Производная вектора вторая

Таким образом, производная вектора а по скалярному аргументу t, определяемая формулой (1.107), показывает, что она равна сумме двух взаимно перпендикулярных векторов, один из которых dd характеризует изменение вектора а по модулю, а второй аа — его изменение по направлению. Если S—-длина дуги траектории, то da =ds. Вектор [c.22]

Производные по времени векторов базиса е . На рис. 1.1 показано положение координатных осей, связанных с некоторой кривой в два разные момента времени to и t. Точка осевой линии стержня, с которой связаны координатные оси, своего положения относительно стержня не меняет, т. е. з = = 0. В Приложении были получены соотношения, устанавливающие связь между базисными векторами ири изменении их положения в пространстве. Изменение в положении связанных осей может произойти вследствие двух причин изменения положения осей во времени при движении стержня (при фиксированной координате, s) (рис. 1.1) и изменения положения осей в пространстве в фиксированный момент времени /о, т. е. базисные векторы в общем случае зависят от двух независимых переменных i и з. В первом случае изменение положения осей зависит от изменения переменной I при фиксированном значении переменной , во втором случае изменение положения осей зависит от изменения. < при фиксированном значении 1. При движении стержня происходит непрерывное изменение положения осевой линии стержня. Для описания движения стержня и определения в каждый момент времени формы его осевой линии необходимо знать производные векторов е ( связанного базиса ио аргументам i и Производная [c.11]

О признаке тензора заключаем, что выражение в круглых скобках представляет собой смешанный тензор второго ранга. Этот тензор называется ковариантной производной вектора fiP и обозначается через здесь запятая перед индексом п указывает на дифференцирование по X". Следовательно, [c.25]

Поскольку законы механики (второй закон Ньютона, закон количества движения и т. п.) сформулированы применительно к материальным телам, каковыми в механике жидкости и газа являются жидкие частицы и их конечные совокупности, то необходимо уметь, пользуясь методом Эйлера, выражать ускорения а жидких частиц. В соответствии с физическим смыслом оно определяется полной производной вектора скорости по времени [c.29]

Вторая часть — (мУ) и называется конвективной производной вектора и. Эта величина выражает изменение скорости в пространстве в данный момент времени. [c.33]

Вновь, как и в одномерном случае (см. 13 гл. I), векторное уравнение имеет второй порядок, и первый интеграл в выражении для и связан с производными вектора перемещений. Два последних интеграла в правой части (2.3) связаны с нагружением тела массовыми и поверхностными силами. В одномерном [c.631]

Вторые производные векторов Ях и представляют собой ускорения йх и аз соответственно точек X и 3, вследствие чего имеем [c.83]

Спин S не входит в это ускорение, которое имеет тот же вид, как и в случае, когда s = 0. Поскольку рассматривается вторая производная вектора к по времени (т. е. ускорение), гироскопическая жесткость не имеет места. [c.182]

Геометрический смысл первой и второй производных вектора. Формула кривизны кривой. Заметим прежде всего, что приращение Да вектора служит хордой его годографа (фиг. 34). Пусть длина дуги годографа от некоторой его точки до конца вектора а, измеренная в тех же единицах, что и вектор а, есть s. Называя длину дуги, стягиваемой хордой Да, мы получаем для модуля производной выражение [c.19]

Из приведенного вывода (1.39) следует, что если кривая плоская, то вектор l, характеризующий первую производную вектора т, лежит в этой же плоскости. Рассматривая вектор, характеризующий вторую производную вектора г, можно показать аналогичным образом, что он тоже лежит в плоскости кривой. Если кривая пространственная (общий случай), то. производная г по S также единичный вектор, направленный по касательной. Пространственная кривая может представлять собой траекторию материальной точки. В этом случае s зависит от времени /, тогда [c.16]

Соотношения, устанавливающие связь между базисными векторами при изменении их положения в пространстве, были получены в 3. Изменение положения осей, связанных с осевой линией стержня, может произойти вследствие двух причин 1) изменение положения осей во времени при фиксированной координате s из-за движения гибкого стержня или нити (см. рис. 4.1) 2) изменение положения осей при переходе в соседнюю точку вдоль осевой линии стержня в фиксированный момент времени Базисные векторы е,- (s, f) в общем случае зависят от двух независимых параметров < и S. В первом случае изменение положения осей зависит от скалярного аргумента t при фиксированном s во втором случае изменение положения зависит от скалярного аргумента s при фиксированном t. При движении стержня происходит непрерывное изменение положения его осевой линии и ее формы (из-за деформации стержня). Для описания движения стержня с определением в каждый момент времени формы осевой линии необходимо знать производные векторов связанного базиса по аргументам и s. [c.89]

Рассмотрим векторы вторых производных от радиуса вектора / . В декартовой системе координат эти векторы будут иметь компоненты [c.125]

В рассматриваемой постановке вектор, аналогичный вектору узловых перемещений, должен иметь восьмой порядок, поскольку на каждом конце элемента в качестве степеней свободы необходимо принять не только перемещение и угол поворота, но и изгибающий момент и перерезывающую силу. А так как угол поворота соответствует первой производной w от перемещения, а момент и перерезывающая сила пропорциональны второй и третьей производным, вектор представим в виде [c.95]

Вторые производные вектор-радиуса R обозначаются [c.852]

Векторы вторых производных от R (2.8) для поверхности вращения будут иметь компоненты [c.71]

В гл. 5 сначала были рассмотрены соотношения механики сплошных сред, которые можно использовать для того, чтобы получить больше сведений о деформации. Следует отметить, что эти соотношения действительны только до тех пор, пока линейные деформации и вращения малы, и при условии, что существует производная вектора смещения, т. е. если отсутствуют дислокации. В последнем параграфе было кратко показано, как с помощью голографической интерферометрии можно измерять не только вектор смещения и тензор деформации, но также вторые производные смещения и, в частности, изменения кривизны и материальные коэффициенты. Однако в этой области, так же как и во многих других, остается еще много неизвестного, что еще предстоит изучить. [c.170]

Таким образом, уравнение Навье—Стокса (2) отличается от соответствующего ему в случае невязкой жидкости уравнения Эйлера (2) из 1 членом vДV, содержащим вторые производные вектора скорости. [c.36]

Ковариантная производная вектора - тензор второго ранга. [c.74]

Предположим, что компоненты вектора А непрерывны вместе со своими производными до второго порядка. Рассмотрим случай А = V и поверхность замкнута [c.90]

Переходим к выводу формул, определяющих вторые производные вектор-радиуса р. Выше указывалось, что р р не является вектором на поверхности. Поэтому его представление должно содержать составляющую по нормали к поверхности. Полагаем [c.793]

Вторые производные вектора г представим теперь в форме разложения по векторам этого базиса [c.813]

Возвратившись теперь к соотношениям (П. 9) и учитывая формулы (П. 11) (П. 17) и (П. 18), придем к таким выражениям вторых производных вектор-радиуса г в точках [c.815]

Воспользуемся уравнениями Максвелла для диэлектрика и выразим их через производные векторов Ей Н. Первая и вторая системы уравнений имеют вид [c.197]

В градиентных методах и методах с использованием вторых производных вектор приращений управляемых параметров на (/-м шаге поиска определяется по формуле [c.156]

Это выражение удобно назвать инвариантной производной вектора Л (а). Вычисляя по формуле (5,34) инвариантную производную от произведения Л (а) Вф)н А (а) В ф) С (у), придем к формулам для инвариантного дифференцирования тензоров второго и третьего ранга [c.117]

В приводимых далее формулах ограничимся удержанием слагаемых второй степени относительно производных вектора перемещения. Имеем [c.155]

Формулы Гаусса, формулы Кодацци. Вторые производные вектор-радиуса г в окрестности поверхности, вычисляемые по (17) и (М), определяются формулами [c.493]

Уравнения равновесия, выраженные через вектор места в актуальной конфигурации ( уравнения в перемещениях ), представлены в 10 в различных видах, наиболее простой —(10,3). Это —система уравнений в частных производных сложной структуры линейных относительно старших (вторых) производных вектора места. Понятие об эллиптичности ( 11) связывается со свойствами гладкости решений. Особенностей их следует ожидать вне некоторой области параметров, определяющих деформацию. См. работы [c.498]

Структура этих трех скалярных уравнений, очевидно, такова они линейно связывают между собой напряжения 5 5, их первые производные и вторые производные по времени компонент ш вектора й, т. е. имеют вид [c.133]

На основании обратного тензорного признака выражения в скобках равенств (2 .57) и (2 .58) представляют собой компоненты тензоров второго ранга, которые называются ковариаятными абсолютны-ии) производными вектора а. Для них принимают следующие обозначения. [c.414]

Как следует из выражения (2.7), ускорение складывается из двух частей. Первая — duldt, называемая локальной производной, выражает изменение во времени вектора и в фиксированной точке пространства. Эта величина определяет местное или локальное ускорение. Вторая часть — а U называется конвективной производной вектора и. Эта величина выражает изменение скорости в пространстве в данный момент времени. [c.30]

Уравнение (4.3) называют уравнением Лапласа. Как видно, нестационарные процессы распространения тепла описываются уравнением теплопроводности, стационарные — уравнением Лапласа или Пуассона. Огметим, что уравнения (4.1). .. (4.3) описывают и многие другие физические процессы, а не только связанные с переносом тепла (например, диффузию). Любые функции класса т. е. непрерывные вместе с производными до второго порядка включительно, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями. Задачи, связанные с отысканием решений уравнения Лапласа, называют гармоническими задачами. При постановке и решении гармонических задач важное значение имеет следующее свойство гармонических функций интеграл по замкнутой поверхности от нормальной производной гармонической функции равен нулю. Пусть функция и (М) (D). Воспользуемся формулой Остроградского—Гаусса применительно к вектору grad и [c.120]

Производная вектора а (г) в свою очередь есть вектор, зависящий от г, п( Этому от нее можно взять еще производную по t, это будет вторая нроизводная и т. д. [c.329]

Так как вектор v (i), в свою очередь, представляет собой функцию от t, то можно определить производную от векторной функции V ty, ее называют второй производной вектора v и обозначают символомили (i) таким же образом определяются производные более высоких порядков. [c.63]

С учетом такого представления локальных производных векторов U (3.69) и R (см. соотношения (3.65), второе выражение) основное уравнение инерциальной навигации можно записать в форме, обеспечи-ваюш ей вычисление относительной скорости U и местоположения R в системе координат, вращ,аюш ейся с угловой скоростью О [c.80]

Равенство (8 ) не зависит от выбора системы координат и в любой системе коордннат вектору dr ставит в соответствие вектор d. Следовательно, на основании теоремы о характеристическом свойстве тензора, матрица определенная равенством (9 ), является афинным тензором второго ранга. Этот тензор называется производной вектора по вектору. [c.626]

Уравнения равновесия (1.2.17) и граничные условия (2.2.3) уже представлены в напряжениях. Деформации при заданном температурном поле определяются через напряжения с помощью соотношений (1.5.23). Для полной формулировки задачи термоупругостн в напряжениях необходимо из соотношений (1.2.2) по известным компонентам тензора деформации гц определить компоненты вектора перемещения u . Эти соотношения образуют систему шести неоднородных уравнений в частных производных относительно трех неизвестных функций их свободные члены ец являются однозначными функциями координат х , имеющими непрерывные производные до второго порядка. [c.41]

Пусть р — ве1аор возмущения, л — его контравариантные составляющие, а ЛГ , —контравариантные составляющие первой и второй производной вектора р по дуге а. Их выражения после упомянутых замен обозначений даются формулами (11.14.9)—(11.14.12) [c.722]

Выражения (9.365) совершенно аналогичны формулам (9.132), (9.133) для абсолютных производных вектора, В отличие от стандартных векторов ВА11й к, ВАЧдХ, величины DAЧd k, ЬА1 й к являются компонентами лишь ограниченного стандартного вектора. Это следует из того, что вторые члены в правых частях формул (9.364) представляют собой ковариантные и контра- [c.260]

Производн вектора. Определение линейное от( ражение рассматриваемое как тензор второго ранга [c.27]

Тензор Пги называется тензором деформации. Очевидно, тензор й симметричен, т. е. Нгй=Ий(- Обратим внимание на то, что нелинейно зависит от производных вектора смещения. Поскольку такого рода нелинейность не связана с физическими свойствами тела, ее принято называть геометрической нелинейностью. В большинстве случаев деформации г/гй малы по сравнению с единицей, поэтому нелинейная добавка в выражении (1.1) представляет собой величину второго порядка малости. В линейных задачах этой добавкой пренебрегают и оперируют с линеаризованным тензором деформации иц1 = /2 ди1/дх дик/дх1). В таком приближении из (1.1) следует, что диагональные компоненты тензора — величины ц, 22. Нзз — представляют собой относительные удлинения (йх —йх1)/с1х1 вдоль соответствующих осей, а недиагональные компоненты (при 1фк) — половины углов сдвига выделенного элемента объема тела в плоскостях х х.,, х,Хз и Х1Х3. След тензора — сумма диагональных компонент иц — представляет собой относительное изменение объема тела иц=(с1У —йУ) йУ. В соответствии со сказанным величины й при =к называют деформациями растяжения (сжатия), а при 1= к — деформациями сдвига. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...