Решетка Изинга

Метод Монте-Карло неоднократно применялся [41] для исследования родственных между собой дву- и трехмерных моделей решетки Изинга, решеточного газа, а также моделей, описывающих фазовое превращение порядок — беспорядок в бинарных сплавах. Мы, по сути дела, ограничимся лишь перечислением тех работ, которые нам известны, так как эти модели не имеют прямого отношения к теории жидкости. Исключение представляет модель решеточного газа с многими соседями, с помощью которой можно попытаться исследовать характер возможного фазового перехода в системах твердых дисков и твердых сфер к сожалению, эта модель очень слабо исследована методом Монте-Карло. [c.321]

В трехмерном случае методом Монте-Карло проводились расчеты фазового превращения порядок — беспорядок в бинарном сплаве АзВ с г.ц.к. структурой [29]. Этим методом были выполнены также расчеты для перехода порядок — беспорядок в бинарном сплаве с о.ц.к. структурой [27], а также расчеты простой кубической и о.ц.к решетки Изинга [20, 31, 36]. [c.323]

Фиг. 114. Топология одномерной решетки Изинга.

Фиг. 115. Намагниченность в одномерной решетке Изинга. Спонтанная намагниченность отсутствует.

Следовательно, одномерная решетка Изинга никогда не обнаруживает ферромагнетизма. Причина этого состоит в том, что при любой температуре средняя конфигурация определяется двумя противоположными и конкурирующими тенденциями тенденцией к полной упорядоченности спинов, когда энергия минимальна, и тенденцией к случайному их распределению, когда энтропия максимальна. (В целом обе эти тенденции ведут к минимизации свободной энергии А-=и—Т8.) В одномерной модели тенденция к упорядочению оказывается более слабой вследствие недостаточного числа ближайших соседей. [c.382]

Фиг. 116. Двумерная решетка Изинга.

Конечно, при температурах ниже температуры перехода в двумерной решетке Изинга возникает спонтанный магнитный порядок (см. 5.7). Подтверждающие это соображение размерности также принадлежат Пайерлсу. Рассмотрим, как и раньше, домен с перевернутыми спинами (рис. 2.12), граница которого пересекает Ь линий обменного взаимодействия между соседями чтобы создать такой домен, надо затратить энергию 2LJ. Сколько может быть [c.66]

Предположим вместо этого, что специфические связи в решетке Изинга мало влияют на характер фазового перехода на кривой теплоемкости. При этом должна оказаться очень полез- [c.173]

Решетка Изинга 173 Ротоны 361, 374, 378—381, 391 [c.403]

На первый взгляд неясно, как ввести температуру в модель Изинга. В идеальном газе температура определяется средней кинетической энергией хаотического движения молекул. Но стрелки перемещаться не могут, а фиксированы в своем узле решетки. Поэтому, чтобы понять влияние температуры на ориентацию магнитиков, мы применим искусственный прием. Представим себе, что придуманные нами магнитные стрелки (которых на самом деле нет, так как они просто указывают направление магнитного поля [c.113]

В действительности мы имеем дело с хорошо замаскировавшейся моделью Изинга Посудите сами там в узлах жесткой бездефектной кристаллической решетки размещались магнитные стрелки двух направлений, здесь — шары двух цветов. Стрелки между собой взаимодействовали, но и атомы поступают точно так же. Между двумя моделями есть, конечно, и разница. В модели Изинга стрелки переворачивались, т. е. менялись концентрации стрелок, направленных вверх и вниз. А вот шары — не хамелеоны и менять свой цвет не умеют. Концентрация обоих компонентов строго фиксирована. Тем не менее это различие не решающее (в конце этого параграфа мы покажем почему), и сходство оказывается настолько глубоким, что предложенная нами модель сплава называется изинговской. [c.165]

Если вам встречается модель с двумя характерными чертами 1) имеется жесткая бездефектная кристаллическая решетка 2) каждый узел решетки может находиться в одном из двух возможных состоящие (два направления магнитных стрелок, два сорта атомов и т. д.), то ни секунды не сомневайтесь перед вами модель Изинга. [c.169]

Целесообразно поэтому рассмотреть некоторые модели, которые допускают точные решения, т. е. такие, для которых статистические суммы канонического или большого канонического распределения Гиббса могут быть найдены без всяких приближений. Первой мы рассмотрим одномерную магнитную модель Изинга, т. е. одномерный кристалл , на котором расположены на равных расстояниях узлы (общее число узлов /V 1). В узлах решетки находятся магнитные диполи с магнитным моментом рв- Проекция магнитного момента на направление внешнего магнитного поля Н, которое мы будем считать постоянным и однородным, может принимать два значения рв Мы будем считать, что взаимодействуют друг с другом только соседние диполи, и обозначим через е и е энергии взаимодействия двух диполей с параллельными и антипараллельными магнитными моментами соответственно. При // = 0, в случае, когда е < е, параллельная ориен- [c.434]

Крупным достижением статистической механики явилось опубликование в 1944 г. работы Онсагера, содержащей точное решение двумерной d = 2) проблемы Изинга для квадратной решетки с взаимодействием ближайших соседей в отсутствие магнитного поля. Впервые в истории Онсагеру удалось дать точно решаемую модель, в которой в термодинамическом пределе N <х> действительно происходит фазовый переход. Оригинальная работа Онсагера очень трудна для восприятия, поскольку в ней использованы весьма сложные математические методы. С тех пор были найдены гораздо более простые методы решения задачи, но их результаты все еще достаточно сложны и не будут приводиться здесь. Интересующимся читателям мы рекомендуем обратиться к книгам Ландау и Лифшица или Стенли, где изложено простое решение двумерной проблемы Изинга, полученное Вдовиченко. [c.360]

Чтобы выполнить эту широко задуманную программу, Вильсон снова рассмотрел систему спинов. Однако оказалось, что простая модель Изинга недостаточно гибка (т. е. не содержит достаточного числа параметров) для того, чтобы удовлетворить всем условиям для таких исследований требуется более общая модель. Прежде всего было введено предположение, что индивидуальные спины могут принимать любые действительные значения, заключенные между —оо и +оо (вместо всего двух значений —1 и +1). Кроме того, дискретная решетка была заменена идеализированным непрерывным распределением спинов по всему пространству. Такое приближение должно быть допустимым для явлений дальнего порядка, захватывающих большое число решеточных узлов, что, очевидно, и имеет место в случае критических явлений. Следовательно, вместо счетного набора динамических переменных Sr, нумеруемых дискретными радиус-векторами узлов решетки г, мы имеем теперь непрерывный набор спиновых переменных, которые задаются в каждой точке пространства, т. е. система описывается спиновым полем s (х). Поле s (х), как и любую [c.387]

По многим причинам неупорядоченное расположение атомов или молекул разного сорта в кристаллах представляет большой интерес для широкого круга ученых. Для физика-теоретика оно представляет один из примеров задачи упорядочения в трехмерной решетке подобно упорядочению спинов в ферромагнетике. Анализ упорядочения с точки зрения статистической механики начинается с идеализированной модели Изинга и не идет дальше приближенных или асимптотических решений [43]. [c.367]

В соответствии с нашими целями определим ферромагнетик как решетку, в которой расположены спины. В настоящей главе нас особенно будут интересовать две модели ферромагнетиков — модель Изинга и модель Гейзенберга. В общем случае мы можем записать гамильтониан взаимодействия между спинами в виде [c.346]

Ферромагнетик Изинга содержит N частиц со спином Пусть М+ Н )—число спинов с 2-компонентой -V2 (—V2), и пусть спины, направленные вверх и вниз, распределены по решетке случайным образом. Пусть величина [c.351]

Рассматриваемая в модели Изинга [35] система представляет собой распределение N фиксированных точек, называемых узлами решетки, которые образуют я-мерную периодическую решетку (я=1, 2, 3). Геометрическая структура решетки может быть, например, кубической или гексагональной. Каждому узлу решетки сопоставляется спиновая переменная (/ = 1.. . ., М), которая принимает численные значения либо - -1, либо —1. Никаких других переменных не существует. Если = то говорят, что /-Й узел имеет спин, направленный вверх, если же 5 = — 1, то спин /-го узла считают [c.361]

Чтобы установить соответствие между решеточным газом и моделью Изинга, положим, что занятые узлы решетки соответствуют узлам со спином, направленным вверх, а пустые узлы—узлам со спином, направленным вниз. Тогда В модели Изинга набор чисел [c.366]

Энергия некоторой конфигурации спиновой решетки в модели Изинга зависит не от деталей распределения спинов в решетке, а только от двух чисел и отражающих определенные [c.369]

Изучением термодинамики квантовых решеточных систем занимался Робинсон [326, 327], который доказал две следующие теоремы )- Пусть //(О) е Э (О) — гамильтониан, определенный для конечной системы 2 (рассматриваемой независимо от остальной части решетки). Например, в модели Изинга [c.380]

Рис, 1.4. Функция подобия Ь х) для модели Изинга на квадратной решетке [97]. [c.12]

Если число соседей бесконечно велико, система становится эффективно бесконечномерной. Примером может служить система, описываемая моделью среднего поля, которая обсуждается в гл. 3. В гл. 4 рассматривается модель Изинга на решетке Бете. Эта решетка обладает тем свойством, что число узлов, посещаемых за п шагов, растет экспоненциально с ростом п. Это более быстрый рост, чем независимо от значения поэтому такая модель также бесконечномерна. [c.20]

Большинство моделей, обсуждаемых в этой книге, можно рассматривать как частные случаи обобщенной модели Изинга, которую в свою очередь можно считать моделью магнетика. Представим себе магнетик, состоящий из молекул, расположенных в узлах регулярной решетки. Предположим, что имеется /V таких узлов, пронумерованных индексами / = 1,. . . , /V. [c.21]

Значения критических показателей (1.10.2), (1.10.4), (1.10.7) называют классическими. Они удовлетворяют соотношениям (1.2.12) и (1.2.13) и совпадают со значениями, получаемыми для простой бесконечномерной модели среднего поля и модели на решетке Бете (гл. 3 и 4). Они не соответствуют точным значениям для модели Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями в случае двух и трех измерений, но, как сейчас полагают ([901, с. 607), являются правильными для четырех и более измерений. [c.39]

МОДЕЛЬ ИЗИНГА НА РЕШЕТКЕ БЕТЕ [c.55]

Еще одна простая модель, которая может быть решена точно, — это модель Изинга (или любая модель с взаимодействием между ближайшими соседями) на решетке Бете. Так же как и модель среднего поля, она эквивалентна приближенному рассмотрению некоторой модели, допустим, на квадратной или кубической решетке [53]. Но она может быть определена как точно решаемая модель, и это как раз то, что мы собираемся сделать. [c.55]

Внутренняя энергия решетки Изинга в отсугствие магнитного поля дается выражением [c.377]

I. Г 00, или Н - 0. При этом г о, 0 0 и согласно (80.15) М также стремится к нулю. Так как это следствие справедливо при любых температурах, если Я = 0, то в одномерной цепочке Изинга ферромагнетизм невозможен. Физически это объясняется тем, что при малом числе соседей в одномерной цепочке — два ближайших соседа шместо четырех в плоской решетке — тенденция к корреляции в расположении магнитных моментов недостаточна для возникновения спонтанного намагничения. [c.437]

Модель Изинга допускает кроме магнитной и иные физические интерпретации. Допустим, что каждый узел решетки может быть занят либо атомом сорта А (а / = 1), либо атомом сорта В (а— 1), причем взаимодействуют друг с другом только соседние атомы. Мы будем при этом считать, что одномерная цепочка находится в растворб, содержащем большое число атомов и того и другого сорта, которые могут адсорбироваться узлами цепочки, так что числа атомов в узлах решетки Яд и Яв не фиксированы, а заданной является только сумма Яд + Яв = Я. В такой интерпретации мы переходим к уже известному нам бинарному сплаву (одномерному). Обозначим через аа, вв> ав энергии взаимодействия двух соседних атомов сорта А друг с другом, сорта В друг с другом и атома А с атомом В соответственно. Имеем тогда для энергии конфигурации Е С) выражение [c.438]

Что касается удельной теплоемкости в постоянном поле, то для нее теория Вейсса также предсказывает конечный скачок. Следовательно, как указывалось выше, все соответствующие друг другу величины ведут себя в окрестности критической точки одинаково в обеих так называемых классических теориях. Это не случайно. Действительно, главная физическая идея, лежащая в основе обеих моделей, заключается в существовании далънодействующих сил. Кац очень изящно показал, что если мы рассмотрим простую решетку с одномерными спинами (модель Изинга, см. разд. 10.2), в которой все спины взаимодействуют одинаково независимо от их взаимного расстояния, то мы получим в точности уравнение состояния Вейсса. Следовательно, теории ВдВ и Вейсса являются, так сказать, изоморфными . Аналогия двух теорий очень ясно проявляется также в теории фазовых переходов Ландау. Ландау исходит из выражения для свободной энергии и разлагает ее в окрестности критической точки делая сходные допущения, при этом можно получить либо теорию ВдВ, либо теорию Вейсса. Из-за недостатка места мы не будем подробно рассматривать здесь теорию Ландау, прекрасное изложение которой можно найти в ряде книг (см., однако, разд. 10.4). [c.346]

Трехмерная проблема Изинга не может быть решена точно даже в отсутствие магнитного поля. Однако в последние годы для решения проблемы были развиты численные методы, позволяющие получать чрезвычайно точные анпроксимации. Их идея состоит в вычислении коэффициентов разложений в ряды Тейлора, пригодных либо при высоких, либо при низких температурах. Эти коэффициенты получаются с помощью диаграммных методов, приводяш их к чрезвычайно сложным комбинаторным задачам. Прогресс в этой области был достигнут лишь благодаря использованию ЭВМ. В настоящее время во многих случаях приходится иметь дело с очень длинными рядами (в некоторых задачах они насчитывают от 30 до 80 членов). Затраты большого труда на вычисление таких длинных рядов не обусловлены просто прихотью. Оказывается, что коэффициенты в этих рядах принимают чрезвычайно нерегулярные значения если же ряды вообще сходятся, то они сходятся очень медленно. Чтобы дать представление об этом, приведем первые члены низкотемпературного разложения (по степеням и = е в ) намагниченности в нулевом поле для модели Изинга с d = 3 в случае гранецентрированной решетки (это разложение было получено Фишером в 1965 г.) [c.360]

Прежде чем переходить к другим вопросам, заметим, что модель Изинга может дать также схематическое описание жидкости. Действительно, рассмотрим так называемый решеточный гол. Представим себе, что физическое пространство разделено на большое число ячеек, центры которых, расположенные в узлах решетки, пронумерованы. В каждой ячейке может располагаться одна и только одна молекула (это условие отображает наличиетвердого ядра, размер которого, таким образом, равен размеру ячейки). Состояние системы, следовательно, задается числом заполнения каждой ячейки, причем = 1, если ячейка заполнена, и = О, если она пуста. Предполагая, что суш,ествует постоянный потенциал взаимодействия, равный —если оба соседних узла заняты, легко показать, что большая статистическая сумма такой системы имеет вид [c.361]

В качестве предварительного шага к получению точного решения для двумерной модели Изинга сформулируем модель в матричном виде. Рассмотрим квадратную решетку из N = п спииов, состоящую из п строк и п столбцов, как показано на фиг. 116. Представим [c.383]

При Т, незначительно меньших Тиз уравнения (33.60) следует, что спонтанная намагниченность меняется как Т — Ту/ независимо от размерности решетки (см. задачу 6). Этот вывод находится в резком противоречии с известным результатом, заключаюш,емся в том, что М (Т — Т) , где = /g для двумерной модели Изинга, а для большинства реальных и модельных систем в трехмерном случае V3. Отметим, однако, что и здесь согласие с результатами теории молекулярного поля улучшается с ростом размерности ). [c.332]

Если рассматривать полную статистическую сумму, то мы приходим к модели Изинга на дереве Кейли . Эта задача была решена [77, 172, 203], и оказалось, что она имеет весьма необычные свойства. Тем не менее мы не будем рассматривать эту задачу. Вместо этого мы рассмотрим только вклад в Z, происходящий от узлов, лежащих глубоко внутри графа, т. е. от решетки Бете. [c.56]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...