Изинга модель свободная энергия

Закон о реализации конфигураций с минимальной свободной энергией относится, конечно, не только к модели Изинга, но и к любым атомным и молекулярным системам с большим числом частиц. Формула Больцмана позволяет рассчитать энтропию и тем самым свободную энергию. Минимальное значение последней определяет то, что мы увидим или измерим в эксперименте. Как выполняется эта программа, мы покажем в следующем параграфе, а пока еще раз повторим главное. [c.119]

Используя вариационный принцип, показать, что при одинаковой температуре свободная энергия Гельмгольца модели Гейзенберга не больше, чем свободная энергия модели Изинга. [c.247]

Следовательно, одномерная решетка Изинга никогда не обнаруживает ферромагнетизма. Причина этого состоит в том, что при любой температуре средняя конфигурация определяется двумя противоположными и конкурирующими тенденциями тенденцией к полной упорядоченности спинов, когда энергия минимальна, и тенденцией к случайному их распределению, когда энтропия максимальна. (В целом обе эти тенденции ведут к минимизации свободной энергии А-=и—Т8.) В одномерной модели тенденция к упорядочению оказывается более слабой вследствие недостаточного числа ближайших соседей. [c.382]

Обращение знака И эквивалентно замене х на обратную величину, что не меняет (4.6.8). Так как свободная энергия / должна быть четной функцией Нщ отсюда следует, что формула (4.6.8) верна при всех действительных значениях /7. Вместе с уравнением (4.5.1) для х она определяет свободную энергию на один узел в модели Изинга на решетке Бете. [c.63]

В разд. 11.7 будет показано, что в случае модели Изинга можно полностью избежать применения формализма трансфер-матрицы свободная энергия получается с помощью одного лишь соотношения звезда — треугольник и его следствий [c.91]

Это главный результат данной главы — свободная энергия модели Изинга на квадратной решетке в термодинамическом пределе. [c.115]

Данные веса определяются выражением (11.5.6). Поскольку коэффициент Ау равен нулю, восьмивершинная модель на квадратной решетке разбивается на две невзаимодействующие модели Изинга на соответствующих подрешетках. Выбирая каждую величину М - равной единице, из (10.3.11) находим, что функция равна приходящейся на один узел свободной энергии модели Изинга с коэффициентами К- на квадратной решетке. [c.298]

Для модели Изинга с коэффициентами взаимодействия А у, Kj на квадратной решетке функция ф зависит только от этих коэффициентов. Обозначим ее через ф Q(KJ, Кр. Аналогично для модели Изинга с коэффициентами К2, А з на треугольной решетке безразмерную свободную энергию обозначим через фJ( К[, А 2 Тогда из формул (11.7.10) — (11.7.12) следует [c.298]

Используя формулу (11.7.9) и вспоминая, что шестиугольная решетка имеет 27У узлов, для безразмерной свободной энергии, приходящейся на один узел такой решетки, в модели Изинга с коэффициентами К[, А , А з получаем выражение [c.298]

Мы можем произвольно выбирать величины К[, Щ или Л 2 з поэтому формулы (11.7.13) или (11.7.14) позволяют вычислить свободную энергию модели Изинга на любой регулярной треугольной или шестиугольной решетке. Другие параметры определяются тремя уравнениями (11.7.2) и выражением (11.7.8). [c.299]

Альтернативный вывод свободной энергии модели изинга [c.300]

Отсюда ясно, что свободные энергии моделей Изинга на квадратной, треугольной и шестиугольной решетках имеют одинаковые критические сингулярности, а именно те, которыми обладает .(/). Симметричная логарифмическая расходимость удельной теплоемкости получается сразу, поэтому, как в (7.12.12), показатели а, а равны нулю [c.301]

С учетом последнего выражения для п R вместе с (11.8.76) и (11.7.13) безразмерную свободную энергию модели Изинга на треугольной решетке можно записать в виде [c.305]

В следующем разделе для восьмивершинной модели будет показано, что уравнения (13.6.17) и некоторые простые свойства аналитичности и периодичности определяют функцию к(и) и тем самым свободную энергию. Очень интересно проверить, справедливо ли уравнение (13.6.25) для любой ВСГ-модели, например для модели Изинга в магнитном поле. К сожалению, для таких моделей к и), по-видимому, является существенно более сложной функцией, и, хотя уравнение (13.6.25) остается справедливым, его уже недостаточно для определения к (и). [c.385]

За время, отделяющее решение модели Изинга Онсагером в 1944 г. от решения модели жестких шестиугольников Бакстером в 1980 г., статистическая механика двумерных систем обогатилась значительным числом точных результатов. Принято называть модель точно решаемой, когда для некоторой физической величины, такой как свободная энергия, параметр порядка или корреляционная функция, получено удобное математическое выражение или, по крайней мере, когда удалось свести их вычисление к задаче классического анализа. Такие решения, которые поначалу кажутся иногда каким-то курьезом, часто бы-виют интересны тем, что иллюстрируют общие принципы и теоремы, строго выведенные в рамках определенных теорий, а также позволяют контролировать приближенные методы, применимые к более реалистическим и сложным моделям. В теории фазовых переходов модель Изинга, результаты Онсагера и Янга успешно сыграли такую роль. Методы Либа и Бакстера для разнообразных вершинных моделей развили этот успех и расширили набор известных критических показателей, дав материал для сравнения с методами экстраполяции, и заставив уточнить концепцию универсальности. Тесно связанные с классическими двумерными моделями, хотя и не представляющие интереса для теории критических явлений, квантовые одномерные модели, такие, как магнитная цепочка, и знаменитое решение Бете, несомненно внесли вклад в понимание структуры возбуждений в системах с большим числом степеней свободы. Можно было бы также обратиться к физике одномерных проводников. Все эти вопросы теоретической физики, которые, несомненно, оправдывают исследования точно решаемых моделей, не являются предметом настоящей книги, поскольку их изложение потребовало бы обширных и в то же время глубоких познаний в теоретической физике. Речь будет идти в основном [c.8]

Вместе с тем легко показать, что в одномерной модели Изинга состояние спонтанного упорядочения термодинамически неустойчиво [20]. Рассмотрим цепочку, в которой все спины положительны (рис. 2.11). Этот дальний порядок можно разрушить, введя в некоторой произвольной точке цепочки доменную границу , за которой все спины перевернуты. Это можно сделать N способами, вследствие чего энтропия увеличится на 1пЛ . Однако увеличение обменной энергии (1.18) при перевороте спинов составляет всего лишь 2/, так что полное изменение свободной энергии будет равно [c.66]

Таким образом, мы получаем выражения для свободной энергии, внутренней энергии и теплоемкости одномерной модели Изинга [c.159]

Чтобы войти в суть дела, рассмотрим модель Изинга, определяемую гамильтонианом (10.2.2) и статистической суммой (10.2.3). Ее термодинамические свойства характеризуются свободной энтальпией (энергией Гиббса) [c.372]

Точки неаналитичности свободной энергии (критич. точки) могут либо быть стационарными точками Д. п. Т =Тс. либо переходить одна в другую если их несколько). В модели Изинга и ферромагн. моделях Поттса Т Тс — единств, точка фазового перехода, в моделях Березинского — Виллэна две крптич. точки. В калибровочной модели Изинга темн-ра перехода также определяется соотношением самодуальности. [c.22]

Свободная энергия модели Изинга определяется наибольшим из двух собств. значений трансфер-матрицы. Однако при Т=Н=а оба собств. значения совпадают, обращая при этом корреляц. длину в бесконечность. Это означает, что в одномерной модели Изинга точка Т=Н=0 является критической точкой. Полученный результат есть следствие общей теоремы теории фазовых переходов, согласно к-рой дальний порядок (см. Дальний и ближний порядок) в системе возникает только тогда, когда наибольшее собств. значение трансфер-матрицы асимптотически вырождено. Такое поведение согласуется также с тем, что для одномерных систем с взаимодействием конечного радиуса вклад в свободную энергию от энтропийного слагаемого преобладает, и упорядоченное состояние оказывается термодинамически неустойчивым. В случае же с бесконечным радиусом взаимодействия собств. значения трансфер-матрицы становятся вырожденными, что соответствует фазовому переходу. Каждый спин системы при этом взаимодействует со всеми остальными спинами, так что вся цепочка представляет собой единый кластер, т. е. модель преобразуется в решётку с бесконечным координац. числом (т. н. бесконечномерная модель), для к-рой точным оказывается среднего поля приближение. [c.151]

В модели Изинга фазовый переход обладает симметрией, ко-юрая выражается в том, что поле является нечетной функцией магнитного момента, а свободная энергия и энтропия — четными функциями. Модель решеточного газа, как и изоморфная модель Изинга, имеет такую же симметрию зависимость h от Ц на изотермах является антисимметричной функцией, а плотности сосуществующих фаз симметричны относительно критической изохоры. [c.113]

Что касается удельной теплоемкости в постоянном поле, то для нее теория Вейсса также предсказывает конечный скачок. Следовательно, как указывалось выше, все соответствующие друг другу величины ведут себя в окрестности критической точки одинаково в обеих так называемых классических теориях. Это не случайно. Действительно, главная физическая идея, лежащая в основе обеих моделей, заключается в существовании далънодействующих сил. Кац очень изящно показал, что если мы рассмотрим простую решетку с одномерными спинами (модель Изинга, см. разд. 10.2), в которой все спины взаимодействуют одинаково независимо от их взаимного расстояния, то мы получим в точности уравнение состояния Вейсса. Следовательно, теории ВдВ и Вейсса являются, так сказать, изоморфными . Аналогия двух теорий очень ясно проявляется также в теории фазовых переходов Ландау. Ландау исходит из выражения для свободной энергии и разлагает ее в окрестности критической точки делая сходные допущения, при этом можно получить либо теорию ВдВ, либо теорию Вейсса. Из-за недостатка места мы не будем подробно рассматривать здесь теорию Ландау, прекрасное изложение которой можно найти в ряде книг (см., однако, разд. 10.4). [c.346]

Отклонение свободной энергии йббса (() = -р5 ) от значения ее для идеальных растворов Од изучалось в рамках хвазихимичеоко-го приближения модели Изинга [12]. Согласие с экспериментальными значениями, полученными из равновесных давлений паров смеси, очень хорошее. Аятиферромагнитный вариант модели Изинга ( 7< 0) отвечает, согласно формуле (64), случаю 2>2 2 деЯстви- [c.21]

При квазиклассич. описании Ф. взаимодействие, приводящее к Ф., учитывают введением молекулярного поля (модель Изинга, см. Кооперативные явления). В простейшей модели газа из N электронных спинов их можно разбить, соответственно двум возможным проекциям спина, на г правых и N—г = I левых . Отпосит. намагниченность системы вправо равна у = (г — 1)/ . Энтропия газа при пренебрежении взаимодействием между спинами равна S (у) — к 1п (УУ /г П) (к — Больцмана посто.чнная). Если энергия газа и не зависит от у, то свободная энергия равна [c.306]

Однако вблизи критической точки до сих пор приходится ограничиваться экстраполяцией высокотемпературного и низкотемпературного разложения исключение составляет двумерная модель Изинга с взаимодействием только между ближайшими соседями ). В этом единственном случае для нескольких простых решеток (например, квадратной, треугольной, шестиуго.чьной) известно точное выражение для свободной энергии в нулевом магнитном поле и для спонтанной намагниченности -). Следует подчеркнуть, что получение этих результатов представляет собой одно из наиболее впечатляющих достижений теоретической физики, хотя для построения решаемой с таким трудом модели и пришлось пойти на значительные упрощения. [c.327]

Имеется очень небольшое число двумерных моделей, которые были решены (т.е. вычислена их свободная энергия) в частности, это модели Изинга, сегнетоэлектрическая, восьмивершинная и трехспиновая. Все они физические в том смысле, что включают взаимодействия только ограниченного радиуса, и все имеют критическую точку. Основное внимание в этой книге будет уделено именно этим моделям. [c.21]

Как уже отмечалось выше, трудность, связанная с деревом Кейли, состоит в том, что оно неоднородно, т. е. имеет значительное число граничных или соседних с границей узлов, свойства которых отличаются от свойств внутренних узлов. Но все узлы, расположенные глубоко внутри графа, имеют одинаковую локальную намагниченность М и потому одну и ту же локальную свободную энергию /, определяемую выражением (4.6.5). Таким образом, эта свободная энергия является свободной энергией модели Изинга на решетке Бете. Она вычисляется путем приравнивания д. = д, [c.63]

Свободная энергия двумерной модели Изинга в отсутствие внешнего поля впервые была вычислена Онсагером [184] в 1944 г. Он диагонализировал трансфер-матрицу, используя неприводимые представления соответствующей матричной группы. Его студентка Брурия Кауфман упростила этот вывод в 1949 г. [143], показав, что трансфер-матрица принадлежит к группе спинорных операторов. [c.93]

Интригующим обстоятельством здесь является то, что анзац не применим даже для = 1 и = 2, в то время как свободную энергию в этих двух случаях можно подсчитать другими методами первый из этих случаев вообще тривиален, второй представляет собой модель Изинга. Следует заметить также, что эта эквивалентная модель Изинга соответствует значению параметра л, равному тг/4, в (8.8.1), т.е. в соотношении Д = — os/л. Это не согласуется с тем фактом, что модель Изинга эквивалентна также модели свободных фермионов, как показано в разд. 10.16. Модель свободных фермионов представляет собой восьмивершинное обобщение однород-ной шестивершинной модели сД = О и л = тг/2. Поэтому должна существовать какая-то связь между этими вершинкыми моделями с /х = тг/4 и )Lt = тг/2. [c.338]

Возвращаясь к модели Изинга, естественно обобщить метод Бете путем построения кластеров большего размера с учетом взаимодействия в нескольких координационных сферах. При этом условия самосогласования типа (5.34) определяют внутреннее поле в каждой оболочке [15]. Аналогичный подход, развитый Каули [16, 17], предполагает существование в каждой координационной сфере некоторой средней поляризации (т. е. порядка ) относительно спина, принадлежащего центральному атому. Это приводит к модификации комбинаторного множителя в формуле для энтропии кластера [ср. с формулой (5.10)]. Условие обращения в нуль вариации свободной энергии [формула (5.11)] дает систему уравнений для локальных параметров порядка. Этот метод может оказаться удобным при рассмотрении фазовых переходов в довольно сложных упорядоченных подрешетках (примером могут служить многие сплавы). Интересно отметить, что для [c.186]

Если бы ДЛЯ спонтанной намагниченности в двумерной модели Изинга не было точной формулы Онзагера (5.129) и очень аккуратной оценки критических индексов [типа (5.188)], полученной С помощью разложения в ряд, то можно было бы считать, что формулы Ландау правильно описывают поведение любой системы вблизи фазового перехода второго рода. Но мы знаем, что формулы (5.194) и (5.204) неправильны. Не оправдано здесь предположение (5.193) нет никаких оснований а priori считать феноменологические коэффициенты в разложении (5.189) аналитическими функциями температуры в критической точке. Тщательный анализ решения Онзагера показывает, например fl.21], что при температуре выше Tf. свободная энергия содержит член, пропорциональный Т — In (Г — Т(.), очевидно, отсюда проистекает логарифмическая особенность темплоемкости. [c.237]

Таким образом, вблизи критической точки картина флуктуаций масштабно-независима, т. е. она должна выглядеть одинаково как на микроскопическом уровне, так и на расстояниях, сравнимых с корреляционной длиной . Чтобы понять природу неупорядоченности этого типа, рассмотрим модель Изинга при температуре, чуть меньшей 2. Как прказано в 2.4, при этих условиях область опрокинутых спинов термодинамически почти устойчива, поэтому можно было бы наивно ожидать, что флуктуации проявляются в виде капель (рис. 5.17, а), размеры которых растут, когда температура Т приближается к критической Те- Однако избыток свободной энергии, определяемый равенством (2.13) не зависит сколько-нибудь существенно от размеров области. Поэтому внутренняя часть каждой большой капли сама подвержена критическим флуктуациям и т. д.— вплоть до атомного уровня. Таким образом, картина опрокинутых спинов может оказаться топологически необычайно сложной [71] внутри капли располагаются капли поменьше, внутри которых тоже есть капли и т. д. (рис. 5.17, б). Метод группы перенормировки как раз и дает нам естественный математический язык для описания систем, в которых беспорядок охватывает очень широкий спектр длин волн — от микроскопических до макроскопических [76]. [c.243]

В данной главе изучаются три основных модели магнетизма — Изинга, Х7-модели и модели Гейзенберга в двумерном пространстве. Приводится точное решение модели Изинга с помощью метода трансфер-матрицы и фермион-ного представления. Вычисляются свободная энергия и корреляционные функции и находятся основные критические индексы, описывающие особенности физических величин вблизи точки фазового перехода. [c.137]

Член взаимодействия в Н пропорционален Д. Система свободных фермионов, или ХУ-модель, соответствует случаю Д == = 0 и легко диагонализуется. Энергия квазичастиц равна Е к)) = ( os 2 /г -j- р sin к) Корреляционные функции выражаются в форме детерминантов такая форма получается в термодинамическом пределе после длинных вычислений. Связь Л У-модели с моделью Изинга на плоской решетке отмечена в гл. 7 и используется для вычисления критических индексов и т. д. (Маккой, Ву, 1973). [c.113]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...