Шестивершинная модель

Л А г-модсль J = J,), или модель Гейзенберга — Изинга, точно решается методом анзатца Бете и сводится к двумерной, т.н. шестивершинной, модели, к-рая, в свою очередь, известна также как модель типа льда на квадратной решётке (см. Двумерные решёточные модели). Связь этих моделей позволяет использовать результаты, полученные для шестивершинной модели в случае XXZ-модели. Преимущество классич. двумерной шестивершинной модели перед одномерной квантовой A A Z-моделью заключается в том, что для решения двумерной модели удобно использовать метод трансфер-матрицы. [c.151]

Связи между атомами через водородные ионы образуют электрические диполи, так что их удобно представлять стрелками на линиях связи, направленными к тому концу связи, который занят ионом, как это показано на рис. 8.1,6. Тогда правило льда эквивалентно утверждению, что у каждого узла (вершины) решетки имеются две стрелки, направленные к нему, и две стрелки, направленные от него. Всего имеется шесть таких конфигураций стрелок (рис. 8.2). (Поэтому модели типа льда иногда называют шестивершинными моделями в противоположность восьмивершинной модели гл. 10.) [c.132]

Таким образом, мы имеем общую шестивершинную модель. [c.163]

Модель льда является таким частным случаем шестивершинной модели, или модели типа льда, для которого все. .., равны нулю, как в [c.168]

Полная восьмивершинная модель не решена, и ниже приводится решение только для модели без внешнего поля. В отличие от восьмивершинной модели шестивершинная модель может быть решена даже при ненулевом электрическом поле (разд. 8.12). [c.206]

Выражение (10.4.30) в точности совпадает с выражением (9.7.13) для шестивершинной модели, поэтому восьмивершинные операторы Ц, определенные с помощью формул (9.6.9), (10.2.3) и (10.4.22), также удовлетворяют соотношению звезда — треугольник (9.7.14). т. е. [c.218]

Так же как и для шестивершинной модели данное условие может быть ослаблено для специальных значений (4im/ - - 2гГ)/п параметра X, где т, [c.219]

Очевидно, что решение для, . .., Гдт аналогично решению (9.8.15) для шестивершинной модели. Если положить г = и принять А — О, [c.220]

Приведенное утверждение не вьшолняется только в том случае, если детерминанты всех возможных матриц Qj iv) тождественно равны нулю при всех к, X, f. Если эти детерминанты тождественно равны нулю, то они равны нулю и при / = О, что соответствует шестивершинной модели. Но мы знаем, что в последнем случае собственные значения трансфер-матрицы правильно определяются из предположения о несингулярности Qj (v) и что данное предположение может быть строго доказано. [c.223]

Этим завершается обобщение на восьмивершинную моЯЬль приведенных в разд. 9.5 свойств I — VI шестивершинной модели. Изложенный выше вывод проведен в тесной связи с выводом свойств шестивершинной модели в разд. 9.6 — 9.8. [c.225]

Неравенства (10.7.5) определяют область в пространстве (а, Ь, с, d). В случае восьмивершинной модели конфигурации, отвечающие данной области, аналогичны конфигурациям шестивершинной модели, принадлежащим области с антисегнетоэлектрическим упорядочением (область [c.228]

IV на рис. 8.5). Наибольшим больцмановским весом является вес с, поэтому в основном состоянии стрелки на решетке могут располагаться в двух возможных конфигурациях. Первая конфигурация показана на рис. 8.3, вторая получается из первой обращением всех стрелок. Используя обозначения шестивершинной модели, мы автоматически приходим к пониманию области, определяемой неравенствами (10.7.5), как архитипической области для восьмивершинной модели. [c.228]

Следовательно, поверхностное натяжение в шестивершинной модели задается формулами (10.10.10) и (10.10.8) в пределе q 0. Но поскольку данные выpaжeния не зависят от q, поэтому они дают полученный выше результат (8.10.3). Определение (10.7.9) величины х сводится к выражению [c.243]

Подобно результатам (10.10.8) и (10.10.10) для поверхностного натяжения данная формула не содержит q, поэтому она имеет один и тот же вид для восьмивершинной и шестивершинной моделей.) [c.244]

О < /Г < Vi, (В модели Изинга /Г = /2, в шестивершинной модели /Г = 0.) [c.245]

Данное выражение согласуется с результатом (8.10.9), полученным для шестивершинной модели (д = 0). В модели Изинга (д = с учетом [c.248]

Полученный простой результат можно понять по крайней мере двумя способами. Первый состоит в том, что выражения (10.2.11) — (10.2.15) можно использовать для отображения данной модели на шестивершинную модель в замороженном сегнетоэлектрическом состоянии (области I или II в разд. 8.10). Второй состоит в том, чтобы проверить справедливость равенства Vx = [Vi (а Ь с d)] x, где V — трансфер-матрица, л — вектор, все элементы которого равны единице такое вычисление особенно просто выполнить, если V заменить трансфер-матрицей, которая строит решетку по диагонали.) [c.250]

Существует три частных случая восьмивершинной модели, которые были решены до решения общей модели без внешнего поля модель Изинга [184], рассмотренная в гл. 7, модель свободных фермионов [83] и модель типа льда, или шестивершинная модель [157 — 159], рассмотренная в гл. 8. Указанные случаи связаны с XZ-, У-моделями и моделью Гейзенберга — Изинга соответственно. В каждой модели соответствующее критическое значение параметра равно О, тг/2 или тт. Эти частные случаи детально исследованы в работах [84, 123]. [c.272]

Шестивершинная модель и цепочка Гейзенберга - изинга [c.274]

Шестивершинная модель получается из восьмивершинной при d = О, поэтому из (10.15.1) следует Г = 1 и [c.274]

Особенно интересен второй случай, поскольку здесь к = . При этом восьмивершинная модель описывает критическое состояние. Значит, в данной фазе шестивершинной модели корреляционная длина равна бесконечности (для случая свободных фермионов в рамках шестивершинной модели последнее утверждение установлено точно [19]). Система не упорядочена только в том смысле, что спонтанная поляризация равна нулю. [c.274]

Наоборот, критическое состояние восьмивершинной модели можно отобразить на неупорядоченное состояние шестивершинной модели. [c.274]

Шестивершинная модель имеет два перехода — при А = +1 и при А = — 1. Первый переход имеет место в сегнетоэлектрических моделях, таких, как модель KDP. В этом случае из (10.16.8) видно, что параметр [c.274]

Тем не менее с математической точки зрения рассмотрение обобщений восьмивершинной модели на неоднородные системы может оказаться полезным. При вычислении спонтанной поляризации в шестивершинной модели антисегнетоэлектрика [29] широко использовалась такая форма зависимости собственных векторов трансфер-матрицы от величин. . . , Замечания, сделанные после формулы (10.17.2), играют ключевую роль в гл. 13 при установлении мультипликативных свойств угловых трансфер-матриц. [c.278]

Очевидное обобщение модели типа льда, или шестивершинной модели на квадратной решетке состоит в том, чтобы поместить стрелки на ребра треугольной решетки так, чтобы в каждом узле три стрелки были направлены к вершине, а три стрелки — от нее. При этом существует 20 возможных конфигураций стрелок на каждой вершине, поэтому такое обобщение модели льда известно как двадцативершинная модель. Каждой конфигурации соответствует вес о у, где ] = 1,. . . , 20. Статистическая сумма имеет вид [c.311]

Интригующим обстоятельством здесь является то, что анзац не применим даже для = 1 и = 2, в то время как свободную энергию в этих двух случаях можно подсчитать другими методами первый из этих случаев вообще тривиален, второй представляет собой модель Изинга. Следует заметить также, что эта эквивалентная модель Изинга соответствует значению параметра л, равному тг/4, в (8.8.1), т.е. в соотношении Д = — os/л. Это не согласуется с тем фактом, что модель Изинга эквивалентна также модели свободных фермионов, как показано в разд. 10.16. Модель свободных фермионов представляет собой восьмивершинное обобщение однород-ной шестивершинной модели сД = О и л = тг/2. Поэтому должна существовать какая-то связь между этими вершинкыми моделями с /х = тг/4 и )Lt = тг/2. [c.338]

Модель типа льда стала теперь шестивершинной моделью на решетке кагоме в отсутствие внешнего поля, что является частным случаем восьмивершинной модели, введенной в разд. 11.1, когда весовые множители ( 2, /з равны нулю. Далее, если условие (12.6.11) выполнено, то можно убедиться, что все шесть соотношений звезда — треугольник (11.1.7) удовлетворяются. [c.349]

В разд. 12.3 — 12.5 мы убедились, что модель Поттса в критических точках эквивалентна шестивершинной модели в отсутствие внешнего поля с весовыми множителями (12.5.2). Можно рассматривать это как частный случай восьмивершинной модели, для которой d = 0. Параметр А в [c.352]

То, что модель Эшкина — Теллера эквивалентна восьмивершинной модели с двумя подрешетками, является, конечно, интригующим обстоятельством. Во многих отношениях эта эквивалентность напоминает ту, которая была обнаружена в разд. 12.4 между моделью Поттса и шестивершинной моделью с двумя подрешетками. Действительно, вершинные модели в этих двух случаях могут быть сведены в одну, эквивалентную модели Поттса при д = 4 (которая является частным случаем модели Эшкина — Теллера с 1 = 2 = 3). [c.357]

Поскольку of = о, эта модель сводится к шестивершинной модели (фактически к F-модели). Пусть / — свободная энергия на один узел для модели ЭТ, определяемая так же, как в (1.7.6), а именно [c.359]

I Wj I, I W21, I W31, I W41, расположенной в порядке убывания, две средние величины равны. В этом случае можно воспользоваться соотношением симметрии (10.2.17) для отображения на шестивершинную модель типа рассмотренного в разд. 8.8, т.е. с -1 < А < 1. Критические показатели тогда даются (10.12.24). Их связь с восьмивершинной моделью обозначим верхним индексом 8 К кроме того, магнмгные показатели (связанные с введением поля -Н о ) будем отмечать индексом т. Электрические показатели (связанные с полем —EY, где i и j — соседние узлы) уже имеют у нас индекс е. Тогда, согласно (10.12.24), имеем [c.360]

В разд. 9.6 с помощью электрического языка стрелок на ребрах показано, что в шестивершинной модели две трансфер-матрицы коммутируют между собой, если выполняется соотношение звезда — треугольник (9.6.8). Этот результат обобщен на восьмивершинную модель в разд. 10.4, а в разд. 11.5 он сформулирован на магнитном языке изинговых спинов. [c.370]

В разд. 10.1 и 10.3 мы видели, что восьмивершинная модель содержит в качестве частных случаев решенные ранее модель Изинга и шестивершинную модель. Когда Ф. Ву и я решали в 1973 — 1974 гг. трехспиновую модель, казалось, что это новая модель. Однако, как было показано в разд. 11.10, данная модель также является частным случаем восьмивершинной модели. [c.450]

Шестивершинная модель см. Модель типа льда [c.481]

Рассмотрение вершинных моделей на квадратной решетке начинается в гл. 7 с метода Либа для диагонализации трансфер-матрицы общей шестивершинной модели, удовлетворяющей условию нейтральности. Исследование термодинамики различных моделей сегнетоэлектриков дано схематически, и по этому вопросу следует обратиться к развернутому обзору Либа и Ву. Решение восьмивершинной модели (самосопряженной) описано в гл. 8 и 9, где в основном используется метод Бакстера. Там же интегрируемость трансфер-матрицы или соответствующего гамильтониана с тремя константами анизотропии связывается с существованием тернарных соотношений между матрицами вершинных весов. Эти тернарные соотношения, называемые также соотношениями звезда — треугольник, представляют собой замечательные представления группы перестановок и приводят к существованию коммутирующих однопараметрических семейств операторов,-что, в свою очередь, влечет за собой интегрируемость. [c.10]

Шестивершинная модель, которой посвящена эта глава, представляет собой частный случай восьмивершинной модели на квадратной двумерной решетке, введенной Фаном и Ву (1970) и охватывающей обширный класс точно решаемых мо-делей классической статистической механики. Термодинамика шестивершинной модели изучена в настоящее время детально (Либ, 1967 Янг Ч. Н., Янг Ч. П., 1966), в случае восьми вершин это относится только к самосопряженной модели (Бакстер 1971Ь). [c.126]

Шестивершинная модель удовлетворяет условию льда. Это выражается в сохранении числа вертикальных стрелок при переходе от одного горизонтального ряда решетки к другому, или, иначе говоря, в сохранении г-компоненты спина [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...