Формулы Френе

Пусть теперь в трехмерном евклидовом пространстве задан тензор второго ранга апространстве Ильюшина Rs, порожденном тензором-девиатором Эц (), можно построить подвижный многогранник (репер) Френе pi (i=l, 2,. .., 5), связанный с траекторией Э=Э(1). Орты рг репера Френе связаны между собой обобщенными формулами Френе [8] [c.24]

В развернутом виде формулы (5.43) являются обобщенными формулами Френе на случай пятимерного пространства [c.92]

К выводу формул Френе.7я [c.83]

Это — основные формулы дифференциальной геометрии кривых (формулы Френе). [c.296]

Известна формула Френе [c.30]

Следствие. Используя формулы Френе [c.90]

Внутренние, или естественные уравнения равновесия нити. — Выполним дифференцирования, указанные в равенствах (3), и воспользуемся формулами Френе [c.260]

Формулы Френе О- Во многих вопросах, относящихся к исследованию кривых, имеют очень важное значение производные трех векторов t, п, Ь, образующих основной триэдр. Для первого и третьего векторов мы уже получили весьма простые выражения (43) и (45) их производных, которые помимо самих векторов содержат еще только первую и вторую кривизну. Эти фор.-мулы легко дополнить аналогичным выражением для производной Достаточно взять вектор я в форме [дi] (рубр. 83) и это выражение непосредственно диференцировать. Мы получим [c.78]

Сопоставляя их с выражениями производных от i и >, мы получим формулы Френе [c.78]

Сопоставляя это соотношение с первой формулой Френе, ми приходим к следующему выражению [c.82]

Чтобы уточнить геометрическое значение только что упомянутых скалярных величин т и Yu заметим, что в силу первой формулы Френе (т. I, гл. I, п. 80) уравнение (93) можно написать в виде [c.154]

Если — единичный вектор касательной к траектории, v — единичный вектор главной (первой) нормали, а А — (первая) кривизна, то, согласно первой формуле Френе, [c.14]

При движении точки а по кривой изменение векторов т, V, р определяется известными формулами Френе [c.137]

Объединяя формулы (6.34), (6.38) и (6.39), получим систему комплексных формул Френе для линейчатой поверхности dT N dN Т, В [c.147]

Формулы френе для линейчатой поверхности характеризуют следующие движения естественного трехгранника а) комплексный поворот (вращение и скольжение) относительно единичного винта бинормали В, модуль производной комплексного угла которого по комплексной дуге поверхности равен величине кривизны поверхности, б) комплексный поворот вокруг единичного винта центральной нормали Т, модуль производной комплексного угла которого по комплексной дуге поверхности равен величине второй кривизны поверхности. [c.147]

Пусть заданы подвижный и неподвижный аксоиды с единичными векторами и R - Определим кривизну одного и другого на основании комплексных формул Френе dRi, ail [c.188]

Если кручение Г = О, то кривая — плоская. Формулы Френе [c.215]

Вектор Дарбу. Формулы Френе можно представить в следующем виде [c.216]

Производные ортов главных направлений (формулы Френе) [c.292]

Отметим, что длина дуги э и кривизна х являются единственными внутренними независимыми характеристиками траектории деформации, и если дана кривизна 7с[э), то все производные вектора Э по э можно выразить через Г, N X по формулам Френе [c.161]

Тогда, согласно формулам Френе ), [c.603]

Полученные выше уравнения без труда обобщаются на трехмерный случай, если воспользоваться формулами Френе [c.59]

Второе слагаемое левой части можно преобразовать по одной из формул Френе, после чего, записав уравнение (20.9) в проекциях на направления в, п и Ь, мы получим [c.60]

Воспользуемся теперь формулами Френе, вывод которых можно найти в любом курсе дифференциальной геометрии [c.231]

Заметим, что первая формула Френе была получена нами ранее при выводе формулы (9.30). Теперь последние две формулы (12.23) можно записать в следующем виде [c.231]

Приведем теперь обобщенные формулы Френе, выражающие производные через р [c.178]

Используя обобщенные формулы Френе (7.26), можно производную любого порядка вектора э(й) по й и интеграл любой кратности от 3(5) по 5 (траектории, для которых существует бесконечное число производных 3 по 5), выразить через р1,. .., р5. [c.178]

Шесть формул Френе с двучленными правыми частями имеют вид (хо = Хб=0) [c.227]

Пользуясь первой формулой Френе можно написать [c.60]

Используя формулы френе (2.18.9), получим [c.612]

В направлении возрастающих дуг обозначим через а, р, - направляющие косинусы главной нормали Мп, направленной в сторону вогнутости (рис. 90), и через р — радиус кривизны. Известны формулы Френе и Серре [c.169]

Величина Qj характеризует еще одно свойство пространственных кривых — кручение (мера уклонения кривой от соприка-саю щейся плоскости). Окончательно получаем следующие выражения для производных единичных векторов натурального базиса (формула Френе—Серре [25]) [c.29]

Подставив 6i в формулы Френе—Серре, получим девять полезных при преобразованиях соотношений [c.31]

Пусть дана регулярная кривая С, определяемая уравнением f=r s), где за параметр s принята длина, дуги. Единичные векторы , Я и В, направленные соответственно вдоль положительной касательной, главной нормали и бинормали, выражаются через производные от функции r=r s) по s следующим образом 1 г, n f"lk, Б=1хп, где через k обозначена кривизна кривой. Кроме того, формулы Френе —Серре дают t =kn. Введем единичный вектор p(s), лежащий в нормальной плоскости кривой С. [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...