Построение нормалей и касательных

Построение нормалей н касательных. Для некоторых алгебраических и трансцендентных кривых чти приемы изложены в п. 3.9, в общем же случае их строят приближенно, с помощью так называемых кривых ошибок. [c.50]

Построение нормали и касательной к эллипсу (фиг. 9 6). Нормаль и касательная к эллипсу являются биссектрисами соответственно внутреннего и [c.48]

Построение нормали и касательной к очерку эпициклоиды в точке V (рис. 55, а). Точке V соответствует производящая окружность с центром в точке 5о. Точку 5 соединяют с точкой М, полученной в пересечении луча О—с другой А—В направляющей окружности. Прямая п—V — нормаль к эпициклоиде в данной точке V, а перпендикуляр к нормали — касательная 1. [c.50]

Построение нормали и касательной к эпициклоиде в данной на ней точке. Для того чтобы построить нормаль к эпициклоиде, например в точке С (см. рис. 156), необходимо точку 4 соединить о точкой С. Прямая п — искомая нормаль. Касательная / проходит через точку С и точку О, в которой луч 04° пересекается с производящей окружностью, описанной из центра 4°, радиусом г. [c.123]

Таким образом, указанным выше способом легко в каждой точке М фазовой плоскости построить малый отрезок, направленный по касательной к фазовой траектории. Переместившись вдоль этого отрезка в смежную точку, повторим еще раз то же построение, найдем новую нормаль и новое направление касательной. Беря отрезки касательной достаточно малыми, построим ломаную линию, мало отличающуюся от искомой фазовой траектории. [c.526]

Угол давления у, так же как и угол передачи р, можно найти на плане сил и на плане скоростей (рис. 4.31). Как видно из построения, угол передачи образован касательной к центровому профилю кулачка и линией движения толкателя, а угол давления— нормалью и линией движения толкателя. Так как линия движения толкателя является прямой, то проверка существующего угла давления сводится к проведению нормалей к развертке центрового профиля кулачка и замеру соответствующих углов [c.157]

Нам теперь нужно найти оставшиеся два главных напряжения, зная нормальные и касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам, параллельным и перпендикулярным к оси балки (рис. 191). Подобную задачу мы уже решали в 32 путем построения круга напряжений. Там этот прием был применен к более общему случаю напряженного состояния, когда по двум взаимно перпендикулярным площадкам с нормалями аир действовали [c.261]

Начерченный таким образом круг будем называть кругом напряжений. Его построение ясно из рисунка 51,6. Площадке, нормаль к которой образует с осью I угол 0 (рис. 51, а), соответствует точка М круга напряжений, и, следовательно, нормальные напряжения о и касательные напряжения Хп после построения круга напряжений легко находятся графически. [c.81]

В особых точках касательная плоскость или не определяется единственным образом, или не существует вообще. Точки, в которых можно провести единственную касательную плоскость, называют обыкновенными. Наконец, введем еще одно понятие — нормаль к поверхности. Так называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания. Очевидно, что задачи на построение нормалей к кривым поверхностям, по существу, сводятся к задачам на построение касательных плоскостей. [c.182]

Нам теперь нужно найти оставшиеся два главных напряжения, зная нормальные и касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам, параллельным и перпендикулярным к оси балки (фиг. 226). Подобную задачу мы уже решали в 38 путем построения круга напряжений. Там этот приём был применён к более общему случаю напряжённого состояния, когда по двум взаимно перпендикулярным площадкам с нормалями а и р действовали напряжения о , о , Хр = — т . Условимся теперь относить значок а к грани нашего элемента, перпендикулярной к оси балки, ар — к грани, параллельной этой оси (фиг. 228). [c.311]

Чтобы опустить перпендикуляр из центра О на эту касательную плоскость, можно воспользоваться правилом Евклида Обозначив через РР касательную к сфероконической кривой, опустим из точки О перпендикуляр на РР. Это будет ОР, так как РР — касательная к сфере. Через точку Р в касательной плоскости проведем перпендикуляр к РР и обозначим его через PQ. PQ — нормаль к софокусной поверхности второго порядка. Из точки О проведем перпендикуляр 0Q к этой нормали. Тогда 0Q будет нормалью к касательной плоскости. Отсюда вытекает следующее построение. [c.60]

Рис. 168. Полное определение поверхности вращения сопла (для справки приведено уравнение эллипса, построение касательной и нормалей в точках сопряжения)

Построение эвольвенты выполняется следующим образом (рис. 3.78). Делят окружность радиуса R на определенное количество равных частей (например, на 8). Из точек деления 1, 2, 3,. .. проводят касательные к окружности, на которых откладывают соответственно одну, две, три и т. д. части окружности. Точки 7 1, Яз, Яз,. .. принадлежат эвольвенте. Касательная, проведенная из последней точки деления 8 (она же точка К), равна длине окружности. Поэтому часто эвольвенту называют еще разверткой окружности. Нормаль эвольвенты в точке К представляет собой касательную к окружности в точке N, проведенную из точки К. Касательная t в точке К перпендикулярна к нормали п. В технике эвольвенту применяют при профилировании зубчатых колес. На рис. 3.79 показано зацепление зубьев двух [c.58]

Так как радиус сферы, проведенный в точку касания, является нормалью сферической поверхности, то задача построения касательной плоскости сводится к построению плоскости, перпендикулярной радиусу СА. Эта плоскость может быть определена прямыми h и/, первая из которых горизонталь (й, С,/(,). а вторая— фронталь ( ЛСг г)- [c.134]

Способы их построения и проведения к ним касательных и нормалей в общем случае такие же, как и для циклоиды, с тем лишь отличием, что длину окружности катящегося круга откладывают на направляющем круге. На рис. 3.22 показано построение по одной арке эпициклоиды обыкновенной (или просто эпи- [c.58]

Построение касательной и нормали к конике. Касательная является биссектрисой внешнего (у эллипса и параболы) или внутреннего (у гиперболы) угла, образованного радиусами-векторами, проведенными через заданную точку кривой, а нормаль — биссектрисой внутреннего или внешнего угла соответственно. На этом свойстве и основано их построение (рис. 3.50). [c.69]

Решение инженерных задач с поверхностями требует построения касательных плоскостей, нормалей, разверток поверхностей. Это — задачи, связанные с расчетом оболочек на прочность, изготовлением технических поверхностей путем обработки на металлорежущих станках или из листового материала посредством свертывания или штамповки. Решение таких задач требует совместного рассмотрения вопросов начертательной и дифференциальной геометрий поверхностей. [c.131]

С понятием касательной плоскости тесно связано понятие нормали к поверхности. Нормалью п поверхности Ф в некоторой ее точке М называют прямую, проходящую через эту точку и перпендикулярную касательной плоскости S поверхности Ф, построенной в этой точке. [c.132]

Рассмотрим некоторые случаи преломления света в одноосных кристаллах. При анализе будем пользоваться принципом Гюйгенса (см. 2.4) —простым и в то же время достаточно эффективным способом изучения распространения света в анизотропных средах. Поверхности, фигурирующие в построении Гюйгенса, есть лучевые поверхности, а не поверхности нормалей. Действительно, по правилу Гюйгенса для получения фронта плоской волны проводят плоскость, касательную к поверхности Гюйгенса. А фронт волны касателен именно к лучевой поверхности И пересекает поверхность нормалей. Таким образом, используя представление о сферической и эллиптической волновых поверхностях, можно найти направления обыкновенного и необыкновенного лучей в одноосных кристаллах. Разберем частные случаи. [c.47]

Отметим следующие свойства эволюты и эвольвенты, вытекающие из способа их построения 1) касательные к эволюте являются нормалями в соответствующих точках эвольвенты 2) эволюта является геометрическим ме- [c.178]

Анализ напряженного состояния в точке в напряженного состояния можно выполнить и помощи так называемой окружности напряжений (круг Мора )). Для этого графического построения и только для него введем особое правило знаков для касательной составляющей напряжения, показанное на рис. 5.11. Согласно этому правилу касательное напряжение положительно, если для совмещения с его направлением внешнюю нормаль необходимо повернуть на 90° по ходу часовой стрелки, и отрицательно, если — против хода часовой стрелки. Закон парности касательных напряжений при таком правиле приобретает вид [c.403]

Сущность графического построения заключается в том, что из каждой точки (пусть из точки Л) проводятся нормаль AN к поверхности экрана и две касательные, между которыми заключен поток лучей, падающих в точку А. Касательные образуют с нормалью углы Zai н Z Oa. [c.96]

Переходим теперь к расчету круглых пластинок. Эти пластинки мы подобно данному выше построению для двухопорной балки (гл. I, фиг. 9) с равномерно распределенной нагрузкой разбиваем на балочки-полоски, расположенные радиально, связь между которыми учитываем коэффициентом k. Для вывода расчетных уравнений предположим, что —средняя плоскость пластинки, изображенной на фиг. 75. Проведем ось симметрии пластинки 00 и выделим на расстоянии е от средней плоскости две точки т и т, расположенные от оси 00 на расстоянии q и q + Aq. Нормаль в точке т пересечет ось 00 в центре кривизны средней плоскости О. Обозначив прогиб точки т через г будем иметь для этой точки относительную деформацию вдоль касательной к окружности [c.136]

Моменты и усилия на контуре пластины можно также определить в локальной системе координат и, т, построенной в точке t x,y) контура, где записываются граничные условия. При этом ось и - внешняя нормаль к контуру в данной точке, а ось т - касательная к контуру. [c.10]

Построение касательной н нормали к гиперболе (фиг. 98). Касательная и нормаль к гиперболе являются биссектрисами соответственно внутреннего и внешнего углов между радиусами-векторами точки касания. [c.49]

Построение касательной и нормали к параболе (фиг. 105). Касательная и нормаль к параболе являются биссектрисами углов между радиусом-вектором FM точки касания М и перпендикуляром MB, опущенным из этой точки на директрису. При этом отрезок касательной к параболе между точкой касания М и точкой пересечения N касательной с осью д делится осью у в точке Q на два равных отрезка NQ и QM. Следовательно, отрезки N0 и ОС равны между собой. Поэтому касательную можно построить при отсутствии фокуса (см. фиг. 102, а). Опускаем из точки касания М на ось параболы перпендикуляр МА. Откладываем от вершины О отрезок ОВ, равный ОА. Касательная t проходит через точки В и М, нормаль п перпендикулярна t. [c.51]

Как пользоваться ударной полярой, видно по рис. 360. Предположим, что ударная поляра нам задана. Направление скачка, который отклоняет поток на угол 0, получим, проводя нормаль к линии АР здесь точка Р представляет собой точку, где прямая линия, проходящая через О и составляющая угол 0 с направлением набегающего потока, пересекает ударную поляру. Из этого построения получается также скорость 1 = ОР. Поскольку линия ОР пересекает ударную поляру еще в одной точке Р, то возможен еще второй скачок, направление которого перпендикулярно к АР. Однако эксперименты показывают, что для течения сжатия при обтекании излома или клина в действительности реализуется только один скачок, соответствующий точке Р. Касательная к ударной поляре ОТ, проведенная из точки О, определяет критический угол 0, при котором два возможных скачка уплотнения совпадают. Если 0 > 0, то проведенное выше построение становится недействительным, и в этом случае перед клином образуется отошедшая криволинейная ударная волна (рис. 362). [c.601]

От начала координат О по оси откладываем отрезки, равные с, и (получаем точки С, В и А). На отрезках АС, АВ, БС, как на диаметрах, строим окружности. Величины напряжений о и т , действующих на площадку, нормаль к которой составляет углы а, р и т с главными напряжениями вх, о, и 03, находим следующим построением, В точках С и А восставляем перпендикуляры к оси с. Откладываем от этих перпендикуляров углы а и так, как это показано на чертеже. Через точки Ох и О пересечения сторон углов а и 7 с большой окружностью проводим дуги радиусами О,О, и ОяО. Точка пересечения этих дуг М имеет координаты, равные и т . Из чертежа видно, что экстремальные значения касательных напряжений равны [c.10]

Имея поле изоклин, можно построить поле изостат или траекторий главных нормальных и касательных напряжений. Касательная и нормаль в каждой точке изостаты совпадают по направлениям с главными нормальными напряжениями. Для построения изостат поступают следующим образом. Пусть построено поле изоклин через Да = 5° (рис. 246). Возьмем какую-нибудь точку А на изостате а = 65°. Проводим через нее отрезок прямой под углом 65° к оси Оу до пересечения с соседними изостатами. Из середин образовавшихся отрезков В С проводим прямые под углами 60° и 70° соответственно и таким же образом продолжаем построение дальше. Изостатой будет огибающая этих отрезков. Второе семейство изостат будет ортогональным к первому, а семейства изостат, соответствующие экстремальным касательным напряжениям, образуют углы 4v ° с семействами изостат для нормальных напряжений. [c.358]

Кривизной (К) плоской кривой в данной точке называется величина, обратная радиусу соприкасающейся окружности (К = 11г). В рассматриваемой точке кривая и соприкасающаяся окружность имеют общие касательную и нормаль. На рис. 74 показано построение центра и радиуса кривизны кривой линии ВС в заданной точке А. На кривой по обе стороны от данной точки помечают несколько точек и проводят из них и из точки А полукасательные. На полукаса-тельных откладывают произвольные, но равные отрезки и через полученные точки проводят кривую линию. Точке А заданной кривой соответствует точка А построенной кривой. В пересечении нормалей, проведенных в точках А и А получим точку О-центр кривизны и величину радиуса кривизны га в точке А (центр и радиус соприкасающейся окружности). [c.56]

Способ Громова основан на графической интерпретации суммирования бесконечно малых. Графические операции здесь значительно сокращены и точность результатов в основном зависит от точности построения касательных и нормалей к кривым, где для этой цели часто используются дериваторы [c.385]

Построение касательных и нормалей, нахождение точек касания с помощью кривых ошибок требуют высокой точности построений. Выполнять их надо остро отточенным твердым каран- [c.50]

Пусть две эвольвенты EF и GH, построенные на основных окружностях радиусов г,уу и введены в зацепление, при этом центры окружностей заняли положения Oj и О2, а эвольвенты коснулись друг друга в некоторой произвольной точке С. Из свойств эвольвенты вытекает, что нормаль МуС к профилю EF в точке касания С должна быть касательной к основной окружности радиуса 0,1, а нормаль М С к профилю (1Н — касательной к основной окруж ности радиуса Г/,.,. Так как в точке касания двух кривых можно про вести только одну общую нормаль, то отрезки Mi и М С ярляются [c.259]

Так как тшоскость определяется двумя пересекающимися прямыми, то для задатжя плоскости, касательной к пове])хности в заданной точке, достаточно провести через эту точку две произвольные линии, принадлежащие поверхности (желательно простые по форме), и к каждой из них построить касательные в точке пе[)есечения этих линий. Построенные касательные однозначно опре деляют касательную плоскость. Наглядное представление о проведении плоскости а, кас-ательной к поверхности (j в заданной точке М, дает рис. 204. На этом рисунке показана также нормаль п к поверхности /3. [c.140]

Обычно в учебниках встречается утверждение, что законы преломления не приложимы к необыкновенному лучу в одноосном кристалле и к обоим лучам в двуосном. Это — правильное утверждение, но оно имеет чисто отрицательный характер, показывая, что простое построение, предписываемое законом преломления, не при-ложимо к решению задачи о направлении распространения светового луча. Если взамен не дается никаких правил, то решение даже весьма простых вопросов кристаллооптики оказывается затруднительным. Между тем существует гораздо более общий прием отыскания направления распространения преломленной световой волны, а именно, построение, основанное на принципе Гюйгенса, следствием которого для изотропной среды является закон преломления Декарта — Снеллия. Напомним, что сам Гюйгенс рассматривал при по.мо-щн этого приема вопрос о распространении света в двоякопрелом-ляющих телах (исландский шпат) и получил крайне важные результаты. Применение построения Гюйгенса является простым и действенным средством для разбора вопроса о распространении света в анизотропных средах. Поверхность, фигурирующая в построении Гюйгенса, есть, очевидно, лучевая поверхность, а не поверхность нормалей. Действительно, по правилу Гюйгенса для получения фронта (плоской) волны проводят плоскость, касательную к поверхности Гюйгенса. А фронт волны тсателен именно к лучевой поверхности (рис. 26.11, а) и пересекает поверхность нормалей (рис. 26.11, б). [c.509]

Оно выражает тот факт, что проекция результирующего касательного напряжения в точке В на нормаль N к горизонтали равна нулю и, следовательно, мы можем сделать вывод, что касательное напряжение в точке В скручиваемого стержня действует в направлении касательной к горизонтали, проходящей через эту точку. Кривые, построенные на поперечном сечении скручиваемого стержня таким образом, что результирующее касательное напряжение в любой точке кривой дейстЕ ует в направлении касательной к этой кривой, называются траекториями касательных напряжений. Таким образом, для поперечного сечения скручиваемого стержня горизонтали мембраны яв [яются траекториями касательных напряжений. [c.311]

Устройства с самоустанавливающимся звеном могут найти применение в различных механизмах. Разберем примеры построения касательных или нормалей к кардиоиде, вычерчиваемой с помощью конхоидографа. Мы уже видели, что ни в механизмах, действующих как эпициклические, ни в конхоидографах наличие всех звеньев, составляющих шарнирный параллелограмм ОАВВ, отнюдь не является обязательным. В эпициклических механизмах особое значение приобретают звенья ОЛ и ЛВ, а в конхоидографах — звенья OB и ВВ. Для решения задачи воспользуемся рис. 61, а. [c.117]

Непосредственно из чертежа видно, что для построения касательных или нормалей к кривой с помощью конхоидографа требуются дополнительные звенья большей длины. В рассмотренных здесь и выше (рис. 38 и 39) примерах дополнительное устройство, состоящее из звеньев, сочлененных вращательными парами, можно заменить двухповодковой группой, показанной на рис. 61, в. Заменяющая группа состоит из Т-образного стержня и ползуна, которые при включении в кинематическую схему должны быть шарнирно соединены в точке В — с концом звена, вычерчивающим кривую, [c.117]

Для построения касательной и нормали, например, в точке К, взятой на эллипсе, проводим радиусы-векторы FiK и F2K. Биссектриса п угла FiKF является нормалью, а перпендикуляр- ная к ней прямая —касательной. [c.48]

Для построения сопряжённых профилей на двух круглых колёсах поступаем следующим образом. Строим прежде всего обе круговые центроиды с полюсом зацепления Р в их точке касания (фиг. 249) и проводим через эту точку их общую касательную. Вообразим теперь зубчатую рейку с каким-либо профилем АцРВ , движущуюся так, что общая касательная к центроидам является её центроидой. Тогда на каждом колесе получится профиль зуба, сопряжённый с профилем реечного зуба. Из построения видно, что соответственные точки этих профилей, например, В и В , двигаясь каждая по своей окружности, придут в совпадение в точке В пересечения этих окружностей. Но, согласно этому же построению, точка В есть точка касания профиля воображаемой рейки с каждым профилем на колёсах, а потому является и точкой касания этих профилей между собой кроме того, общая нормаль ко всем трём профилям в точке В проходит через полюс зацепления. Поэтому 90 [c.190]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...