Производные инвариантные

Материальные производные инвариантных тензоров - инвариантные тензоры. При преобразованиях (1.21) справедливо равенство [c.33]

Класс объективных производных не ограничивается двумя введенными выше подклассами. Можно, например, ввести корота-ционную производную инвариантного тензора, являющуюся инвариантным тензором [38]. [c.33]

Введем две объективные производные (инвариантные тензоры) тензора напряжений т, которые получаются из индифферентных производных и применением операции исключения поворота [c.52]

В дальнейшем всегда вычисляются выражения первого типа, представляющие производные инвариантных величин. Выражения второго типа, т. е. результаты применения инвариантной операции к величине, зависящей от выбора системы координат, не могут найти применения. [c.162]

Вариация, экстремум, минимум, максимум, производная, условия инвариантности. .. действия по Гамильтону. [c.21]

Следующим шагом на пути обобщений является превращение неинвариантного равенства (IV. 165) в инвариантное, т. е. тензорное равенство, согласно основному принципу инвариантности аналитических формулировок основных законов природы, о котором шла речь выше. Чтобы пройти этот этап, надо построить тензор второго ранга с компонентами, содержащими вторые производные от компонент метрического тензора. [c.530]

Поперечные (косые) производные от и , Ну, щ 15 Послепрыжковый участок 325 Постулат инвариантности модуля сопротивления русла 319 Потенциал 39. .... скорости 40 [c.658]

Е лишь конечное число односторонних производных (оно равно [сб] —целой части а). Поэтому, выбрав функцию / так, чтобы в системе (12) развести сепаратрису седла и гладкое инвариантное многообразие узла, получим, что центральное многообразие системы (12) негладко. Гладкость его части, заключенной в полосе е <ео, не превосходит 1/2 / ео и стремится к бесконечности при ео- 0. [c.68]

Во-первых, этот метод позволяет получать новые поля и исследовать их свойства. Дело в том, что при выборе возможного выражения для й мы всегда ограничены тем требованием, что S должно содержать только координаты и их первые производные по Xi t и, кроме того, должно быть инвариантом Лоренца. Пусть, например, имеется только одна обобщенная координата т], которая должна быть инвариантным скаляром (или псевдоскаляром). Тогда указанным требованиям будут отвечать только члены вида [c.399]

Для того чтобы соотношение было инвариантным, необходимо и достаточно, чтобы функция f x t) оставалась равной нулю при изменении f для всех тех решений системы (36), начальные значения которых обращают эту функцию в нуль. Это равносильно тому, чтобы сказать, что для всех этих решений полная производная от / по t, взятая в предположении, что х удовлетворяют уравнениям (36), [c.278]

Предполагая соотношения (ЯО) независимыми, мы найдем только что указанным для m = О способом условие, необходимое и достаточное для того, чтобы система (50) была инвариантной оно заключается В том, что функции /,, рассматриваемые как функции от независимых переменных х, t, должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений с частными производными вида [c.280]

Так как левая часть есть не что иное, как полная производная от /о, вычисленная на основании уравнений (58), а правая имеет вид Х/д, это тождество показывает, что соотношение q=0 инвариантно относительно системы (58). [c.284]

Заметив это, выразим,- что система (59 ) инвариантна относительно системы уравнений (5). Если возьмем полные производные от уравнений (59 ) по и примем во внимание уравнения (5), то придем к условиям [c.288]

Другими словами, можно сказать, что уравнения (107), (108), по существу, содержат две группы уравнений (Л) и (В), из которых уравнения (v4) составляют систему, инвариантную относительно заданной системы дифференциальных уравнений с одними только х, а уравнения (S) дают определение множителей ji. в функциях от х. Отсюда следует, что если продифференцируем по t систему уравнений (107), (108) или эквивалентную ей систему (Л), (В) и примем, конечно, во внимание систему (36), то частичная система (А) в силу своего инвариантного характера не дает места никакому новому соотношению, тогда как система (S) приведет к такому же числу уравнений (В )> которые определят производные от множителей р. в функциях от X. Таким образом, можно также сказать, что система (107), [c.328]

Теорема I. Если выражение J инвариантно по отношению к любым преобразованиям и содержит п величин и их производных и если из условия [c.590]

С другой стороны, для некоторого любого, необязательно инвариантного, интеграла / я получаю первую вариацию 61 и преобразую ее по правилам вариационного исчисления посредством интегрирования по частям. Если считать, что ди исчезают на пределах вместе со всеми встречающимися производными (вообще же они произвольны), то получаем [c.612]

Из относительной инвариантности 01у В в одномерном случае и для конечной группы можно вывести еще заключение об инвариантности первых интегралов. Параметрическое преобразование, соответствующее бесконечно малому преобразованию, согласно (20) будет линейным и однородным и вследствие обратимости всех преобразований е будут также выражаться линейно и однородно через преобразованные параметры е. Эта обратимость наверняка сохраняется, если положить у> = О, ибо в формулы (20) не входят производные от и. [c.626]

Теорема Нетер гласит, что всякому непрерывному преобразованию координат, обращающему в нуль вариацию действия, при котором задан также закон преобразования функций поля, соответствует определенный инвариант, т. е. сохраняющаяся комбинация функций поля и их производных ). Так, инвариантности лагранжевой функции относительно смещения начала отсчета в пространстве (однородности пространства) соответствует закон сохранения количества движения инвариантности лагранжевой функции относительно смещения начала отсчета времени (однородности времени) соответствует закон сохранения энергии инвариантности относительно пространственных поворотов (изотропности пространства) соответствует закон сохранения момента количества движения. Инвариантность относительно преобразований Лоренца ), т. е. вращений в плоскостях (х,/), (у,/), (2,0, приводит к обобщенному закону сохранения движения центра тяжести. Таким образом, в четырехмерном пространстве времени имеем всего десять фундаментальных законов сохранения. [c.863]

Следуя обычному методу нахождения волновой скорости, нужно взять перемещение Ьдр вдоль нормали к волне W в точке D. Как известно, существует нормаль, определенная производной ди/dqp =pp), однако это — кова-риантный вектор, в то время как Ьдр— контравариантный. Поэтому, не умаляя общности динамической теории, нельзя (ни в каком инвариантном смысле) говорить о них как об имеющих одно и то же направление. Лучшее что мы можем сделать, это взять б р вдоль луча (так чтобы Е совпало с Е на рис. 40), следовательно, будет иметь место уравнение [c.270]

На практике лагранжианы, гамильтонианы и первые интегралы редко зависят от времени, поэтому принято всегда ассоциировать существование интеграла с инвариантностью гамильтониана (хотя, строго говоря, как мы видели, это не совсем оправдано). Эта трактовка восходит к Ли. Изложенной только что теоремы точно в том виде, как она здесь дана, сам Ли не формулировал, поскольку оперировал, главным образом, не с обыкновенными дифференциальными уравнениями в канонической форме, а с некоторым тесно связанным с ними уравнением в частных производных, к изучению которого мы приступаем в следующей теме. [c.138]

Эти частные производные определяются локально при некоторых предположениях, которые приводятся ниже. Предположение для определения частных производных, которое используется для инвариантной интерполяции, применяется здесь для определения частных производных первого порядка Z , Zy. [c.145]

Любое реологическое уравнение состояния, записанное в терминах тензорных компонент в конвективной системе координат, автоматически удовлетворяет принципу объективности поведения материала [1, р. 46]. Из этого в литературе часто незаконно делают вывод, что такие уравнения, записанные в некоторой алгебраически простой форме, имеют некий особый физический смысл. Предположения о линейности , которые типичны для старых неинвариантных формулировок линейной вязкоупругости, были сделаны инвариантными относительно системы отсчета при помощи метода конвективных координат и, следовательно, предполагались физически реальными, хотя имеется бесчисленное количество других возможностей удовлетворить принципу объективности поведения материала, равно подтверждаемых (или не подтверждаемых) с феноменологической точки зрения. Смешение систем координат и систем отсчета оказывается даже более вопиющим в некоторых опубликованных работах, основанных на методе конвективных координат, а различие между тензорами (как линейными операторами, отображающими евклидово пространство само в себя) и матрицами тензорных компонент часто совершенно игнорируется. Наконец, конвективным производным часто приписывался некоторый особый физический смысл, и бесплодные дискуссии о том, что они являются истинными временными производными, были вызваны неправильным толкованием метода конвективных координат. В данном разделе мы собираемся осветить этот вопрос в соответствующей перспективе и указать некоторые распространенные ошибки, встречаюпщеся при применении данного метода. [c.111]

Инвариантная форма — представление модели в виде системы уравнений, записанной на общепринятом математическом языке, безотносительно к методу численного решения. Применительно к системам обыкновенных дифферен-циальны уравнений различают две инвариантные формы — нормальную и общую, определяемые тем, в каком виде — явном или неявном относительно вектора производных — представлена система. [c.168]

Введем теперь вектор д с координатами dfidvj , df/dvy и df/dv . Каждая из этих частных производных представляет собой функцию переменных Уд, Vy, о. и т. Поэтому вектор д является функцией переменных t. , Vy, и т, т. е. q есть вектор-функция от т и от векторного аргумента , удовлетворяющая равенству (1). Функция q m, v) аддитивна и, являясь вектором, инвариантна по отношению к повороту системы отсчета. Таким образом, опираясь только на принцип относительности Галилея, мы установили важный факт если существует скалярная функция удов- [c.51]

По поводу изложенных результатов необходимо, однако, сделать еще следующее замечание. Диссипируемая в жидкости энергия разумеется, инвариантна относительно галилеевого преобразования системы отсчета. Производные от скорости этому требованию конечно удовлетворяют, но в сверхтекучей жидкости галилеевски инвариантна также и разность скоростей W = v,i — Vs. Поэтому и диссипативные потоки в сверхтекучей жидкости могут зависеть не только от градиентов термодинамических величин и скоростей, но и от самой w. Как уже было отмечено в 139, эта разность фактически должна рассматриваться как малая величина, и в этом смысле выражения (140,5—6) содержат в себе не все в принципе возможные члены, но лип1ь наибольшие из них ). [c.721]

Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу фигурирующих в (36,1) модулей упругости. Поскольку они введены как коэффициенты в свободной энергии, ими определяются изотермические деформации тела. Легко видеть, однако, что те же коэффициенты определяют в нематиках также и адиабатические деформации. Действительно, мы видели в 6, что для твердого тела различие между изотермическими и адиабатическими модулями возникает в силу наличия в свободной энергии члена, линейного по тензору деформации. Для нематиков аналогичную роль мог бы играть член, линейный по производным dutii. Такой член должен был бы быть скаляром и к тому же инвариантным по отношению к изменению знака п. Очевидно, что такой член построить нельзя (произведение п rot п — псевдоскаляр, а единственный истинный скаляр div п меняет знак вместе с п). По этой причине изотермические и адиабатические модули нематика совпадают друг с другом (подобно тому, как это имеет место для модуля сдвига изотропного твердого тела — 6). Эти рассуждения можно сформулировать и несколько иначе в отсутствие линейного члена квадратичная упругая энергия (36,1) является первой малой поправкой к термодинамическим величинам не- [c.194]

Как видно из уравнения (8.28), сила Гд, определяемая как временная производная импульса, равна сумме истинной механической силы F, определяемой по ускорению и импульсу II, немеханически теряемому телом за 1 с. 01сюда следует, что механическую работу в термодинамическом процессе определяет сила F, а не Рд, т. е. в уравнении первого начала надо учитывать работу только силы F. Это подтверждается также тем, что работа (8.29) именно этой силы совпадает с работой (8.19), полученной в релятивистской термодинамике с инвариантной температурой. [c.156]

Следует заметить, что хотя функциональная производная и упрощает некоторые вариационные процедуры, однако она затемняет тот факт, что уравнения движения являются уравнениями в частных производных по Хи и по t. Кроме того, время выступает здесь как особая переменная, существенно отличная от пространственных переменных, в то время как при выводе уравнений движения мы считали Xh t равноправными параметрами й. Это равноправие переменных а и немного напоминает специальную теорию относительности. Произведение dxidx2dxzdt является здесь, в сущности, элементом объема в пространстве Минковского и, следовательно, инвариантно относительно преобразований Лоренца если 2 есть некоторый инвариантный скаляр этого пространства, то принцип Гамильтона (11.11) также будет инвариантен относительно преобразований Лоренца. В ковариантных обозначениях уравнение (11.17) будет иметь вид [c.384]

Инвариантность интеграла J устанавливается аналогично тому, как это делалось в случае п. 32, проверкой того, что полная производная dJIdt будет равна нулю всякий раз, как линия L будет замкнутой. Для этой цели примем прежде всего во внимание, согласно тому, что было отмечено в п. 31, что общее решение канонической системы, которое здесь соответствует уравнениям (66), [c.295]

Вывод ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ для одного ЧАСТНОГО ИНТЕГРАЛА УРАВНЕНИЙ Гамильтона— Якови. Если для уравнения с частными производными [c.307]

Мы ввели о , взяв предварительно в неподвижном пространстве конкретный базис, задающий систему координат OaXYZ. Из (4) получаем, что в этой системе координат и) = У2 rot v. Единственность (jj при заданном полюсе О следует теперь из инвариантности вихря и независимости v от выбора базиса (см. замечание 1 в п. 6). Независимость о от выбора полюса получаем из того, что компоненты о целиком определяются элементами матрицы А и их производными по времени, а матрица А от выбора полюса не зависит (см. п. 21). Теорема доказана. [c.58]

Простейший пример к теореме II — без обращения — представляет вейер-штрассовское параметрическое представление здесь интеграл при однородности первого порядка является, понятно, инвариантным, если заменить независимую переменную х произвольной функцией х, которая оставляет функцию и неизменной [у = р(х), ,(у) = н, (х)]. Таким образом, появляется одна произвольная функция, но без производных этому соответствует известная линейная зависимость между самими выражениями Лагранжа [c.614]

Если, в частности, специализировать группу, не допуская производных от и(хув преобразованиях и,кроме того, требуя, чтобы преобразуемые независимые величины зависели только от х, а не от и, то (как будет показано в 5) из инвариантности интеграла I следует относительная инвариантность тзкже дивергенций, фигурирующих в теореме I, коль [c.614]

Это — искомые зависимости между выражениями Лагранжа и их производными при инвариантности интеграла I относительно Ооов линейная независимость обнаруживается так же, как и выше, ибо обращение приводит обратно к равенству (12), а от бесконечно малых преобразований можно делать заключение обратно к конечным, как это будет подробнее развито в 4. Поэтому для (йоов уже среди бесконечно малых преобразований всегда появляются Q произвольных преобразований. Из уравнений (15) и (16) следует еще [c.617]

Если специализировать группу , ограничившись простейшим обычно рассматриваемым случаем, когда в преобразования не входят производные от и и когда преобразуемые независимые переменные зависят только от х, а не от и, то можно сделать вывод об инвариантности отдельных составных [c.623]

Предлагается метод для определения бивариантной функции Z — Z(x, у), которая предполагает заданные значения точек прямоугольной сетки =л г (г = 1, 2,. . . )яу = yj (j = 1,2,... ) как xi, так и yi могут быть размещены произвольно. Интерполяционная функция Z = Z (х, у) гладкая, т. е. функция и ее первая производная непрерывны. Схема интерполяции является расширением метода инвариантной интерполяции, развитой ранее этими же авторами, и основана на локальных процедурах. Она построена исходя из соответствующих условий между данными точками сетки. [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...