Диаграмм функций бифуркационная

Бифуркационная диаграмма нулей. Бифуркационная диаграмма нулей — это росток поверхности в базе версальной деформации F x,X), образованный теми значениями параметра, при которых О является критическим значением функции F , Л,) переменной х. [c.20]

Бифуркационная диаграмма нулей и бифуркационная диаграмма функций (определенная в следующем пункте) несут, как будет показано в дальнейшем, важную информацию об особенностях. [c.21]

Следствие ([242]). Дополнение 2ц=Л 2 1 к бифуркационной диаграмме функций параболического семейства — пространство (я, 1), где я — подгруппа конечного индекса в Вг(ц). [c.144]

На краевые особенности распространяется и соответствующее утверждение о бифуркационных диаграммах функций простых критических точек [22, п. 2.5.8]. [c.16]

Будем считать критическими точками функции на многообразии с краем ее критические точки на объемлющем пространстве и критические точки ее ограничения на край. Тогда почти при любом значении леС " функция Ф(-,Я.) имеет ровно ц= = Ц1+Ио различных критических значений, принимаемых в достаточно малой окрестности точки ОбС". Росток в нуле гиперповерхности ЗсС ", являющейся дополнением к множеству указанных значений параметров деформации, называется бифуркационной диаграммой функций краевой особенности f. [c.16]

Пусть 03 и вз — модули ростков в нуле голоморфных векторных полей V, касающихся дискриминанта н бифуркационной диаграммы функций (если ф = 0 — уравнение соответствую-ющей гиперповерхности, то производная ф по направлению о лежит в идеале, порожденном ф). [c.88]

Рис. 66. Бифуркационные диаграммы функций семейства Аз

Определение. Бифуркационная диаграмма функций [для краевой особенности) образована теми точками Л усечённой базы, для которых деформированная функция F(., Л, Ajj) имеет менее чем различных критических значений (заметим, что значение не существенно, так как F(.,A, A ) = F(.,A,0) + A ). [c.185]

Пример. Бифуркационная диаграмма функций краевой особенности Сз образована прямой 6 = О и двумя касающимися её в начале координат в (о, Ь)-плоскости параболами (рис. 90). [c.185]

Бифуркационная диаграмма функций краевой особенности изображена на рис. 91. Усечённая версальная деформация может быть выбрана в виде [c.185]

Рис. 91. Бифуркационная диаграмма функций С а

Следствие. Любое голоморфное векторное поле, сохраняющее бифуркационную диаграмму функций простой особенности, допускает поднятие до голоморфного векторного поля, касающегося бифуркационной диаграммы нулей [дискриминанта). [c.188]

Пример 1. Для проектирования гладкой части бифуркационной диаграммы нулей Сз на А -плоскость ((а, с)-плоскость на рис. 92) множество критических значений есть ось а. Проекцией множества особых точек бифуркационной диаграммы нулей является кубическая парабола. Их объединение образует бифуркационную диаграмму проектирования Сз. Это многообразие не диффеоморфно бифуркационной диаграмме функций Сз (состоящей из трёх квадратично касающихся друг друга Компонент). [c.191]

Каустика особенности Н4 (являющаяся частью бифуркационной диаграммы функций, соответствующей ребру возврата дискриминантной гиперповерхности) изображена на рис. 112. В зта поверхность [c.254]

Теорема 5.2. В случаях (2.9) с точностью до направления осей г и V имеют место бифуркационные диаграммы, представленные на рис. 5.6, где значения ю как функции параметра V определяются соответственно формулами (2.10) или (2.11). [c.104]

Используя функции Pl u), P2 v), из условия кратности корней этих полиномов несложно построить бифуркационную диаграмму [170]. На плоскости (/, h) она состоит из трех ветвей (рис. 46) [c.133]

Диаграмма бифуркационная нулей 20 ----функций 22 [c.254]

Усеченная версальная деформация и бифуркационная диаграмма функций. Пусть f (С , 0)- (С, 0) —росток функции. В п. 1.7 мы определили версальную деформацию ростка f x), используя в качестве функционального пространства М пространство ростков функций на С". Ограничимся теперь деформациями в классе ростков функций 1 з ш,. Определения эквивалентности н версальности деформаций без изменений переносятся на этот случай. [c.22]

Определение. Бифуркационной диаграммой функций для / называется росток в нуле гиперповерхности S в базе усеченной миниверсальной деформации Л образованный теми значениями параметра Л, , при которых функция F , % ) переменной х не является морсовской в малой окрестности на-яала координат. [c.22]

Из приведенного примера видно, что бифуркационная диаграмма функций приводима и разбивается на две гиперповерхности лсаустика Si соответствует функциям с вырожденными критическими точками, страт Максвелла Зг — функциям с совпадающими критическими значениями. [c.23]

Дополнение к бифуркационной диаграмме функций. Рассмотрим в базе версальной деформации Л простой особениости / гиперповерхность S значений параметра А,, при которых фуцкция /"( Я) не мьрсовокая, т. е. имеет вырожденные критические точки или совпадающие критические значения. Пара (Л, S) диффеоморфна прямому произведению усеченной базы версальной деформации с вложенной в нее бифуркационной диаграммой функций S на комплексную прямую С. [c.139]

Теорема. Дололнение к бифуркационной диаграмме функций простой особенности является пространством К(п, 1), его фундаментальная группа изоморфна подгруппе индекса v в группе кос Вг((х) из р, нитей. [c.140]

Аналогичную стратификацию можно определить и для бифуркационной диаграммы функций В(Х). Назовем стратом ь . -,-Э7й], где (Хп,..., Хц ), множество точек ЯеЙ(Х), для которых функция (-,Л) имеет к различных критических значений, причем -ое критическое значение достигается в /, критических точках типов Хц, , Хц. Следующая теорема описывает одномерные страты Й г], соответ- [c.140]

Аналогичное описание стратификации бифуркационной диаграммы функций вещественной простой особенности получено Ю. С. Численко 024]. [c.141]

Распадения простых краевых особенностей, то есть стратификации дискриминантов и бифуркационных диаграмм функций, полностью описываются теоремами п. 2.5.9 [22], сформулированными там лишь для критических точек на многообрази без края [71]. [c.19]

Теорема ([72]). Голоморфное отображение Р для краевой критической точки модальности 1 всюду вне бифуркационной диаграммы функций S имеет ранг л—1. Ограничение отображения на гиперплоскость e= onst является собственным регулярным накрытием вне S. [c.23]

Пространства параметров С и С " содержат соответствен-0 дискриминант 2 и бифуркационную диаграмму функций S обенности /. [c.87]

Каустики. Рассмотрим в усеченной базе версальной деформации голоморфной функции в конечиократной критической точке множество тех значений параметра, которым отвечает фувкция f неморсовской (вырожденной) критической точкой. Эта часть бифуркационной диаграммы функции называется каустикой. [c.101]

Теорема (Ляшко [127], Лойенга [128]). Дополнения бифуркационных диаграмм функций версальных деформаций простых особенностей являются пространствами К тг,1). [c.135]

Элементы зтого кольца определяют характеристические классы в дополнении комплексных волновых фронтов, имеющих только обобщённые ласточкины хвосты (особенности типа Ак)- Их поднятия при помощи отображения Ляшко-Лойенги определяют характеристические когомологические классы в дополнениях бифуркационных диаграмм функций, проекций.и т. д. [c.138]

Вернёмся к общей теории бифуркационных диаграмм функций для краевых особенностей. Обобщая конструкцию Ляшко-Лойенги, каждой точке Л усечённой базы сопоставим значение свободного члена версальной деформации, для которого сумма (1 критических значений функции Р ., Л, Ад) равна нулю. Построим многочлен, корнями которого являются эти критические значения. Таким образом мы построили отображение усечённой базы в пространство многочленов степени ц, с единичным старшим и нулевым последующим коэффициентом. [c.186]

Пример 2. Проектирование ласточкина хвоста вдоль направления, трансверсального касательной плоскости в вершине, на плоскость не имеет критических значений на гладкой части ласточкина хвоста. Множество особых точек ласточкина хвоста состоит из двух компонент ребра возврата и линии самопересечения. Их обргиз образует бифуркационную диаграмму проектирования Аз (совпадающую с бифуркационной диаграммой функции Аз). Здесь / = и + х , Р = f- --I-Ага . [c.192]

Рассмотрим теперь локальное расслоение (С ,0) -И- (С ,0) пространства орбит на траектории типичного голоморфного векторного поля (трансверсального дискриминанту). Траектории, пересекающие дискриминант нетрансверсально (пересечение состоит из менее, чем к точек), образуют гиперповерхность в пространстве траекторий Эта гиперповерхность называется бифуркационной диаграммой функций (термин объяснён в 5.3). [c.254]

Теорема 4 (О.В.Ляшко [159], А.Б.Гивенталь [8]). Высшие группы го-мотопий дополнения бифуркационной диаграммы функций неприводимой группы Кокстера тривиальны, тогда как фундаментальная группа является подгруппой конечного индекса в группе кос из к нитей. Индекс этой подгруппы равен [c.254]

Следствие 2 ([8]). Дополнения комплексных бифуркационных диаграмм функций семейств Е.к,.О.к, Нк являются пространствами Эйленберга-Маклейна К ж,1), где ж есть подгруппа конечного индекса в группе кос из к нитей. [c.266]

На рис. 75 изображена бифуркационная диаграмма, характеризующая переход динамической системы от порядка к хаосу, который сопровождается бесконечной последовательностью бифуркаций удвоения периода в соответствии с законом Фейгенбаума [188]. В общем случае движение такой системы описывается одномерным точечным отображением с гладким максимумом, для которого функция последования записывается в виде [186] [c.106]

Установленная возможность представлять эволюцию системы в виде функции, связывающие только критические параметры, контролирующие точки бифуркаций, придает бифуркационным диаграммам высокую информативность. В этом случае дискретная функция А, = F = Ai позволяет описать неинтегрируемые функции, представления о которых в математике было введено Вейерштрассом. Пример такой функции для физической системы, названной дьявольской лестницей , приведен на рис. 1.11. Однако, такой тип функции, применительно к алгоритму (1.14.), реализуется только при (т >2) нели- нейной обратной связи, характеризуемой улучшением структуры при переходе через точку бифуркаций (репликативная обратная связь). При m = I [c.49]

С точки зрения квантовой теории И. Пригожина нарушение устойчивости симметрии структуры атома в точке бифуркаций отвечает коллапсу волновой функции. Так что, периодической перестройке структуры атома отвечает спектр критических состояний системы, связанных с коллапсом волновой функции. Нелинейную динамику этого процесса можно представить в виде бифуркационной диаграммы (рис. 2.4). механизм обратной связи обеспечивает при достижении критической массы самовыбор будущей структуры атома с устойчивой симметрией, при котором учитьгвается предыдущее критическое состояние [c.68]

Милноровское расслоение над дополнением к бифуркационной диаграмме нулей. Приведем другое описание группы моиодромии особенности, эквивалентное приведенному в предыдущих пунктах параграфа. Оно инвариантно в том смысле, что не зависит от выбора морсификацин исходной функции f. [c.71]

Милнора У J - h над дополнением к бифуркационной диаграмме Нулей в базе миниверсальной деформации Р (г, X) функции / (г) (см. п. 1.1 и п. 1.10). Приведенные (ко) гомологии слоев этих рас слоений нетривиальны только в размерности п—1. [c.94]

Бифуркационная диаграмма нулей Зс Л является неприводимым р,-листным разветвленным накрытием над гиперплоскостью Х,о=0 в базе версальной деформации Л. Пусть Л(Я) — голоморфная функция, являющаяся полиномом степени р, переменной Яю, равная нулю на 2. [c.97]

Примыкания и распадения простых особенностей. Стратификация бифуркационных диаграмм нулей и функций простых особенностей описывается диаграммами Дынкина соответствующих им систем корней. [c.140]

Стабильные когомологии дополнений к бифуркационным диаграммам нулей. Кольцо когомологий дополнения к дискриминантному многообразию S в пространстве версальной деформации определено для любой конечнократной особенности функций это кольцо не зависит от выбора версальной деформации. Примыкание особенностей определяет гомоморфизм колец дополнение к дискриминанту более простой особенности вкладывается в дополнение к дискриминанту более сложной. (Например, на рис. 39 изображено вложение дополнения к дискриминанту вещественной особенности Лг в аналогичное пространство для Лз.) Иерархия особенностей позволяет перейти к [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...