно трех указанных выше перпендикуляров, проведенных через центр куба, при переносе осей в вершину получают различные прира-ш,ения, и результируюш,ие моменты инерции будут разными. Читателю предлагается самому найти главные оси инерции для вершины куба. [c.183]

Моменты инерции и эллипсоид инерции. Момент инерции твердого тела относительно оси L, проходящей через данную точку, определяется формулой [c.243]

Если оси хну, проходящие через точку О, не являются осями эллипсоида, то ф О, т. е. если только одна из осей будет главной осью инерции в данной точке твердого тела, то в нуль обращаются лишь два центробежных момента инерции относительно осей, одной из которых является главная ось инерции например, если д — глав- [c.245]

Упражнение 8. Пусть эллипсоид инерции собственно маятника в точке подвеса О является эллипсоидом вращения, в экваториальной плоскости кото[Юго расположена горизонтальная ось х маятника (рис. 3). Показать, что тогда выражение обобщенной кориолисовой силы инерции имеет вид (/ = 1у. - главные моменты инерции собст- [c.48]

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек М, а следовательно, геометрическое место этих точек есть поверхность второго порядка. Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид не имеет бесконечно удаленных точек, следовательно, концы отложенных отрезков лежат на поверхности эллипсоида. Его называют эллипсоидом инерции . Заметим, что при построении этого эллипсоида мы взяли начало координат в произвольной точке О. Следовательно, для каждого тела в каждой точке пространства можно построить свой эллипсоид инерции с центром в этой точке. Момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через эту точку, обратно пропорционален квадрату отрезка оси, лежащей внутри эллипсоида инерции. Ясно, что наибольшей оси эллипсоида соответствует наименьший момент инерции и, наоборот, наименьшей оси эллипсоида — максимальный момент инерции. Напомним, что в эллипсоиде имеются обычно три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными. Можно совместить координатные оси с главными осями эллипсоида инерции. Из математики известно, что уравнение эллипсоида, отнесенного к главным осям, не содержит членов с произведениями координат. Следовательно, центробежные моменты инерции относительно этих осей равны нулю. Их называют главными осями инерции в данной точке О, а моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции. Формула (204) принимает. вид [c.341]

Радиус-вектор и все длины в эллипсоиде инерции Коши имеют, размерностью величину, обратную квадратному корню из размерности момента инерции, что вносит ряд осложнений, особенно в графические построения. Значительно удобнее откладывать вдоль [c.341]

Перейдем к характеристикам эллипсоида инерции. Взятый относительно центра масс множества Q он называется центральным эллипсоидом инерции, его главные оси — главными центральными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей — главными центральными моментами инерции. [c.52]

Согласно определению, эллипсоид инерции с центром в точке О есть геометрическое место таких точек Р, расстояние от которых до точки О обратно пропорционально квадратному корню из момента инерции относительно оси, проходящей через точки О и Р. Рассмотрим, как преобразуются осевые моменты инерции при переходе от полюса к полюсу. [c.52]

Теорема 6.6.1. Вектор К кинетического момента перпендикулярен к плоскости, касающейся эллипсоида инерции в точке С пересечения эллипсоида с лучом, выходящим из неподвижной точки О параллельно вектору угловой скорости из. [c.465]

Доказательство. По теореме 6.6,1 вектор кинетического момента задает нормаль к эллипсоиду инерции, взятую в апексе. Расстояние от точки О до касательной плоскости есть [c.467]

Доказательство. Плоскость V имеет фиксированное расстояние до неподвижной точки О, а ее ориентация, определяемая вектором кинетического момента, остается постоянной во все время движения. Точка касания принадлежит оси угловой скорости, и, значит, скорость точки эллипсоида, совпадающей с апексом, равна нулю.О [c.468]

Определение 6.7.1. Полодия — это кривая, описываемая апексом на поверхности эллипсоида инерции. Герполодия — это кривая, вычерчиваемая апексом на. неподвижной плоскости V, касающейся эллипсоида инерции в каждый момент времени. [c.468]

Пусть в начальный момент апекс находится в окрестности наименьшей оси эллипсоида инерции [c.469]

Если эллипсоид инерции не есть эллипсоид вращения, то по крайней мере две из величин р, у, г должны быть равны нулю. Но это и означает, что тело вращается вокруг одной из главных осей инерции. Если эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения, например А = В -ф С, то тогда любая ось в плоскости, перпендикулярной оси, соответствующей моменту инерции С, будет главной. Величины р и д могут быть тогда любыми, и если хотя бы одна из них отлична от нуля, то тогда должно быть г = 0. Если А = В = С, то тогда любая ось тела будет главной, а р, у, г могут при этом быть произвольными. [c.471]

Следовательно, при В, по величине близком к С, малыми в любой момент времени будут координаты Г] и ) 2. Это означает устойчивость движения оси угловой скорости в окрестности большой полуоси эллипсоида инерции. [c.472]

Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки в поле силы тяжести. С помощью ортонормированных векторов, е з, вз, жестко связанных с телом, зададим направления главных осей инерции относительно неподвижной точки О. Соответственно Л, В, С суть главные моменты инерции. Потребуем, чтобы тело было динамически симметричным (эллипсоид инерции был эллипсоидом вращения). Например, пусть [c.478]

Из-за симметрии эллипсоида инерции гироскопа любая ось, проходящая через О и перпендикулярная к 63, будет главной осью инерции, и моменты инерции гироскопа относительно таких осей будут одинаковыми. Обозначим эти моменты инерции А. Момент инерции относительно оси фигуры обозначим С. [c.495]

Тензору инерции или симметричному тензору второго ранга соответствует геометрический образ в виде эллипсоида, центр которого находится в точке О. Для доказательства этого рассмотрим момент инерции относительно оси А, проходящей через О и направленной под углами а, р, у к осям координат. [c.173]

Из поверхностей второго порядка этому условию удовлетворяет только одна, а именно эллипсоид. Найденный эллипсоид называют эллипсоидом инерции для данного тела в точке О. Очевидно, эллипсоид инерции для данного тела можно построить в любой точке пространства. Поэтому эллипсоидом инерции для данного тела в какой-либо точке называют эллипсоид с центром в этой точке, центральные радиусы-векторы точек которого равны обратным значениям квадратных корней из моментов инерции тела относительно осей, направленных по этим радиусам-векторам. [c.249]

Главные оси эллипсоида инерции для тела в какой-либо точке называют главными осями инерции тела в этой точке. Моменты инерции относительно этих осей называют главными моментами инерции тела в этой точке. В каждой точке пространства для данного тела существует три взаимно перпендикулярные главные оси инерции. [c.250]

Эллипсоид инерции для тела, построенный в его центре масс, называют центральным эллипсоидом инерции. Главные оси этого эллипсоида называют главными центральными осями инерции тела. Моменты инерции относительно этих осей называют главными центральными моментами инерции. [c.251]

Кинетический момент тела может быть коллинеарным с угловой скоростью в те моменты времени, когда мгновенная ось вращения совпадает с одной из главных осей инерции тела для неподвижной точки. Приведем соотношение, применяемое при рассмотрении движений вокруг неподвижной точки тел, эллипсоиды инерции которых для этой точки представляют собой эллипсоиды вращения [c.451]

Для характеристики распределения моментов инерции тела относительно различных осей, проходящих через заданную точку, используется поверхность второго порядка — эллипсоид инерции. Для построения этой поверхности на каждой оси 01 (рио. 31), проходящей через точку О, откладывают от этой точки отрезок [c.272]

Это действительно уравнение эллипсоида, так как отрезок 0/( имеет конечную длину для всех осей, для которых моменты инерции не обращаются в нуль. Другие поверхности второго порядка, например гиперболоиды и параболоиды, имеют бесконечно удаленные точки. Эллипсоид инерции вырождается в цилиндр для тела в виде прямолинейного отрезка, если точка О расположена на самом отрезке. Для оси, направленной по этой прямой линии, момент инерции обращается в нуль и соответственно отрезок ОК равен бесконечности. [c.272]

У,,,, J,. главные моменты инерции. Уравнение эллипсоида инерции (27 ) не содержи сла1аемых с произведениями коорди-паг ючек. Поэтому центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции равны нулю, г. е. [c.226]

В общем случае имее1ся три различных действительных корня кубического уравнения J2, /3, которые являются главными моментами инерции. Действительно, если ось Ох совмадаег с главной осью инерции, го для точки М эллипсоида ипер щи, расположенной на эюй оси, ( = 0 и z = 0. Первое уравнение (29) принимает вид [c.289]

Гироскопический момент L совпадает с гироскопическим моментом, полученным по приближенной теории. Гироскопический MOMejn L" является поправкой к гироскопическому моменту L в случае точного вычисления кинетического момента при регулярной прецессии. Момент L" равен пулю, если Л = Л ( эллипсоид инерции является шаром), и при 0 = 90, т. е. когда ось гироскопа перпендикулярна оси прецессии. [c.520]

Каждой точке тела соответствует определенный эллипсоид инерции, который характеризует моменты инерции тела относительно всех осей, проходящих через данную точку. Действительно, имея эллипсоид инерции для некоторой точки О (рис. 87, б) по расстоянию OjVi от начала координат О до точки N, в которой какая-либо ось Vj пересекает эллипсоид инерции, можно определить момент инерции тела относительно этой оси по формуле (38.1) [c.102]

Если эллипсоид инерции отличен от сферы и не является эллип-соидом вращения, то существует единственная система главных осей. При этих условиях в каждой точке пространства может быть указана единственная система осей, замечательная тем, что по отношению к этой системе центробежные моменты инерции равны нулю. Оси, удовлетворяющие этому условию, называются главными осями инерции тела для рассматриваемой точки, а моменты инерции относительно этих осей — главными моментами инерции. Главные оси инерции, проходящие через центр инерции тела, называются главными центральными осями инерции. [c.179]

В моменты времени, когда эллипсоид инерции становится эллипсоидом вращения, выполнещге равенств вида (1.130) достигается мгновенным конечным поворотом осей коор/щиат вокруг оси вращения эллипсоида инерции. [c.56]

Доказательство. По определению, диаметры эллипсоида инерции обратно пропорциональны квадратным корням из соответствующих осевых моментов инерции. Согласно теореме 1.10.2 момент инерции относительно оси, проходящей через точку О парал.чельно вектору ег, остается равным соответствующему центральному моменту инерции при любом значении г. Следовательно, диаметр, параллельный вг при любом г, будет таким же, каким он был в центр<гльном эллипсоиде. Моменты инерции относительно осей, не коллинеарных ег, растут, а соответствующие диаметры уменьшаются, стремясь к нулю при увеличении г. Весь эллипсоид стремится к отрезку, равному диаметру центрального эллипсоида инерции в направ.чении ег. Середина отрезка совпадает с точкой О, а сам отрезок расположен на оси, проходящей через точки О и С. Если х перпендикулярен вг, то вектор нормали к эллипсоиду в точке О можно представить (см. теорему 1.10.3) в виде [c.55]

Для простоты примем, что центр масс диска расположен в центре Ос опорной окружности, а центральный эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения вокруг оси, параллельной вектору 63 и проходящей через Ос- Это означает, что моменты инерции, взятые относительно осей репера Опе1б2ез, не будут изменяться при движении диска. [c.509]

При сравнении выражений (126.21) п (126.32) видно, что os а. и os 02 равАЫ, если Л = С--=В. Это соответствует случаю, когда эллипсоид инерции в точке О вырождается в сферу. В этом случае вектор кинетического момента Ко направлен вдоль вектора мгновенной угловой скорости. Если отсутствует прецессия (г зо = 0), то, как следует из формул (126.31), вектор Ко направлен вдоль вектора угловой скорости О) и определяется формулой [c.192]

Как известно, момент инерипи тела относительно оси характергг-зует распределение масс тела относительно этой оси. Поэтому эллипсоид инерции тела в какой-либо точке является общей характеристикой распределения масс тела относительно пучка осей, проходящих через эту точку. [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...