Уравнение в частных производных для главной функции

Уравнение в частных производных для главной функции. Из выражения (43.9) для W мы получаем [c.467]

Для того чтобы отыскать весовую функцию стационарного объекта, необходимо, как и в нестационарном случае, решить краевую задачу для уравнений в частных производных, подобную задаче (3.2.5), (3.2.6), хотя и с постоянными во времени коэффициентами. Решить такую задачу, конечно, гораздо сложнее, чем обыкновенное дифференциальное уравнение (3.2.16) с граничным условием (3.2.17). Таким образом, при исследовании стационарных объектов, математическая модель которых включает дифференциальные уравнения в частных производных (объекты с распределенными параметрами), передаточная функция является наиболее простым и эффективным средством описания оператора. Ее отыскание — главная задача при исследовании динамики объекта. [c.101]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Один из наиболее интересных случаев движения жидкости представляют жидкие струи, образующиеся при истечении жидкости. До сих пор не удалось решить вычислением задачу о таком движении для случая, когда потенциал, скоростей, существование которого предполагается, зависит от трех координат х, у, г, но это вычисление возможно в предположении, что потенциал скоростей есть функция только х и у. Упрощение, которое получают гидродинамические задачи при таком предположении, мы уже видели в одном примере предыдущей лекции. Главнейшее основание этого упрощения лежит в том, что уравнение в частных производных, которому удовлетворяет потенциал скоростей, [c.230]

Следует заметить, что исторически указанный выше путь для вывода уравнений (50 ), (50") является в существенных чертах тем, которым Гамильтон пришел к установлению связи между задачей интегрирования уравнений динамики и задачей интегрирования уравнений в частных производных, показав, что если известна главная функция S ( 119°), то можно определить посредством одних только операций вида (50 ), (50") общее решение лагранжевой системы (31) или, лучше, соответствующей гамильтоновой системы (31 ), [c.440]

Существует, как известно, множество полных интегралов уравнений в частных производных, и нет гарантии, что найденный нами полный интеграл дифференциального уравнения Гамильтона будет представлять искомую главную функцию. Но тогда возникает вопрос может ли любой полный интеграл быть полезен для наших целей Ответ на этот вопрос оказывается утвердительным, и это обстоятельство составляет сущность теоремы Гамильтона — Якоби. [c.284]

Для того же чтобы получить для любой группы внутренних или относительных отметок положения два уравнения в частных производных, которым должна удовлетворять характеристическая функция V, относительного движения и которые представляют (как мы убедимся далее) главный способ раскрытия ее формы, а именно уравнения, аналогичные тем, которые обозначены (р) и (О), нам только нужно исключить приращения отметок положения системы, которые определяют конечные и начальные компоненты относительных скоростей ее точек согласно закону переменного относитель- [c.198]

Главная особенность дифференциальных уравнений в частных производных с точки зрения их моделирования на АВМ заключается в том, что они имеют более чем одну независимую переменную. Решение уравнений на АВМ находится в функции только одной переменной — времени. Поскольку АВМ предназначена для моделирования обыкновенных дифференциальных уравнений, в основном все методы решения уравнений в частных производных сводятся к их аппроксимации обыкновенными дифференциальными уравнениями с краевыми условиями. Основу этих методов составляет приближенная замена частных производных конечными разностями с помощью разложения в ряд Тэйлора. [c.94]

Немного позже Якоби показал, что для достижения той же самой цели нет необходимости рассматривать совокупность двух уравнений с частными производными (53 ), (53") и еще менее необходимо определять главную функцию достаточно, как это было вполне выяснено в п. 35 предыдущей главы, обратиться только к одному из этих двух уравнений, например к первому, и найти для него какой-нибудь полный интеграл. [c.440]

Уравнение Гамильтона в частных производных. Как уже отмечалось в 15.8, главная функция играла бы весьма важную роль в исследовании динамических систем, если бы мы могли построить ее без предварительного определения интегралов уравнений движения. В этой главе мы укажем метод, с помощью которого можно построить если не функцию 5, то по крайней мере другие функции, полезные для описания движения системы. [c.283]

Однородное поле. Рассмотрим теперь приложения теоремы Гамильтона — Якоби к решению конкретных задач. Начнем с исследования трех простых примеров, для которых в 15.9 мы нашли явный вид главной функции. Эта функция сама представляет полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, но те полные интегралы, которые мы получим для каждого из рассматриваемых случаев, фактически не будут главными функциями. [c.291]

Дифференциальное уравнение Якоби-Гамильтона для главной функции в частных производных. Из выражении (42.4) для W вытекает следующее значение полной производной по времени от этой функции [c.450]

Исходя из данных о действительном механизме процесса и условий, в которых протекает процесс, всегда можно схематизировать каждый из реальных процессов так, чтобы сделать возможным его термодинамический анализ. Следует отметить, что для вычисления работы и количества теплоты, составляющих главное содержание приложений термодинамики, не обязательно знать все особенности кинетики реального процесса. Вполне достаточно, чтобы наряду с внешними условиями, в которых протекает процесс, были известны конечные и, само собой разумеется, начальные состояния всех участвующих в процессе тел. С помощью функций состояния U, I, S, F, Ф, частные производные которых, как было показано ранее в 3.1, характеризуют физические свойства тел, можно анализировать любые как обратимые, так и необратимые процессы. Использование дифференциальных уравнений термодинамики, связывающих частные производные функций состояния с термическими параметрами и их производными, составляет суть термодинамического анализа. [c.158]

Примеры аппроксимаций. Заменяя в дифференциальном уравнении частные производные теми или иными разностными отношениями, мы аппроксимируем его на некотором шаблоне. Это наиболее простой способ аппроксимации. Для описания точности аппроксимации отдельных производных естественно использовать введенное выше понятие погрешности аппроксимации по отношению к классу функций. Аппроксимация производных уже рассматривалась в 1.3. Там же были приведены главные члены погрешности аппроксимации. Односторонние двухточечные аппроксимации первой производной (1.22) имеют первый порядок точности, а симметричные (центральные) [c.77]

Основное содержание работы связано с изложением иной концепции построения сеток, развиваемой, главным образом, в работах российских ученых в течение 30 лет [1]. Главная особенность подхода связана со специальным способом формализации критерия (Р), приводящему к нелинейному вариационному функционалу, в который входят как первые, так и вторые частные производные функций, реализующих отображение. Этот непрерывный функционал появляется естественным образом после рассмотрения дискретного функционала, минимизирующего меру относительной погрешности неравномерной сетки по сравнению с равномерной. Такая формализация приводит к системе уравнений Э-0 четвертого порядка, гиперболической в широком смысле. Это позволило рассмотреть новые более широкие типы краевых условий, а также разработать эффективные алгоритмы и программы построения сеток для весьма сложных областей. Экономичные и эффективные процедуры расчета сеток связаны с применением итерационных процессов, использующих как специальную нестационарную модификацию уравнений Э 0, так и прямые геометрические способы минимизации дискретных функционалов, формализующих все три критерия оптимальности. [c.513]

Гамильтон считал, что главная функция S должна удовлетворять двум уравнениям в частных производных первого порядка (17) и (18). Это обстоятельство уменьшало, видимо, возможности применения метода к частным задачам механики, Якоби показал, что необходимость соблюдения уравнения (18) совершенно излипшя чтобы иметь возможность проинтегрировать уравнения движения по формулам (16), достаточно найти интеграл лишь одного уравнения (17), содержащий надлежаш ее число параметров. Вместе с тем Якоби показал, что этими параметрами могут и не быть начальные значения координат q. Это существенное улучшение результатов Гамильтона имеет особое значение для применения рассматриваемого метода интегрирования канонических уравнений. [c.20]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Ф. И. Франкль (1944, 1945) обнаружил непосредственную связь плоских задач трансзвуковой аэродинамики с исследованиями итальянского математика Ф. Трикоми по теории линейных уравнений в частных производных второго порядка смешанного эллиптико-гиперболического типа. Франкль выяснил, что в окрестности скорости, равной скорости звука, уравнение Чаплыгина для функции тока в главном члене совпадает с уравнением Трикоми, что было положено в дальнейшем в основу многих важных исследований в СССР и за границей. [c.101]

Если нелинейность закона упругости охарактеризовать малым численным параметром, то вместо бигармонического уравнения в этом случае для функции напряжений получится нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка с главным бигармони-ческим членом. Для интегри рования этого уравнения при соответствующих [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...