Изинга модель энергия

Очевидно, что в модели Изинга энергетически выгодно параллельное расположение соседних стрелок, А минимальную энергию имеют конфигурации, в которой все стрелки направлены в одну сторону (рис, [c.113]

На первый взгляд неясно, как ввести температуру в модель Изинга. В идеальном газе температура определяется средней кинетической энергией хаотического движения молекул. Но стрелки перемещаться не могут, а фиксированы в своем узле решетки. Поэтому, чтобы понять влияние температуры на ориентацию магнитиков, мы применим искусственный прием. Представим себе, что придуманные нами магнитные стрелки (которых на самом деле нет, так как они просто указывают направление магнитного поля [c.113]

Согласно формуле Гиббса наиболее вероятны конфигурации с наименьшей энергией. В случае модели Изинга из N стрелок их две. [c.117]

В модели Изинга крупными квадратами являются два самых вероятных состояния. Несколько больше энергия (и соответственно меньше вероятность) у состояний с одним перевернутым магнитиком. Зато их 2N, т. е. намного больше. Если вести внимательный подсчет и дальше, то увидим, что по мере возрастания энергии растет и число конфигураций, ею обладающих. [c.117]

Теперь зададимся вопросом какова вероятность того, что энергия модели Изинга при температуре Г, (в равновесии) равна E > Это простое упражнение на правило сложения вероятностей. Для ответа следует просуммировать вероятности всех конфигураций с этой энергией. Обозначим их число через W E). Тогда [c.118]

Закон о реализации конфигураций с минимальной свободной энергией относится, конечно, не только к модели Изинга, но и к любым атомным и молекулярным системам с большим числом частиц. Формула Больцмана позволяет рассчитать энтропию и тем самым свободную энергию. Минимальное значение последней определяет то, что мы увидим или измерим в эксперименте. Как выполняется эта программа, мы покажем в следующем параграфе, а пока еще раз повторим главное. [c.119]

Жизнь атомных коллективов находится под неослабным контролем двух властительниц — энергии и энтропии. Энергия организует атомные объекты, стремится придать им черты упорядоченности. Будь се воля, все магнитики модели Изинга всегда бы смотрели в одну сторону. Но у нее есть не менее могущественная конкурентка. Энтропия, наоборот, стремится всячески дезорганизовать энергетический порядок. Ее девиз — беспорядок, хаос. Все события атомного мира сводятся к вечному перетягиванию каната . Спор энергии с энтропией не кончается никогда. [c.119]

Целесообразно поэтому рассмотреть некоторые модели, которые допускают точные решения, т. е. такие, для которых статистические суммы канонического или большого канонического распределения Гиббса могут быть найдены без всяких приближений. Первой мы рассмотрим одномерную магнитную модель Изинга, т. е. одномерный кристалл , на котором расположены на равных расстояниях узлы (общее число узлов /V 1). В узлах решетки находятся магнитные диполи с магнитным моментом рв- Проекция магнитного момента на направление внешнего магнитного поля Н, которое мы будем считать постоянным и однородным, может принимать два значения рв Мы будем считать, что взаимодействуют друг с другом только соседние диполи, и обозначим через е и е энергии взаимодействия двух диполей с параллельными и антипараллельными магнитными моментами соответственно. При // = 0, в случае, когда е < е, параллельная ориен- [c.434]

Чтобы войти в суть дела, рассмотрим модель Изинга, определяемую гамильтонианом (10.2.2) и статистической суммой (10.2.3). Ее термодинамические свойства характеризуются свободной энтальпией (энергией Гиббса) [c.372]

Используя вариационный принцип, показать, что при одинаковой температуре свободная энергия Гельмгольца модели Гейзенберга не больше, чем свободная энергия модели Изинга. [c.247]

Энергия некоторой конфигурации спиновой решетки в модели Изинга зависит не от деталей распределения спинов в решетке, а только от двух чисел и отражающих определенные [c.369]

В одномерной модели Изинга рассматривается цепочка из N спинов, причем каждый спин взаимодействует только со своими двумя ближайшими соседями и с внешним магнитным полем. Энергия [c.379]

Следовательно, одномерная решетка Изинга никогда не обнаруживает ферромагнетизма. Причина этого состоит в том, что при любой температуре средняя конфигурация определяется двумя противоположными и конкурирующими тенденциями тенденцией к полной упорядоченности спинов, когда энергия минимальна, и тенденцией к случайному их распределению, когда энтропия максимальна. (В целом обе эти тенденции ведут к минимизации свободной энергии А-=и—Т8.) В одномерной модели тенденция к упорядочению оказывается более слабой вследствие недостаточного числа ближайших соседей. [c.382]

Обращение знака И эквивалентно замене х на обратную величину, что не меняет (4.6.8). Так как свободная энергия / должна быть четной функцией Нщ отсюда следует, что формула (4.6.8) верна при всех действительных значениях /7. Вместе с уравнением (4.5.1) для х она определяет свободную энергию на один узел в модели Изинга на решетке Бете. [c.63]

В разд. 11.7 будет показано, что в случае модели Изинга можно полностью избежать применения формализма трансфер-матрицы свободная энергия получается с помощью одного лишь соотношения звезда — треугольник и его следствий [c.91]

Это главный результат данной главы — свободная энергия модели Изинга на квадратной решетке в термодинамическом пределе. [c.115]

На рис. 10.4 видно, что в последнем случае рассматриваемая модель Изинга распадается на две невзаимодействующие друг с другом модели Изинга на квадратных подрешетках, на каждой из которых взаимодействуют только ближайшие соседи. Соответствующие подрешетки показаны на рис. 10.4 темными и светлыми кружками. Эти две модели тождественны. Энергии взаимодействия между соседними узлами в них равны У вдоль одного направления и J вдоль другого. Отсюда следует, [c.212]

Данные веса определяются выражением (11.5.6). Поскольку коэффициент Ау равен нулю, восьмивершинная модель на квадратной решетке разбивается на две невзаимодействующие модели Изинга на соответствующих подрешетках. Выбирая каждую величину М - равной единице, из (10.3.11) находим, что функция равна приходящейся на один узел свободной энергии модели Изинга с коэффициентами К- на квадратной решетке. [c.298]

Для модели Изинга с коэффициентами взаимодействия А у, Kj на квадратной решетке функция ф зависит только от этих коэффициентов. Обозначим ее через ф Q(KJ, Кр. Аналогично для модели Изинга с коэффициентами К2, А з на треугольной решетке безразмерную свободную энергию обозначим через фJ( К[, А 2 Тогда из формул (11.7.10) — (11.7.12) следует [c.298]

Используя формулу (11.7.9) и вспоминая, что шестиугольная решетка имеет 27У узлов, для безразмерной свободной энергии, приходящейся на один узел такой решетки, в модели Изинга с коэффициентами К[, А , А з получаем выражение [c.298]

Мы можем произвольно выбирать величины К[, Щ или Л 2 з поэтому формулы (11.7.13) или (11.7.14) позволяют вычислить свободную энергию модели Изинга на любой регулярной треугольной или шестиугольной решетке. Другие параметры определяются тремя уравнениями (11.7.2) и выражением (11.7.8). [c.299]

Точки неаналитичности свободной энергии (критич. точки) могут либо быть стационарными точками Д. п. Т =Тс. либо переходить одна в другую если их несколько). В модели Изинга и ферромагн. моделях Поттса Т Тс — единств, точка фазового перехода, в моделях Березинского — Виллэна две крптич. точки. В калибровочной модели Изинга темн-ра перехода также определяется соотношением самодуальности. [c.22]

Конфигурац, энергия парных взаимодействий атомов — ближайших соседей в бинарном твёрдом растворе или сплаве может быть записана в виде продольной (изинговской) части КСГ (4) с S Va (Э. Изинг, 1925). Оператор квависпина описывает два состояния, соответствуюпдих заполнению данного узла атомом одного или другого типа роль обменного интеграла играет энергия упорядочения. На основе этой модели можно описать фазовый переход типа порядок — беспорядок (/ > 0) с образованием сверхрешётки или распадение на две фазы разл. состава. [c.644]

Свободная энергия модели Изинга определяется наибольшим из двух собств. значений трансфер-матрицы. Однако при Т=Н=а оба собств. значения совпадают, обращая при этом корреляц. длину в бесконечность. Это означает, что в одномерной модели Изинга точка Т=Н=0 является критической точкой. Полученный результат есть следствие общей теоремы теории фазовых переходов, согласно к-рой дальний порядок (см. Дальний и ближний порядок) в системе возникает только тогда, когда наибольшее собств. значение трансфер-матрицы асимптотически вырождено. Такое поведение согласуется также с тем, что для одномерных систем с взаимодействием конечного радиуса вклад в свободную энергию от энтропийного слагаемого преобладает, и упорядоченное состояние оказывается термодинамически неустойчивым. В случае же с бесконечным радиусом взаимодействия собств. значения трансфер-матрицы становятся вырожденными, что соответствует фазовому переходу. Каждый спин системы при этом взаимодействует со всеми остальными спинами, так что вся цепочка представляет собой единый кластер, т. е. модель преобразуется в решётку с бесконечным координац. числом (т. н. бесконечномерная модель), для к-рой точным оказывается среднего поля приближение. [c.151]

Модель Изинга допускает кроме магнитной и иные физические интерпретации. Допустим, что каждый узел решетки может быть занят либо атомом сорта А (а / = 1), либо атомом сорта В (а— 1), причем взаимодействуют друг с другом только соседние атомы. Мы будем при этом считать, что одномерная цепочка находится в растворб, содержащем большое число атомов и того и другого сорта, которые могут адсорбироваться узлами цепочки, так что числа атомов в узлах решетки Яд и Яв не фиксированы, а заданной является только сумма Яд + Яв = Я. В такой интерпретации мы переходим к уже известному нам бинарному сплаву (одномерному). Обозначим через аа, вв> ав энергии взаимодействия двух соседних атомов сорта А друг с другом, сорта В друг с другом и атома А с атомом В соответственно. Имеем тогда для энергии конфигурации Е С) выражение [c.438]

В модели Изинга фазовый переход обладает симметрией, ко-юрая выражается в том, что поле является нечетной функцией магнитного момента, а свободная энергия и энтропия — четными функциями. Модель решеточного газа, как и изоморфная модель Изинга, имеет такую же симметрию зависимость h от Ц на изотермах является антисимметричной функцией, а плотности сосуществующих фаз симметричны относительно критической изохоры. [c.113]

Что касается удельной теплоемкости в постоянном поле, то для нее теория Вейсса также предсказывает конечный скачок. Следовательно, как указывалось выше, все соответствующие друг другу величины ведут себя в окрестности критической точки одинаково в обеих так называемых классических теориях. Это не случайно. Действительно, главная физическая идея, лежащая в основе обеих моделей, заключается в существовании далънодействующих сил. Кац очень изящно показал, что если мы рассмотрим простую решетку с одномерными спинами (модель Изинга, см. разд. 10.2), в которой все спины взаимодействуют одинаково независимо от их взаимного расстояния, то мы получим в точности уравнение состояния Вейсса. Следовательно, теории ВдВ и Вейсса являются, так сказать, изоморфными . Аналогия двух теорий очень ясно проявляется также в теории фазовых переходов Ландау. Ландау исходит из выражения для свободной энергии и разлагает ее в окрестности критической точки делая сходные допущения, при этом можно получить либо теорию ВдВ, либо теорию Вейсса. Из-за недостатка места мы не будем подробно рассматривать здесь теорию Ландау, прекрасное изложение которой можно найти в ряде книг (см., однако, разд. 10.4). [c.346]

Отклонение свободной энергии йббса (() = -р5 ) от значения ее для идеальных растворов Од изучалось в рамках хвазихимичеоко-го приближения модели Изинга [12]. Согласие с экспериментальными значениями, полученными из равновесных давлений паров смеси, очень хорошее. Аятиферромагнитный вариант модели Изинга ( 7< 0) отвечает, согласно формуле (64), случаю 2>2 2 деЯстви- [c.21]

При квазиклассич. описании Ф. взаимодействие, приводящее к Ф., учитывают введением молекулярного поля (модель Изинга, см. Кооперативные явления). В простейшей модели газа из N электронных спинов их можно разбить, соответственно двум возможным проекциям спина, на г правых и N—г = I левых . Отпосит. намагниченность системы вправо равна у = (г — 1)/ . Энтропия газа при пренебрежении взаимодействием между спинами равна S (у) — к 1п (УУ /г П) (к — Больцмана посто.чнная). Если энергия газа и не зависит от у, то свободная энергия равна [c.306]

Однако вблизи критической точки до сих пор приходится ограничиваться экстраполяцией высокотемпературного и низкотемпературного разложения исключение составляет двумерная модель Изинга с взаимодействием только между ближайшими соседями ). В этом единственном случае для нескольких простых решеток (например, квадратной, треугольной, шестиуго.чьной) известно точное выражение для свободной энергии в нулевом магнитном поле и для спонтанной намагниченности -). Следует подчеркнуть, что получение этих результатов представляет собой одно из наиболее впечатляющих достижений теоретической физики, хотя для построения решаемой с таким трудом модели и пришлось пойти на значительные упрощения. [c.327]

Имеется очень небольшое число двумерных моделей, которые были решены (т.е. вычислена их свободная энергия) в частности, это модели Изинга, сегнетоэлектрическая, восьмивершинная и трехспиновая. Все они физические в том смысле, что включают взаимодействия только ограниченного радиуса, и все имеют критическую точку. Основное внимание в этой книге будет уделено именно этим моделям. [c.21]

Рассмотрим модель Изинга, состояшую из N узлов, расположенных вдоль одной линии и пронумерованных по порядку индексами j = 1,..., 7V (рис. 2.1). Тогда энергия этой системы, согласно (1.7.2), (1.7.3) и (1.8.1), описывается выражением [c.40]

Как уже отмечалось выше, трудность, связанная с деревом Кейли, состоит в том, что оно неоднородно, т. е. имеет значительное число граничных или соседних с границей узлов, свойства которых отличаются от свойств внутренних узлов. Но все узлы, расположенные глубоко внутри графа, имеют одинаковую локальную намагниченность М и потому одну и ту же локальную свободную энергию /, определяемую выражением (4.6.5). Таким образом, эта свободная энергия является свободной энергией модели Изинга на решетке Бете. Она вычисляется путем приравнивания д. = д, [c.63]

Свободная энергия двумерной модели Изинга в отсутствие внешнего поля впервые была вычислена Онсагером [184] в 1944 г. Он диагонализировал трансфер-матрицу, используя неприводимые представления соответствующей матричной группы. Его студентка Брурия Кауфман упростила этот вывод в 1949 г. [143], показав, что трансфер-матрица принадлежит к группе спинорных операторов. [c.93]

За исключением множителя exp(NL), выражение (10.13.8) представляет собой статистическую сумму модели типа Изинга на квадратной решетке, показанной на рис. 10.6 с помощью светлых кружков и пунктирных линий, с диагональными и четырехспиновыми взаимодействиями между ближайшими соседями. Это в точности совпадает с формулировкой восьмивершинной модели (10.3.1), причем энергии взаимодействия 7 и 7 задаются выражениями [c.260]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...