Уравнения связей, наложение связей

Уравнения связей, наложение связей на колебательную систему 157 [c.635]

Равенства (2) - (4) являются уравнениями связей, наложенных на систему. Спроецируем (2) и (3) иа оси координат [c.119]

Пусть, например, уравнением связи, наложенной на материальную систему, будет [c.10]

Когда время входит явно в аналитические выражения сил и в уравнения связей, наложенных на систему, принцип последнего множителя, выведенный из общего правила, приложим также и к этому классу динамических задач. Есть даже несколько частных задач, для которых, хотя в них учитывается сопротивление среды, все же имеют место подобные теоремы это, например, случай кометы, обращающейся вокруг Солнца в среде, сопротивление которой пропорционально некоторой степени скорости этой кометы. [c.296]

Обобщенные координаты и обобщенные скорости. Число координат (параметров), определяющих положение механической системы, зависит от количества точек (или тел), входящих в систему, и от числа и характера наложенных связей. Буде.м в дальнейшем рассматривать только системы с геометрическими связями, т. е. со связями, налагающими ограничения на положения точек системы в пространстве, но не на их скорости. Числом степеней свободы механической системы называется, как известно, число независимых между собою возможных перемещений системы ( 170). Геометрические связи уменьшают на одно и то же количество единиц и число независимых возможных перемещений системы, и число независимых между собою координат, определяющих положение этой системы. Например, если какую-нибудь точку системы с координатами х , у , связать жестким стержнем длины I (геометрическая связь) с неподвижной точкой Л (лГд, уд, ), то число возможных перемещений системы уменьшится на единицу, так как станет невозможным перемещение точки вдоль прямой АВк- Одновременно координаты точки будут все время удовлетворять уравнению (лг — х ) ( д — укУ - -(г д — кУ= Л выражающему эту связь математически следовательно, число независимых между собою координат системы тоже уменьшится на единицу. В результате оказывается, что число независимых координат, определяющих положение системы с геометрическими связями, равно числу степеней свободы этой системы. В качестве таких координат можно выбирать параметры, имеющие любую [c.453]

Уравнением связи, наложенной на сферический маятник, является равенство (25.2) нетрудно проверить, что подстановкой функций [c.155]

Пусть /(х) — гладкая функция, причем /=/=0 в точках, где /=0. Если принять уравнение /(х)=0 в качестве уравнения связи, наложенной на систему, то движения такой несвободной системы с п—1 степенями свободы описываются, как известно, уравнениями Лагранжа с множителем Я [c.34]

Полученную таким образом статически определимую систему называют основной системой. Чтобы основная система не отличалась от заданной, необходимо потребовать, чтобы в основной системе перемещения сечений в местах удаленных связей по направлению приложенных здесь неизвестных реакций равнялись нулю. Эти уравнения, выражающие условия совместимости перемещений основной системы со связями, наложенными на данную статически неопределимую систему, и дадут возможность решить поставленную задачу. [c.198]

При решении задач статики реакции связей всегда являются величинами заранее неизвестными число их зависит от числа и вида наложенных связей. Условия равновесия, в которые входят реакции связей и которые служат для их определения, называют обычно уравнениями равновесия. Чтобы соответствующая задача статики была разрешимой, надо, очевидно, чтобы число уравнений равновесия равнялось числу неизвестных реакций, входящих в эти уравнения. [c.56]

Полное решение основной задачи динамики для системы будет состоять в том, чтобы, зная заданные силы и наложенные связи, проинтегрировать соответствующие дифференциальные уравнения и определить в результате закон движения каждой из точек системы и реакции связей. Сделать это аналитически удается лишь в отдельных случаях, когда число точек системы невелико, или же интегрируя уравнения численно с помощью ЭВМ. [c.273]

Разность между числом неизвестных (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы, носит название степени или числа статической неопределимости. В зависимости от этого числа системы разделяются на один, два, три,. ..,п раз статически неопределимые. Иногда говорят, что степень статической неопределимости равна числу дополнительных связей, наложенных на систему. Остановимся на этом вопросе подробнее. [c.196]

Если связи, наложенные на систему, являются стационарными, то время t в правые части этих уравнений ие войдет. Число k независимых обобщенных координат равно числу степеней свободы данной системы. [c.395]

Механическая система, для которой реакции связей и внутренние силовые факторы не могут быть определены с помощью уравнений равновесия и метода сечений, называется статически неопределимой. Статически неопределимые системы отличаются от статически определимых большим числом наложенных связей. [c.173]

В формулировке метода кинетостатики сила инерции именуется фиктивной, так как она к данной материальной точке не приложена. (В действительности эта сила инерции приложена к ускоряющим материальным точкам и к связям, наложенным на данную точку.) Добавление к силам и силы инерции 7, не приложенной к данной точке, приводит, естественно, к тому, что уравнения движения принимают вид уравнений равновесия. [c.349]

Если не все связи, наложенные на систему, являются идеальными, например, имеются негладкие опорные плоскости и поверхности, то к задаваемым силам следует добавлять силы трения и, следовательно, приравнивать нулю сумму работ не только задаваемых сил, но и сил трения, на любых возможных перемещениях точек системы. Составленное уравнение определяет зависимость между задаваемыми силами и силами трения. [c.388]

Изобразим задаваемые силы, приложенные к данной системе Р, — вес груза А, Р, —вес груза В, — вес блока О. При наличии идеальных связей, наложенных на систему, силы реакций связей в общее уравнение динамики не входят. [c.419]

Все связи, наложенные на систему, являются идеальными (наклонные плоскости — идеально гладкие, нить предполагается нерастяжимой и при движении системы натянутой). Поэтому при составлении общего уравнения динамики силы реакций связей рассмотрению не подлежат. [c.437]

Уравнения (1 ) называются уравнениями Лагранжа второго рода ) При наличии голономных связей, наложенных на систему, число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы. Система (1 ) состоит из обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. [c.472]

При наличии идеальных связей, наложенных на систему, в составленные дифференциальные уравнения не входят силы реакций связей. При наличии голономных связей, наложенных на систему, число составленных дифференциальных уравнений движения системы равно числу ее степеней свободы. [c.539]

Если требуется определить только закон плоского движения твердого тела, то для составления дифференциальных уравнений движения, не содержащих сил реакций связей, следует при наличии идеальных связей, наложенных на твердое тело, применять уравнения Лагранжа или общее уравнение динамики. [c.542]

В (1.1) входят как силы задаваемые, так и реакции связей, наложенных на тело. Если на тело действуют сходящиеся силы, лежащие в одной плоскости, то уравнений равновесия будет два. [c.7]

ЧИНЫ которых наперед неизвестны. Число этих неизвестных зависит от числа и характера наложенных связей. Соответствующая задача может быть решена методами статики твердого тела лишь в том случае, если число неизвестных реакций связей будет равно числу уравнений статики, в которые зти неизвестные входят. Такие задачи называют статически определенными, а системы тел, для которых это имеет место, — статически определимыми системами. [c.249]

Пример. Система состоит из двух течете Л и В. Согласно связям, наложенным на эти точки другими материальными телами, точки А н В могут двигаться только в плоскости хОу и находиться на постоянном между собой расстоянии г. Связи голономные и их уравнения =0, 2д = 0, г = ]/"(ха— иУ -ЫУл —УаУ - Очевидно, что из шести координат х , Уд, 2 1, хц, уц, гц) независимых остается только три, а остальные три определяются из уравнений связи. Выбор этих независимых координат мы можем сделать по собственному усмотрению. Можно принять за независимые, например, и Лд, а уц определить по независимым координатам и по урав- [c.428]

В том случае, коща никакую совокупность наложенных на систему связей нельзя заменить формами полных дифференциалов, уравнения связей называют неинтегрируемыми, а связи — неголономны-ми. [c.306]

Если связи, наложенные на систему, стационарны, то время не входит явно в уравнение связей и, следовательно, не входит явно в выражения, определяющие Tv В этом случае Ti = Tq = 0 и кинетическая энергия будет однородной квадратичной формой от обобщенных скоростей. [c.79]

Используя кинематические связи, наложенные на механическую систему (51.13), найдем уравнения, связывающие ускорения [c.79]

Уравнения равновесия R = 0, М = 0 содержат неизвестные реакции связей, которые зависят от активных сил и характера связей, наложенных на абсолютно твердое тело. Рассмотрим примеры связей, наиболее распространенных в технике, которые позволяют судить о точке приложения или направлении реакции связи. [c.124]

Возможным перемеицвнием системы называют любую сС)Вокупность возможных перемещений точек системы. В общем случае система можс т иметь несколько и даже бесконечно много возможных перемещений. Вследствие уравнений связей, наложенных на систему, не все возможные перемещения являются независимыми. Число независимых возмоз.с-ных перемещений называют числом степеней свободы системы. [c.372]

Волчок на горизонтальной плоскости. Вопрос о движении волчка по горизонтальной плоскости представляет собой задачу о движении весомого твёрдого тела, являющегося телом вращения в динамическом смысле ( 252), в том предположении, что одна из точек тела, лежащ 1х на оса симметрии, движется по горизонтальной плоскости., Пусть эта плоскость взята за плоскость Оху, а ось Oz направлена вертикально кверху (фиг. И9) динамическую ось симметрии примем за ось ОС на ней по условию лежит центр масс С тела. Тогда, если расстояние от центра масс С до точки опоры К волчка на плоскости Оху мы назовём /, а угол между направлениями осей Oz и ОС попреж-нему обозначим 9, то уравнением связи, наложенной на движущееся тело, будет [c.583]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Считаем для сокращения записей наложенные связи стационарными (иначе Г/, зависели бы еще от аргумента /), Вид окончательных уравнений (см. 145) от этого допущения не зависит и они будут справелпивы и для нестационарных связей. [c.370]

Ограничения, налагаемые на положения и скорости точек звеньев механизма (связи), должны выполняться при любых, действующих на механизм силах. Уравнения, которым в силу наложенных связей должны удовлетворять координаты точек звеньев механизма и их скорости, называются уравнениями связей. Геометрические связи описываются уравнениями, которые содержат только координаты точек механической системы. Эти уравнения отобра-жанэт те связи, которые соответствуют виду кинематической пары и ее конструктивному исполнению. [c.41]

При идеальных удерживаюш,их связях, наложенных на систему, 1 меет место общее уравнение динамики [c.419]

Интеграл энергии. Предположим, что действующая на точку сила F имеет потенциал, т. е. F=gTad t/, и что наложенные связи склерономны. При таких условиях уравнения движения точки (13) дают интеграл энергии. Для получения этого интеграла умножим каждое из уравнений (13) на соответствующую скорость и сложим получим [c.457]

Следовательно, если уравнение связи содержит проекции скоростей точек, то отсюда еще не следует делать вывод, что связь не является голономной. Нужно предварительно исследовать, возможно ли проинтегрировать это уравнение и получить из него уравнение, не содержащее проекций скоростей точек. Если это можно, то связь является голономной, в противном случае связь называют неголономной, или неингпегрируемой . Если среди связей, наложенных на сис- [c.427]

Определим связи, наложенные па систему. Диск может катиться по гори-зонталь7Юму рельсу. Эта связь может быть выражена уравнением i/ i = O.Ho качение диска происходит без скольжения. Такую связь можно выразить условием, чтобы скорость г точки касания диска равнялась нулю. [c.437]

Определим связи, наложенные на систему. Диск может катиться по горизонтальному рельсу. Эта связь может быть выражена уравнением уд = 0. Но качание диска происходит без скольжения. Такую связь можно выразить условием, чтобы скорость точки касания диска равнялась нулю. Хотя связь наложена на скорость, но для диска, катящегося в своей плоскости, она является. -голономнон (в отличие от кагящегося по плоскости шара). В самом деле, приняв центр диска за полюс и разложив плоское движение диска на переносное поступательное вместе с полюсом и относительное вращательное вокруг полюса, получим для точки касания — со/- = О или Ax.j At = (d9/d/) г. [c.283]

Если все связи, наложенные на систему материальных точек, го-лономны, то в каждый фиксированный момент времени уравнения связей выделяют в конфигурационном пространстве соответствующие им гиперповерхности. Виртуальные перемещения в этом случае суть векторы сдвигов изображающей точки из исследуемого положения в другое, принадлежащие касательному пространству к пересечению указанных гиперповерхностей. [c.336]

Так как связь, наложенная на маятник, стационарна и силы, под действием которых происходит его движение, потенциальны, то имеет место закон сохранения механической энергии, который можно получить, если умножить уравнение (125.41) на d(fldt [c.184]

Как уже известно, основной закон динамики для несвободной материальной точки, а следовательно, и ее дифференциальные уравнения движения имеют такой же вид, как и для свободной точки, только к действующим на точку силам добавляют все силы реакций связей. Естественно, что в этом случае движения точки могут возникнуть соответствующие особенности при решениях первой и второй основных задач динамики, так как силы реакций связей заранее неизвестны и их необходимо доиолнительно определить по заданным связям, наложенным на движущуюся материальную точку. [c.225]

Соотношения, выражающие наложенные связи, могут представлять собой или уравнения, или неравенства. Связи, наложенные на систему точек, в какой-то мере ограничивают возможные движения системы под действиями тех или иных активных сил сравнительно с теми, ivOTopbie может иметь свободная система т. е. система, не подчиненная никаким связям. [c.320]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...