Движение по Раусу

Движение по Раусу. Результат предыдущего пункта находит важное применение, когда каноническая система имеет т игнорируемых координат 1, 2.--ч Ят- мы уже знаем (п. 42), в этом случае существуют т интегралов обобщенных количеств движения [c.326]

Этот тип семейств оо " стационарных решений был изучен Раусом в частном предположении динамического случая и поэтому движения, которые определяются этими решениями, называются движениями по Раусу. [c.326]

Условия устойчивости системы, движение которой описывается дифференциальным уравнением (XI.39), по Раусу — Гурвицу заключаются в том, что коэффициенты характеристического уравнения положительны и выполняется неравенство [c.319]

В случае характеристических уравнений любой степени п вида (25.7), содержащих вещественные коэффициенты, необходимые и достаточные условия отрицательности вещественных частей всех корней этого уравнения определяются критерием Гурвица. Условия устойчивости движения системы по Раусу и по Гурвицу полностью совпадают. [c.243]

Поясним термин приведенный потенциал . Смысл леммы 2 состоит в том, что от двух уравнений движения второго порядка (закон Ньютона в плоскости — формулы (1) из 1) мы перешли к одному уравнению. Здесь мы имеем частный случай общего приведения по Раусу (см. ниже 15), где и возникают соответствующие общие объекты, в том числе приведенный потенциал. [c.154]

Рассматривается применение метода функций Ляпунова и теоремы Рауса-Ляпунова к задачам устойчивости движения по части переменных [c.167]

В общем случае осесимметричного силового поля либра-ционные движения тела тоже, очевидно, лежат на множестве j = 0 . Поэтому рассмотрим подробнее случай, когда j = 0. Наличие группы симметрий позволяет факторизацией по g свести задачу к системе с двумя степенями свободы. Ясно, что SO S)/g" = (сфера Пуассона). Понижая по Раусу порядок системы в локальных обобщенных координатах y, ср, ф (углы Эйлера), получим натуральную систему с двумя степенями свободы, в которой [c.144]

Заметим еще, что как понятие устойчивости по Раусу стационарного движения, так и само понятие стационарного движения, зависят от рассматриваемой группы симметрии С. Чтобы стационарное движение могло быть устойчивым, нужно, чтобы эта группа в определенном смысле была максимальна. Далее это поясняется на классическом примере, разобранном Раусом. [c.252]

Когда рассматриваемое стационарное движение неустойчиво по Раусу, еще не исключено, что инвариантное множество стационарных движений (О-орбита О (у) данного стационарного движения) устойчиво. Это бы означало, что возмущения растут лишь вдоль инвариантного множества. На самом деле, в условиях общего положения, экспоненциальная неустойчивость по линейному приближению влечет также и рост возмущений в трансверсальном направлении. В случае семейств периодических движений это было установлено в работах [13, 22]. [c.252]

В соответствии с общим определением, стационарное движение (2.27) системы (2.24) называется устойчивым по Раусу, если д , — устойчивое равновесие системы (2.26) (при фиксированных ра). Иначе говоря, это стационарное движение должно быть устойчивым по отношению к переменным дт , ря-- На самом деле, однако, оно обычно оказывается также устойчивым и относительно циклических импульсов р . [c.253]

Предложение 2.1. Если гамильтониан Н дт ,ра,Рж) (при фиксированном Ра) в точке ртт достигает строгого минимума или максимума, то стационарное движение (2.27) устойчиво по Раусу. [c.254]

Из (2.27) видно, что относительно циклической координаты да стационарное движение неустойчиво всегда, за исключением неинтересного случая, когда = 0. Выходит, что если среди координат д окажется циклическая, то стационарное движение будет, как правило, неустойчивым по Раусу. Устойчивость же требует, чтобы набор циклических координат был максимален. Соответственно в общей теории нужно, чтобы максимальной была группа симметрии С, во всяком случае, при ее возможном расширении не должна расширяться орбита 0 ь). [c.254]

Функцию Н — ХМ, где величина А определена заданным стационарным движением, назовем относительным или редуцированным) гамильтонианом. В задаче устойчивости по Раусу это наиболее естественная функция Ляпунова. Относительный гамильтониан Н — ХМ является интегралом уравнения относительного движения (2.37) и инвариантен относительно преобразований при всех т е К. Действительно, функция Н инва- [c.257]

В первой части данного сообщения доказывается устойчивость стационарного вращения вихревого многоугольника Уд(п, во) в точной нелинейной постановке, когда во J при п = 4,5,6. Устойчивость стационарного движения трактуется как устойчивость по Раусу [7, 9]. Когда широта во лежит на границе интервала J во = или тг - 6 , доказательство требует специального исследования роли нелинейности. Устойчивость для граничных значений параметра интересно изучить, чтобы выяснить опасной или безопасной (по Баутину [1]) является эта граница. [c.355]

Ввиду очевидной и несущественной неустойчивости по Ляпунову решения (3.1), связанной с зависимостью угловой скорости и> во) от широты во, естественны другие определения устойчивости (см., например, [7, 9, 13]). Скажем, что стационарное решение (3.1) устойчиво по Раусу, если устойчиво семейство равновесий Г уравнения относительного движения (3.3). [c.358]

Для того чтобы вывести уравнения движения, не содержащие циклических скоростей, рассмотрим дифференциал dR функции Рауса по всем аргументам [c.565]

Теорема Рауса. Если в стационарном движении потенциальная энергия = П — приведенной системы имеет минимум, то это движение устойчиво относительно позиционных координат qj и скоростей Vj, по крайней мере для возмущений, не нарушающих значения циклических ин тегралов (3.11). [c.87]

Оценивая устойчивость движения гироскопа по координате а , нетрудно видеть, что согласно критерию Рауса — [c.261]

Относительно других примеров мы отошлем к сочинению Рауса, содержащему большое число изящных упражнений, в частности примеров качения шара по сфере, по цилиндру, по конусу и малых колебаний около положения устойчивого равновесия или устойчивого движения. [c.233]

Рис. 63. Первое прочтение два типа траекторий движения под действием силы тяжести (направленной вниз) при наличии магнитного поля, ортогонального плоскости (промежуточный вариант — траектория типа циклоиды). Наблюдается не падение, а дрейф. Левый рисунок, в отличие от правого, действителен лишь до тех пор, пока модуль начальной скорости не превосходит некоторого предела, при превышении которого траектория сразу пойдет вверх. Второе прочтение рисунка изменение углов прецессии и нутации в случае Лагранжа. Причина качественного сходства траекторий в обеих задачах — наличие линейных по скоростям членов в функциях Лагранжа и Рауса соответственно

Исследование линеаризованных уравнений (19) на устойчивость по критерию Рауса—Гурвица [22, 23] показывает, что граница устойчивости соответствует равенству частот oq = со . Область устойчивого движения (без вибраций) и неустойчивого (с вибрациями) зависит от сил сопротивления в системе. [c.98]

Рассмотрим статическую и динамическую устойчивость продольного движения с целью выяснения роли устойчивости по скорости. Условием статической устойчивости является положительность свободного члена характеристического уравнения, что удовлетворяется, так как Ми > 0. Условие динамической устойчивости можно получить, применив критерий Рауса. Все коэффициенты характеристического уравнения положительны, так что условием нахождения корней в левой полуплоскости является [c.721]

Пример 5.1. В задаче об устойчивости нестационарных вращательных движений гироскопа в кардановом подвесе из [12] дополнительно предположим, что гироскоп установлен на подвижном основании, совершающем вертикальные колебания по закону = i(i). Уравнения движения, определяемые функцией Рауса [12] [c.92]

В чем выражается ритерий устойчивости движения системы по Раусу и каков порядок составления схемы Рауса [c.245]

Разделение понятия устойчивости на устойчивость по Дирихле" и устойчивость по Раусу" ничем исторически не оправдано, так как и Дирихле и Раус не давали точного определения этого понятия. Впервые Н. Е. Жуковский обратил внимание На то, что задачу об устойчивости движения консервативной системы можно ставить иначе, чем это сделано у Рауса, и только А. М. Ляпунов дал окончательное, общепринятое теперь определение понятия об устойчивости движения. [c.424]

Исключим теперь Этот важный шаг был сделан впервые Раусом. Координаты qJ Дж. Томсон назвал тностеническими, У. Томсон и П. Тэт — игнорируемыми координатами, Гельмгольц дал этим явлениям наименование скрытых движений. По исключении qJ величина 7 перейдет в 7 и [c.854]

Рис. 46. Симметрия. На многообразии положений классической натуральной вястемы (изображен случай двух степеней свободы, например точка на поверхности) действует семейство отображений Pi— P (возьмем, как принято, группу, хотя это и не обязательно), обладающее тем свойством, что в любой сопутствующей , увлекаемой системе координат 5i, j выражение лагранжиана получается одним н тем же. Тогда имеет место интеграл движения, представимый в виде скалярного произведения (в метрике многообразия положений, задаваемой квадратичной по скоростям частью лагранжиана) вектора скорости с порождающим группу векторным полем и. Особенно просто отображения симметрии выглядят в системе координат q, Q2, из которых одна — циклическая тогда соответствующие координатные линии являются интегральными для порождающего поля, а отображения представляются сдвигами вдоль этих линий. Таким образом, понятие симметрии есть инвариантная (не зависящая от выбора координат) переформулировка наличия циклической координаты. Исключение этой координаты из рассмотрения по Раусу (переход к правой части рисунка) на инвариантном языке начинается с факторизации — перехода к новому многообразию меньшей размерности, каждой точке которого отвечает целая траектория группы симметрий многообразия положений

Трактат об устойчивости заданного состояния движения... Э. Рауса появился в 1877 г. В нем изложено в общем виде составление дифференциальных уравнений возмущенного движения, т. е. уравнений для отклонений координат системы от их значений, соответствующих заданному состоянию движения. Эти отклонения, в трактовке Рауса, вызываются мгновенными возмущениями (по сути это возмущения начальных данных). В первую очередь, как орудие исследования возмущенного движения, рассматривается метод линеаризации (теория малых колебаний). Раус переоткрывает результаты Вейерштрасса и Сомова и дает критерий для суждения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Определение устойчивости у Рауса остается в достаточной мере расплывчатым. Оно связано с понятием малости возмущений, а малы те величины, для которых возможно найти такое число, численно большее, чем каждая из них, и такое, что квадратом его можно пренебречь . Как выражается Раус, это число есть стан- [c.121]

Устойчивость этого равновесного состояния исследовал Лай-кинс [9] в более общем случае, когда og Ф 0. Его исследование основано на линеаризации нелинейных уравнений движения по отношению к указанному равновесному состоянию после этого исследование устойчивости выполнялось путем применения критерия Рауса—Гурвица к полученным линеаризованным уравнениям. Ясно, что этот прием имеет очень ограниченное значение, так как из него не вытекает, будет ли требуемое равновесное состояние устойчивым в большом. Для подтверждения устойчивости в большом нужно затем показать на основании исходной системы нелинейных уравнений, что у аппарата нет положений захвата. [c.31]

Особенности и традиции курса Тейта и Стила в отношении задач динамики систем переменной массы сохранились в Кембриджском университете и в последуюш ие годы. В 1891 г. был издан известный учебник Э.Лж. Рауса по динамике систем твердых тел. Принцип линейного количества движения, — отмечает Раус, — может быть также приложен, как и принцип момента количества движения, для определения постепенных изменений, производимых изменениями масс . Вначале автор рассмотрел движение тела при непрерывной безударной (ги = у) потере массы и показал, что в этом случае справедливо обычное уравнение тс1у/сИ = Г. Затем он остановился на движении тела, когда присоединяюш иеся к нему элементарные массы с1т имеют непосредственно перед моментом присоединения скорости ги. Для этого случая Раус получил уравнение движения в виде [c.36]

Рассмотрим условия устойчивости движения при резании. Устойчивость движения, по А. М. Ляпунову, для таких систем определяется знаками корней характеристического уравнения движение устойчиво, если все корни отрицательны [93]. По критерию Рауса-Гурвица кории уравнения (45) отрицательны, если удовлетворяются условия [c.93]

Обычно само понятие стационарного движения рассматривается лишь для гамильтоновой системы. Следуя Раусу, его обычно определяют как движение, при котором изменяются лишь циклические координаты, а остальные координаты, называемые позиционными, остаются постоянными. Циклические координаты оказываются, попросту, линейными функциями времени, а отвечающие им циклические импульсы, также постоянны. В теории устойчивости стационарньк движений, развитой Раусом, учитывается, что относительно циклических координат такие движение всегда неустойчивы (возмущения растут линейно со временем). Таким образом, речь должна идти об устойчивости относительно части переменных — позиционных координат и импульсов. Такого рода устойчивость мы называем устойчивостью по Раусу. Вопрос об устойчивости по отношению к циклическим импульсам должен быть рассмотрен особо. Как показали Раус и его последователи, при естественных дополнительных условиях (хотя и не всегда) устойчивость относительно циклических импульсов следует из устойчивости по Раусу. Поэтому в приложениях циклические импульсы обычно не требуют дополнительных рассмотрений. Именно так обстоит дело и в проблеме данной статьи. [c.244]

Скажем, что стационарное решение u t) = L ptaV уравнения (2.1) устойчиво по Раусу, если его траектория Т = w w = Ьц рта ,т G К есть устойчивое семейство равновесий уравнения относительного движения (2.19). Более подробно для любого е > О найдется такое a > О, что неравенство p w t),T) < е выполняется при всех i О для любого решения w t) уравнения (2.19) при условии, что p w 0),T) < S. [c.251]

КРИТЕРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧАСТЕЙ КОР-0Й ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. Как следует из теорем Ляпунова, для суждения об устойчивости движения по первому дриближению необходимо иметь в своем распоряжении точные сведения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Иначе говоря, нужно знать, как расположены [ орни характеристического уравнения на комплексной плоскости относительно мнимой оси. Когда все корни характеристического уравнения лежат слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные вещественные части, полином, соответствующий развернутому определителю характеристического уравнения, называется ус-щойчивым полиномом. Решить вопрос об устойчивости или неустойчивости полинома можно без предварительного вычисления его корней с помощью специальных критериев устойчивости, предложенных Э. Раусом, А. Гурвицем, X. Найквистом, А. В. Михайловым [113] и др. В основе этих критериев лежат известные теоремы Коши о числе корней функции внутри замкнутого контура. Некоторые из таких критериев дают возможность не только установить распределение корней полинома на комплексной плоскости, но также и определить необходимые изменения параметров системы, для того чтобы сделать ее движение устойчивым. [c.451]

Циклический вариант взаимосвязи симметрия — сохранение , заключающийся в том, что каждой обобщенной циклической координате отвечает некоторый.сохраняющийся обобщенный импульс, по существу говоря, был известен уже Лагранжу который и закон сохранения энергии связывал с цикличностью временной координаты В 70—80-х годах XIX в. эта идея Лагранжа была существенно развита и применена к анализу не только механических, но и физических систем в работах Рауса (1877 г.), Гельмгольца, В. Томсона и Тэта, Дж. Дж. Томсона и др. (1879—1888 гг.). Разработанная на основе метода циклических координат (называемых также игнорируемыми , отсутствующими , киностеническими , скоростными и т. д.) теория скрытых движений позволяла механически интерпретировать лагранжианы, имеющие значение в теории теплоты и электродинамике. Вместе с тем упомянутые исследователи не обращали достаточного внимания на, так сказать, нетеровский аспект метода циклических координат. Ведь циклический характер некоторой координаты означает, что движение системы, как целого, соответствующее этой координате, никак не сказывается на свойствах системы. А это эквивалентно инвариантности (или симметрии) системы (ее лагранжиана или гамильтониана) относительно преобразования, характеризующего циклическое движение. Таким образом, устанавливается непосредственная связь между симметриями типа однородности и изотропности пространства с законами сохранения типа импульса. Характер циклической координаты (трансляционный иди вращательный) [c.236]

В курсе по теории дифференциальных уравнений Дж. Сансоне [Sansone, 1941], одном из первых общих курсов по теории дифференциальных уравнений, даже предложено частичную устойчивость называть устойчивостью в смысле Рауса. Однако этот термин не получил распространения в литературе. Дело, по-видимому, в том, что результаты Рауса, несмотря на их важность, касаются только отдельных классов механических систем и изучаемых движений, и не обладают достаточной общностью применительно к изучению устойчивости произвольных процессов (движений) динамических систем общего вида. [c.173]

Карапетян А. В., Рубановский В. Н. О модификации теоремы Рауса об устойчивости стационарных движений систем с известными первыми интегралами // Сборник научно-метод. статей по теор. мех. — М. Изд-во МПИ, 1986. Вып. 17. [c.463]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...