Уравнения движения Рауса

Метод Рауса заключается в одновременном исключении циклических координат из уравнений Лагранжа второго рода, при этом число уравнений движения в независимых координатах понижается на число исключенных циклических координат. Предположим сначала, что все обобщенные координаты позиционные. Тогда функция Лагранжа будет функцией всех обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени /, т. е. [c.110]

Используя эту функцию, получаем систему дифференциальных уравнений движения в форме Рауса [c.21]

Когда некоторые из лагранжевых координат оказались циклическими, можно с помощью соответствующих первых интегралов понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения. Метод Рауса позволяет выполнить понижение порядка системы, сохранив при этом форму уравнений Лагранжа. [c.564]

Для того чтобы вывести уравнения движения, не содержащие циклических скоростей, рассмотрим дифференциал dR функции Рауса по всем аргументам [c.565]

Возможен еще один метод исключения циклических координат из уравнений Лагранжа — это так называемый метод Рауса. В сущности это такой же метод перехода от переменных q, q к переменным q, р, но выполняемый лишь для тех координат, которые являются циклическими. При этом получаются уравнения движения, которые для циклических координат подобны уравнениям Гамильтона, а для остальных —уравнениям Лагранжа. [c.244]

Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения при помощи уравнений Рауса. Пусть q [c.327]

Если коэффициенты а зависят только от g и не зависят от t (что имеет место, например, если функция Рауса составлена путем исключения координат из из натуральной системы), то линейная форма Ti порождает в уравнениях движения антисимметричные линейные члены, называемые гироскопическими членами. Вектор, г-я составляющая которого равна Qr, [c.183]

Функция Рауса. Дескриптивную функцию можно построить таким образом, чтобы некоторые из уравнений движения, скажем первые т пар, имели гамильтонову форму, а остальные — лагранжеву. Сделать это достаточно просто. Откажемся на время от принятой формы записи суммирования и представим уравнение (15.1.4) в виде [c.271]

В 70-х годах XIX в. Раус ) вывел уравнения движения, занимающие промежуточное положение между уравнениями Гамильтона и уравнениями Лагранжа. Для получения уравнений Рауса разобьем все степени свободы системы на две группы одну, состоящую из (/ — г) степеней свободы, будем описывать обобщенными координатами Лагранжа д ,. .., gf- , д ,. . ., gf-r, вторую же группу будем характеризовать гамильтоновыми обобщенными координатами и импульсами ду-г+1, , 9/, Р/-г+1> > Р/- [c.843]

Это — первый интеграл уравнений движения. Если Qm — игнорируемые координаты, то имеются М интегралов, аналогичных (46.25). Решая эти уравнения, получаем скорости, соответствующие игнорируемым координатам (т. е. gi,. . ., Qm), как функции остальных координат и скоростей, времени t и констант i,. . ., с . Функция Рауса R, определенная уравнением [c.126]

Поясним термин приведенный потенциал . Смысл леммы 2 состоит в том, что от двух уравнений движения второго порядка (закон Ньютона в плоскости — формулы (1) из 1) мы перешли к одному уравнению. Здесь мы имеем частный случай общего приведения по Раусу (см. ниже 15), где и возникают соответствующие общие объекты, в том числе приведенный потенциал. [c.154]

Э. Раус (1831—1907) предложил составлять уравнения движения, не содержащие циклических переменных. Для этого о ввел в рассмотрение функцию [c.348]

При помощи этой функции можно получить уравнения движения, не содержащие циклических переменных. Рассмотрим изменение функции Рауса Я при переходе системы в другое, бесконечно близкое состояние. Сообщим величинам q , <7 , Р произвольные бесконечно малые приращения в некоторый момент времени t, что будет соответствовать возможному перемещению системы. При этом изменятся функции и Перемещение системы в соседнее, бесконечно близкое и кинематически возможное в тот же момент времени состояние, называют вариацией состояния систе-м ы. Вариация состояния вызывает соответствующие изменения исследуемых функций (в данном случае функций Рауса и Лагранжа). Линейная часть приращения-функции при вариации состояния системы называется вариацией функции. [c.349]

Пример 5.1. В задаче об устойчивости нестационарных вращательных движений гироскопа в кардановом подвесе из [12] дополнительно предположим, что гироскоп установлен на подвижном основании, совершающем вертикальные колебания по закону = i(i). Уравнения движения, определяемые функцией Рауса [12] [c.92]

Поскольку движение систем с дифференциальными связями нередко описывают уравнениями, содержащими реакции этих связей или неопределенные множители Лагранжа, то применение теории Рауса к таким системам требует особой внимательности [14, 20]. Дело в том, что указанные выше уравнения систем с дифференциальными связями не могут быть представлены в виде (1), так как для реакций связей или неопределенных множителей Лагранжа нет соответствующих дифференциальных уравнений. Поэтому для применения теории, изложенной в предыдущих параграфах, к неголономным системам, необходимо исключить зависимые скорости из выражений всех первых интегралов указанных уравнений движения системы с помощью уравнений неголономных связей. При этом полученные функции будут представлять собой первые интегралы уравнений движения рассматриваемой системы, записанных в форме Чаплыгина (см. следующий параграф), Воронца, Больцмана-Гамеля и др., которые не содержат реакции связей и неопределенные множители Лагранжа и представимы в виде (1), а сами первые интегралы примут вид (2). [c.436]

Если матрица Г — нулевая, то уравнения (88) совпадают с уравнениями движения консервативных механических систем с циклическими координатами, записанными в переменных Рауса [1, 2], и допускают т циклических интегралов [c.455]

Упомянутый в конце предыдущего пункта способ записи дифференциальных уравнений движения принадлежит Раусу. Он основан на введении вместо кинетической энергии Т другой функции / , зависящей от позиционных координат и скоростей, времени I и циклических постоянных импульсов. Эта функция определяется так [c.347]

Уравнения движения, соответствующие кинетическому потенциалу Рауса (21), имеют вид [c.359]

Иногда используются уравнения движения в форме уравнений Рауса. Введем обобщенные импульсы [c.330]

Составить уравнения движения спутника массы т в ноле тяготения планеты массы М в форме уравнений Рауса. [c.205]

Тяжелое колечко массы т (см. рис. к задаче 19.19) скользит но гладкой проволочной окружности массы М и радиуса г, которая может враш аться вокруг своего вертикального диаметра. Составить уравнения движения системы в форме уравнений Рауса. [c.205]

Движение апекса волчка Лагранжа в абсолютном пространстве (рис. 21) может быть получено из канонических уравнений движения волчка в углах Эйлера после редукции Рауса по углу собственного вращения ip. [c.105]

Пример 1.4. Уравнения движения диска в (рорме Рауса (см. пример 1.2). [c.23]

Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения П1)н помощи уравпеиий Рауса. Пусть с/а (а = А +1,. ... . ) —циклические координаты. Тогда имеем п — к первых интегралов [c.277]

Общая теория таких систем была развита Томсоном и Тэтом, а также Раусом целью их исследований было получение уравнений движения в одних позиционных координатах. Так как циклические координаты и соответствующие скорости не должны входить в эти уравнения, то они иногда называются игнорируемыми" координатами, и излагаемый метод называется игнорацией" или игнорированием координат" (Томсон и Тэт). [c.207]

Наконец, остается еще воспользоваться основными уравнениями движения твердого тела. В постановке Рауса, принятой в предыдущем упражнении, за центр приведения моментов нринимался центр тяжести, вследствие чего пришлось в виде вспомогательной неизвестной ввести реакцию опоры Ф, которая исключа ась при помощи первого основного уравнения. Но, как н [c.234]

Итак, уравнения (22) можно рассматривать как дифференциальные уравнения движения некоторой приведенной системы с к степенями свободы, кинетическая энергия которой равна а обобщенные силы состоят из гироскопических сил и потенциальных сил, производных от потенциала П = И — Щ, Потенциал П приведенной системы называют приведенным потенциалом приведенной потенциальной энергией) или потенциалом Рауса. Если исходная система является гироскопически несвязанной, то в приведенной системе гироскопические силы отсутствуют. [c.496]

Уравнения (13.7.15) и (13.7.16) идентичны с уравнениями (8.6.6) и (8.6.7), описывающими движение оси вращающегося волчка. При р = апПс, q = = 5g/7 и постоянной в правой части (13.7.16), равной 14сЯ, они в точности совпадают. Кроме того, известно, что уравнения движения оси вращающегося волчка являются уравнениями Лагранжа, полученными из функции Рауса при исключении циклической коордйнаты 1 з. Уравнение же (13.7.15) есть уравнение Лагранжа для 0, а соотношение (13.7.16) — интеграл количества движения для ф, полученный из функции Лагранжа [c.230]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Чтобы напнсать уравнения движения через функцию Рауса, составим вариацию [c.57]

В начале развития динамики неголономных систем дифференциальные 93 уравнения движения были выведены в различном виде Остроградским, Феррерсом и Раусом. Общая методика интегрирования этих уравнений не была разработана, а их структура, связанная с наличием декартовых координат или множителей неголономных связей, создавала значительные трудности при решении конйретных задач (о качении твердых тел). Таким образом,в конце XIX в. проблема составления динамических уравнений неголономной механики в лагранжевых координатах без множителей связей типа уравнений Лагранжа второго рода была вполне актуальной. [c.93]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

Устойчивость этого равновесного состояния исследовал Лай-кинс [9] в более общем случае, когда og Ф 0. Его исследование основано на линеаризации нелинейных уравнений движения по отношению к указанному равновесному состоянию после этого исследование устойчивости выполнялось путем применения критерия Рауса—Гурвица к полученным линеаризованным уравнениям. Ясно, что этот прием имеет очень ограниченное значение, так как из него не вытекает, будет ли требуемое равновесное состояние устойчивым в большом. Для подтверждения устойчивости в большом нужно затем показать на основании исходной системы нелинейных уравнений, что у аппарата нет положений захвата. [c.31]

Особенности и традиции курса Тейта и Стила в отношении задач динамики систем переменной массы сохранились в Кембриджском университете и в последуюш ие годы. В 1891 г. был издан известный учебник Э.Лж. Рауса по динамике систем твердых тел. Принцип линейного количества движения, — отмечает Раус, — может быть также приложен, как и принцип момента количества движения, для определения постепенных изменений, производимых изменениями масс . Вначале автор рассмотрел движение тела при непрерывной безударной (ги = у) потере массы и показал, что в этом случае справедливо обычное уравнение тс1у/сИ = Г. Затем он остановился на движении тела, когда присоединяюш иеся к нему элементарные массы с1т имеют непосредственно перед моментом присоединения скорости ги. Для этого случая Раус получил уравнение движения в виде [c.36]

Уравнения движения запишем в форме уравнений Рауса для канонических неременных, онределяюш,их движение центра масс шара и его враш,ение вокруг оси Oxs, и уравнений Лагранжа в частных производных для перемеш,ений u(r,t), которые после затухания собственных колебаний из-за наличия диссипативных сил будут пропорциональны малому параметру . С этой целью используем канонические переменные Делоне L,G,l,g) и Андуайе Имеем [c.387]

Две точки с массами тх и Ш2 взаимодействуют но закону всемирного тяготения. Составить уравнения движения системы в форме уравнений Рауса. За обобш енные координаты принять координаты центра масс системы х, у, г, расстояние между точками г и углы ф и / (широты и долготы), которые определяют направление прямой, соединяюш ей точки. [c.205]

Рассмотрим условия устойчивости движения при резании. Устойчивость движения, по А. М. Ляпунову, для таких систем определяется знаками корней характеристического уравнения движение устойчиво, если все корни отрицательны [93]. По критерию Рауса-Гурвица кории уравнения (45) отрицательны, если удовлетворяются условия [c.93]

РАУСА УРАВНЕНИЯ — дифференциальные уравнения движения мехапич. системы в переменных Рауса. Предложены Э. Раусом (Нон1Ь Е.) в 1867 г. Для системы с. стонснями свободы, находящейся нод действием потенциальных сил, Р. у. имеют вид [c.377]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...