Производные главной функции

Производные главной функции. Чтобы раскрыть механический смысл производных от главной функции, составим выражение для вариации действия W, рассматривая это действие согласно формуле [c.447]

Было показано, что при известном законе движения материальной системы можно построить функцию W. Теперь поставим обратную задачу, найдя функцию W без предварительного определения закона движения, найти закон движения материальной системы. Для этого докажем, что главная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению (11.350) с частными производными первого порядка, т. е. уравнению Остроградского — Гамильтона — Якоби. Ради краткости это уравнение далее будем называть уравнением Остроградского. [c.371]

Полученное уравнение носит название уравнения Гамильтона— Якоби. Оно является дифференциальным уравнением в частных производных и определяет зависимость искомой производящей функции от ( 1.....qn, t. Решение уравнения (9.3) обычно обозначают через 5 и называют главной функцией Гамильтона. [c.302]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Главная функция Гамильтона связана таким образом с двумя уравнениями в частных производных. [c.260]

Эта схема интегрирования Г амильтона была упрощена и улучшена Якоби. Главная функция Гамильтона должна удовлетворять сразу двум уравнениям в частных производных. Решение этой задачи практически невозможно без более широкой схемы интегрирования, предложенной Якоби. Производящая функция S зависящего от времени канонического преобразования определяет все движение фазовой жидкости, удовлетворяя лишь одному уравнению в частных производных [c.262]

Роль дифференциального уравнения в частных производных в теориях Гамильтона и Якоби. В предыдущей главе (гл. VII, п. 9) отмечалось, что впервые в аналитической механике фундаментальное уравнение в частных производных открыл Гамильтон. Он также первый выдвинул идею о фундаментальной функции, из которой можно было бы получить при помощи простых дифференцирований и исключения переменных все механические траектории. Однако первоначальная схема Гамильтона была практически неприменима. Более того, главная функция Гамильтона удовлетворяла двум уравнениям в частных производных. Второе уравнение с точки зрения теории интегрирования является ненужным усложнением. С другой стороны, в теории Якоби требуется найти лишь один полный интеграл основного дифференциального уравнения. В случае систем с разделяющимися переменными такой интеграл может быть найден. Поэтому при поверхностном подходе создается впечатление, что Якоби освободил теорию Гамильтона от ненужного усложнения, приведя ее к схеме, применимой на практике, [c.291]

Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение tt -функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби. [c.292]

Таким образом, мы пришли к следуюш,ей схеме, позволяющей получить главную функцию Гамильтона из полного интеграла 5 qn, t, а ) уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.301]

Одно из наиболее значительных открытий Гамильтона заключается в осознании и реализации того факта, что задачи механики и геометрической оптики могут рассматриваться с единой точки зрения. Он оперировал с характеристической или главной функцией и в оптике, и в механике. Эта функция обладает тем свойством, что при помощи лишь дифференцирования из нее можно определить как траекторию движущейся частицы, так и траекторию светового луча. Более того, и в оптике, и в механике характеристическая функция удовлетворяет одному и тому же дифференциальному уравнению. Решение этого уравнения в частных производных при соответствующих граничных условиях эквивалентно решению уравнений движения. [c.391]

Следует заметить, что исторически указанный выше путь для вывода уравнений (50 ), (50") является в существенных чертах тем, которым Гамильтон пришел к установлению связи между задачей интегрирования уравнений динамики и задачей интегрирования уравнений в частных производных, показав, что если известна главная функция S ( 119°), то можно определить посредством одних только операций вида (50 ), (50") общее решение лагранжевой системы (31) или, лучше, соответствующей гамильтоновой системы (31 ), [c.440]

Немного позже Якоби показал, что для достижения той же самой цели нет необходимости рассматривать совокупность двух уравнений с частными производными (53 ), (53") и еще менее необходимо определять главную функцию достаточно, как это было вполне выяснено в п. 35 предыдущей главы, обратиться только к одному из этих двух уравнений, например к первому, и найти для него какой-нибудь полный интеграл. [c.440]

Уравнение Гамильтона в частных производных. Как уже отмечалось в 15.8, главная функция играла бы весьма важную роль в исследовании динамических систем, если бы мы могли построить ее без предварительного определения интегралов уравнений движения. В этой главе мы укажем метод, с помощью которого можно построить если не функцию 5, то по крайней мере другие функции, полезные для описания движения системы. [c.283]

Это есть дифференциальное уравнение Гамильтона. Оно представляет собой нелинейное уравнение в частных производных первого порядка. Главная функция, выраженная через q ъ t та п параметров а, является полным интегралом этого уравнения. [c.284]

Существует, как известно, множество полных интегралов уравнений в частных производных, и нет гарантии, что найденный нами полный интеграл дифференциального уравнения Гамильтона будет представлять искомую главную функцию. Но тогда возникает вопрос может ли любой полный интеграл быть полезен для наших целей Ответ на этот вопрос оказывается утвердительным, и это обстоятельство составляет сущность теоремы Гамильтона — Якоби. [c.284]

Однородное поле. Рассмотрим теперь приложения теоремы Гамильтона — Якоби к решению конкретных задач. Начнем с исследования трех простых примеров, для которых в 15.9 мы нашли явный вид главной функции. Эта функция сама представляет полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, но те полные интегралы, которые мы получим для каждого из рассматриваемых случаев, фактически не будут главными функциями. [c.291]

Исследование пары дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, которым должна удовлетворять главная функция [c.239]

Поэтому, если мы займемся уравнением (17) и отметим, что функция F по необходимости является рациональной, целой и однородной второй степени по отношению к величинам о,, то увидим, что главная функция S должна удовлетворять двум следующим уравнениям между ее частными производными первого порядка, которые представляют главное средство для раскрытия ее вида [c.240]

Это общее и строгое преобразование представляет общий метод усовершенствования приближенного выражения главной функции 5 в любой задаче динамики, так как если часть 51 является таким приближенным выражением, то остающаяся часть, 5а, будет мала, а однородная функция F, включающая квадраты и произведения производных этой малой части во втором определенном интеграле (Е), будет вообще также мала и более высокого порядка малости. Поэтому мы можем в общем пренебречь этим вторым определенным интегралом при переходе ко второму приближению и улучшить первое приближенное выражение 81 путем прибавления к нему следующей поправки [c.241]

Изложенная выше теория дает действительно точные выражения для возмущений при переходе от более простого движения (Н) или (I) к более сложному движению (О) или (К). Однако может показаться, что эти выражения мало полезны, поскольку они включают неизвестную возмущающую функцию Зц (а именно возмущенную часть полной главной функции 3), а также неизвестные возмущенные координаты или отметки положения Однако в последнее время было показано, что во всех случаях, когда найдена первая приближенная форма главной функции 8, как, например, здесь главная функция 5 невозмущенного движения, поправка Зц может быть в общем внесена с бесконечно увеличивающейся точностью. Но так как возмущения (М) и (О) включают возмущенные координаты ,, лишь поскольку они входят в производные этой малой возмущающей функции З2, то очевидно, что можно подставить вместо этих координат сперва их невозмущенные значения, а затем корректировать результат путем подстановки более точных выражений. [c.244]

Эта главная функция 8 удовлетворяет следующим двум уравнениям в частных производных первого порядка вида (86) [c.259]

Члены, стоящие в этих равенствах слева, суть частные производные функции 5, которую мистер Гамильтон назвал главной функцией движения притягивающихся или отталкивающихся систем. Он думает, что если математики изучат эту главную функцию 5 и эти группы уравнений (5) и (6), они должны будут оценить их значение. Из группы (5) определяют Зп промежуточных интегралов известных уравнений движения (4) в форме Зп отношений между временем I, массами т, варьированными координатами х, у, z, варьированными составляющими скорости х, у, 2 и Зп начальными константами а, Ь, с, в то время как группа (6) определяет Зп конечных интегралов тех же известных дифференциальных уравнений, как.Зл отношений с бл начальными и произвольными константами а, Ь, с, а, Ь, с между временем, массами и Зл варьированными координатами. Эти Зп промежуточных и Зл конечных интегралов разрешают проблему динамики. Математики же находят семь промежуточных и ни одного конечного интеграла. [c.285]

Дифференциальное уравнение Якоби-Гамильтона для главной функции в частных производных. Из выражении (42.4) для W вытекает следующее значение полной производной по времени от этой функции [c.450]

Отсюда мы видим, что составленная нами главная функция служит интегралом уравнения в частных производных (42.21) и притом полным интегралом, если за всеми s -f- 1 постоянными сохраним произвольные значения [c.450]

Уравнение в частных производных для главной функции. Из выражения (43.9) для W мы получаем [c.467]

X- V ху 3 °Д ТСЯ как вторые производные по функции Ф по их величинам подсчитывают величины главных напряжений (J и а в % от р и их направления. [c.606]

Отметим одно из главных свойств аналитических функций комплексного переменного производная аналитической функции по комплексному переменному не зависит от того, по какому пути происходит изменение не- [c.115]

Таким образом, и в случае нормальной детонации можно утверждать, что для больших t произвольное течение в окрестности детонационной волны приближенно будет двойной волной, в том смысле, что закон убывания производных основных функций при удалении от фронта волны в главной части совпадает с соответствующим законом для двойной волны. [c.123]

Вектор К инвариантен относительно положения точки О в системе отсчета.)Если все параметры выражения (2) являются векторными функциями скалярного аргумента I (времени 1), то производные главных моментов в точках О и О связаны равенством [c.25]

Производные главной функции. Чтобы раскрыть механический смысл производных главной функции, составляем опять по примеру 238 выражение для вариации IF, рассматривая W по формуле (43.12) как функцию от t и 2s—а постоянных q и q . Считаем г1о данной фикс 1рованной величиной так как пределы интеграла (43.9) не зависят от произвольных постоянных, по которым мы вариируем, то находим [c.464]

Метод основан на комбинации принципов вариационного исчисления-с частными производными и может рассматриваться математиками как особая ветвь алгебры, которая может быть названа исчислением главной функции, потому что во всех важных приложениях алгебры к физике и в очень широком классе чисто математических вопросов этот метод сводит определение многих взаимно связанных функций к отысканию и изучению главного или центрального соотношения. В приложениях этого метода к динамике (прежде этот метод был применен к оптике) профессор Гамильтон открыл существование главной функции, которая, если ее форма полностью известна, дает по определении ее частных производных все первые и все конечные интегралы известных уравнений движения. Профессор Гамильтон придерживается мнения, что математическое объяснение всех явлений материи, отличных от жизненных явлений, будет окончательно найдено в зависимости от свойств системы отталкивающихся или притягивающихся точек. И он думает, что те,, кто не одобряет его мнения во всей его общности, могут все же признать при современном состоянии науки свойства таких систем более важными, чем какая-либо другая область приложения математики к физике. Он, таким образом, считает фундаментальной проблемой динамики определить Зп прямоугольных координат или других характеристик положения свободной системы притягивающихся и отталкивающихся точек как функции времени , включающих, следовательно, 6п начальных постоянных, которые зависят от начальных условий движения, и включающих, кроме того, п других констант, называемых массами, которые измеряют на стандартном расстоянии притягательные и отталкивательные действия (energies). Обозначая эти п масс через т , т ,..., т и их Зп прямоугольных координат — через Xi,y ,Zi,. .., х , у , и, следовательно, 3 компонентов ускорения или вторых производных этих координат по времени — через х , У , . .. [c.284]

Есаы / (х, /, а) a.v+l есть полный интеграл гамильтонова уравнения в частных производных, то гамильтонова главная функция получается путем исключения Ог из уравнений [c.901]

Если S (х, t, X , г ) есть гамильтонова главная функция, то гиперповерхность V = S(x, t, x >, /0) есть огибающия N-связного бесконечного семейства интегральных гиперповерхностей гамильтонова уравнения в частных производных, которые все проходят через точку (х", Р>, 0). [c.901]

Пусть дана регулярная кривая С, определяемая уравнением f=r s), где за параметр s принята длина, дуги. Единичные векторы , Я и В, направленные соответственно вдоль положительной касательной, главной нормали и бинормали, выражаются через производные от функции r=r s) по s следующим образом 1 г, n f"lk, Б=1хп, где через k обозначена кривизна кривой. Кроме того, формулы Френе —Серре дают t =kn. Введем единичный вектор p(s), лежащий в нормальной плоскости кривой С. [c.37]

Гамильтон считал, что главная функция S должна удовлетворять двум уравнениям в частных производных первого порядка (17) и (18). Это обстоятельство уменьшало, видимо, возможности применения метода к частным задачам механики, Якоби показал, что необходимость соблюдения уравнения (18) совершенно излипшя чтобы иметь возможность проинтегрировать уравнения движения по формулам (16), достаточно найти интеграл лишь одного уравнения (17), содержащий надлежаш ее число параметров. Вместе с тем Якоби показал, что этими параметрами могут и не быть начальные значения координат q. Это существенное улучшение результатов Гамильтона имеет особое значение для применения рассматриваемого метода интегрирования канонических уравнений. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...