Пространственные группы эквивалентность

Эквивалентность двух пространственных групп решетки Бравэ — более тонкое понятие, чем эквивалентность двух точечных групп (хотя они оба и сводятся к понятию изоморфизма в абстрактной теории групп). Операции двух одинаковых пространственных групп могут все же отличаться в несущественных деталях, поэтому нельзя просто сказать, что две пространственные группы эквивалентны, если они содержат одни и те же операции. Например, две простые кубические решетки Бравэ с различными постоянными решетки а та а принято считать имеющими одинаковые пространственные группы, несмотря на то, что в одном случае шаг трансляций равен а, а в другом а. Сходным образом желательно было бы считать, что независимо от значения с/а, которое, очевидно, не влияет на полную симметрию структуры, пространственные группы всех простых гексагональных решеток Бравэ тождественны. [c.122]

Строение и дефекты твердых тел. Кристаллическая решетка — это присущее кристаллическому состоянию вещества регулярное расположение частиц (атомов, ионов, молекул), характеризующееся периодической повторяемостью, в трех измерениях. Полное описание кристаллической решетки дается пространственной группой, параметрами элементарной ячейки, координатами атомов в ячейке. В этом смысле понятие кристаллической решетки эквивалентно понятию атомарной структуры кристалла. Русский ученый Е. С. Федоров почти на 40 лет раньше, чем были найдены методы рентгеноструктурного анализа, рассчитал возможные расположения частиц в кристаллических решетках различных веществ. Он подразделил кристаллы на 32 класса симметрии, объединяющих 230 возможных пространственных групп. Кристаллы могут различаться по двойному лучепреломлению, по пьезо- и пироэлектрическим свойствам, образованию адсорбционных центров, работе выхода электронов и т. п. [c.11]

Запишем координаты эквивалентных общих положений для некоторой пространственной группы [c.9]

Пространственная группа — это набор преобразований типа (3.1), переводящих кристалл в его реплику путем конгруэнтного отображения. Иначе можно сказать, что пространственную группу составляет набор операторов преобразований типа (6.1) (каждому преобразованию соответствует один оператор), которые переводят эквивалентные точки гиг конфигурационного пространства друг в друга. [c.35]

Основное различие между методом полной группы и методом подгруппы касается той наиболее существенной части преобразований, которая необходима для нахождения коэффициентов приведения. В методе полной группы, обсуждаемом в 52—60, рассматривается полная пространственная группа и ее неприводимые представления )( Эти представления и используются для нахождения соответствующих коэффициентов приведения. Метод подгруппы сводится, насколько это возможно, к изучению только одной подгруппы ( ) и ее допустимых неприводимых представлений Поскольку представления можно найти методом индукции из представлений )( )(т) оба метода должны приводить, если они используются правильно, к эквивалентным результатам. [c.161]

Из 230 пространственных групп 73 являются простыми. В простых пространственных группах все элементы симметрии соответствующей точечной группы направлений в кристалле одновременно являются и элементами симметрии пространственной группы. Следовательно, операции симметрии точечной группы переводят в эквивалентные не только направления, но и все точки кристалла, т. е. точечная группа является подгруппой пространственной группы. [c.25]

Простейшая структурная единица — монада — состоит из одного звена с элементами кинематических пар. Существуют три модификации пространственных монад (рис. 3.2) с элементами кинематических пар 1-го и 5-го, 2-го и 4-го или с двумя кинематическими парами 3-го классов. Если в пространственной монаде высшую кинематическую пару заменить эквивалентным ей в структурном отношении кинематическим соединением, состоящим из кинематической цепи с кинематическими парами более высоких классов, то полученные кинематические цепи будут обладать свойствами структурных групп. Например, монаде с парами 1-го к 5-го классов (рис. 3.3, а) будет эквивалентна двухзвенная кинематическая цепь с парами 3-го, 4-го и 5-го классов (рис. 3.3, б). [c.25]

Как выяснилось из содержания примера п. 14, для облегчения учета общего динамического эффекта, производимого отдельными звеньями машины, бесчисленное множество сил инерции, связанных с различными материальными точками каждого из звеньев, удобно объединять в равнодействующие или эквивалентные системы сил и пар, сводящиеся в отдельно.м звене к одной или нескольким силам или силам и паре. Как было отмечено в разделе о структуре механизмов (см. т. 1), звенья машин в общем случае совершают пространственные движения. Механизмы машин с пространственным движением звеньев относят к группе пространственных механизмов. Но наиболее распространенным движением звеньев как в плоских, так и в пространственных механизмах является плоское движение, которое может быть поступательным, вращательным и сложно- [c.76]

Для построения системы эквивалентных гибридных орбиталей применяется спец. аппарат теории групп. Этот метод применим и в тех случаях, когда не все образуемые атомом связи эквивалентны. Недостаток метода — неоднозначность получаемых результатов, поскольку одна и та же пространственная конфигурация связей, как правило, может осуществляться на основе неск. электронных конфигураций и, наоборот, для одной электронной конфигурации возможны разл. расположения связей. В таких случаях выбор гибридизации и конфигурации связей определяется дополнит, факторами (найм, отталкивание присоединённых атомов, прочность образуемых связей и пр.). [c.454]

Напомним теперь свойство операторов поворота с чертой они преобразуют к в вектор, эквивалентный —к. Произведение К на поворот с чертой относится к пространственно-временной точечной группе в точке к. Повторим теперь соображения-ассо- [c.282]

Пространственные группы симметрии определяют правильные системы точек, которые образуются из одной точки, находящейся в общем положении, т. е. не расположенной на элементе симметрии, приложением к ней всех преобразований симметрии данной группы. Точки n Tj эквивалентные по точечной группе, являются вершинами многогранника, называемого изогоном. [c.153]

Если начертить схемы эквивалентных точек, а по ним — схемы расположения элементов симметрии, то можно увидеть, что пространственная группа будет Ibam, ее иногда обозначают еще и как I n [47]. [c.104]

NbBe3 имеет ромбоэдрическую решетку, относящуюся к пространственной группе R3m-, а = 7,495 0,007 А, а = 35,43 0,04° эквивалентная гексагональная элементарная ячейка имеет следующие размеры а 4,561 0,005 А, с = 21,05 0,02 А [2]. Данное соединение не наблюдали в работе [3] при исследовании диффузионной пары. [c.190]

NbaBei, имеет ромбоэдрическую решетку, относящуюся к пространственной группе R3ni а = 5,599 А, сс = 82,84°. Эквивалентная гексагональная элементарная ячейка имеет следующие размеры а = 7,409 А, с = 10,84 А [4]. Темпе-, ратура плавления соединения неизвестна, но, вероятно, она выше 1700° С [11]. [c.191]

Физическая интерпретация (71.24) состоит в том, что это соотношение устанавливает связь значений одного и того же тензора, а именно физического тензора силовых постоянных [Ф], в двух совокупностях эквивалентных точек, связанных операциями пространственной симметрии. Используя (71.24), можно определить минимальный набор ненулевых элементов матрицы силовых постоянных (параметров связи) для любой заданной пространственной группы, придавая операции симметрии ф т(ф) значения либо всех элементов группы , либо по меньшей мере тех элементов, которые дают независимые результаты. Этот вопрос обсуждался Либфридом [5, 6] и Лэк-сом [68]. [c.188]

Вычисление симметризованного квадрата и других степеней неприводимых представлений пространственных групп методом малой группы исследовали Брэдли и Дэвис [ПО]. Вследствие эквивалентности методов подгруппы и полной группы для получения и приведения произведения представлений ( 64) метод малой группы можно применить для приведения любой обычной или симметризованной степени представлений. Чисто практические сображения могут заставить отдать предпочтение тому или иному методу. Однако на сегодняшний день, по-видимому, лишь метод полной группы уже применялся для приведения симметризованного куба представлений. [c.375]

Совокупность элементов симметрии кристалла, переводящих все его точки в им эквивалентные, образует пространственную группу кристалла. Группа трансляций является подгруппой пространственной группы. Для трехмерных кристаллов имеется 230 различных пространственных групп для двумерных—17 и для одномерных —две. Полная классификация всех пространственных групп была впервые дана Е. С. Федоровым (1895 г.) и несколько позже Шенфлисом. [c.25]

Пространственные групп] I 120 количество I 127, 133 симморфные и несимморфные I 134 соотношение с точечными группами и решетками Бравэ I 133, 134 эквивалентность I 122 (с) Пространственные размеры атомных волновых функций I 182 Простые металлы (металлы с почти свободными электронами) I 157, 306, 307 Процесс намагничивания II 335, 336 Процессы переброса II 129, 130 вымерзание II 129 и выбор элементарной ячейки II 130 и нормальные процессы II 129 и сохранение квазиимпульса II 129 и теплопроводность II 131—133 и увлечение фононов II 153, 154 и электросопротивление II 152—154 [c.407]

Предположим, что представление D пространственной группы разложено на неприводимые представления подгруппы трансляций, т. е. что матрицы представлений, соответствующие трансляциям, диаго-нальны. Выберем в пространстве <т представления D те орты, на которых реализуется одно и то же представление группы Т . Обозначим через линейное подпространство, образованное этими ортами. Если к любому вектору подпространства применить преобразование из группы Я, , то мы опять должны получшъ вектор, принадлежащий представления группы соответствующего вектора. Каждое из подпространств <Т]с, может быть получено из подпространства с помощью операций г. Ясно также, что в каждом из подпространств г, , реализуются эквивалентные представления изоморфных групп Я., . [c.102]

Ат. структура К. р., расположение всех её ч-ц описываются т. н. про с т-ранственными (фёдоровскими) группами симметрии кристаллов, к-рые содержат как операции переносов (трансляций), так и операции поворотов, отражений и инверсии и их комбинации. Всего существует 230 пространств, групп симметрии. В К. р. возможны лишь оси 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков, а оси 5-го, 7-го и более высоких порядков в кристаллах невозможны. Если к данной точке (узлу) кристалла, напр, к любому её атому, применить только операции переноса данной пространственной группы, то получается геом. трёхмерно-периодич. система узлов, к-рая и характеризует К. р. Таких систем существует всего 14, их наз. Браве решётками. Полное описание К. р. даётся пространств, группой, параметрами элем, ячейки, координатами атомов в ячейке. В этом смысле понятие К. р. эквивалентно понятию ат. структуры кристалла [c.322]

Пространственная пятиатомная молекула ССЦ принадлежиг к одной из точечных групп высшей симметрии — к группе тетраэдра Td, обладающей четырьмя эквивалентными осями третьего, порядка Сз, тремя эквивалентными зеркально-поворотными осями четвертого порядка Si и шестью эквивалентными плоскостями симметрии а. Зеркально-поворотная ось сочетает поворот на 90° С отражением в плоскости. [c.93]

Лит. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Электродинамика сплошных сред, 2 изд., М., 1982 Смит Я,, В е йи X.. Ферриты, пер. с англ., М., 1962. Ю. П. Ирхин. МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ — раздел симметрии кристаллов, учитывающий специфику их магнитных свойств, а именно в М. с. принимается во внимание симметрия уравнений движения по отношению к операции обращения времени Л, под действием к-рой координаты всех точек кристалла остаются неизменными, а скорости меняются на противоположные. Соответственно, под действием операции R средняя по времени микроскопическая плотность заряда р(х, у, z), описывающая обычную (электрическую) структуру кристалла, не меняется, и кроме р рассматривается микроскопическая средняя плотность магнитного момента т [х, у, z) [или, что эквивалентно, тока(гг, у, г)], меняющая знак под действием В. Группой магнитной симметрии кристалла называется множество преобразований (пространственных и комбинаций из R и пространственных преобразований), оставляющих инвариантными функции р х, I/, а) и ш (х, у, z). Если представить операцию Я как замену чёрного цвета на белый, то магнитные группы совпадают с шубпиковскими группами симметрии и антисимметрии. [c.661]

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ОТО) — современная физ. теория нространства, времени и тяготения окончательно сформулирована А. Эйнштейном в 1916. В основе ОТО лежит эксперим. факт равенства инертной массы (входящей во 2-й закон Ньютона) и гравитац. массы (входящей в закон тяготения) для любого тела, приводящий к эквивалентности принципу. Равенство инертной и гравитац. масс проявляется в том, что движение тела в поле тяготения ее зависит от его массы. Это позволяет ОТО трактовать тяготение как искривление пространственно-временного континуума. Это искривление пространства-времени оиисывается метрикой, определяемой из ур-ний теории тяготения (см. Тяготение). Пространство Минковского, рассматриваемое в частной (специальной) теории относительности (т.е. в отсутствие тяготеющих тел), обладает высокой степенью симметрии, описываемой группой Пуанкаре. Эта группа в соответствии с принципом относительности порождает изоморфные последовательности событий. В пространстве, где есть поле тяготения, симметрия полностью исчезает, поэтому в нём не выполняется принцип относительности (т. е. нет сохранения относительной или внутренней структуры цепочек событий при действии группы симметрии). Назв. О. т. о. , принадлежащее Эйнштейну, является поэтому неадекватным и постепенно исчезает из литературы, заменяясь на теорию тяготения . и. ю. Кобзарев. [c.392]

На рис. 3.4 изображена пирамида с равносторонним треугольным основанием используем ее для введения понятия точечной группы. Пирамида имеет симметрию вращения 3-го порядка вокруг оси d, а также симметрию отражения в плоскостях ad, bd и d. Операция симметрии отражения трехмерных объектов является отражением объекта в плоскости (плоскость симметрии отражения), которое оставляет объект в эквивалентной пространственной ориентации. Плоскость должна проходить через центр масс объекта, и эта точка центра должна быть общей для всех осей симметрии вращения и плоскостей симметрии отражения (отсюда и название точечная группа). Точечная группа трехмерного объекта содержит все операции симметрии вращения, все операции симметрии отражения и все возможные произведения таких операций (хотя индивидуальные операции вращения и отражения, которые составляют операцию симметрии произведения вращения-отражения, не обязательно должры быть операциями симметрии). Точечная группу [c.42]

Решая предыдущие уравнения, мы получим для пространственного случая р = д = 1. Это весьма примечательно, так как полная система уравнений Навье — Стокса инвариантна относительно найденной частной группы подобия, что впервые было получено Яцеевым и Сквайром ). Уравнения Навье —Стокса в сферических координатах эквивалентны уравнению [c.167]

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕШЕТКА — бесконечная совокупность точек (узлов), расположенных по вершинам равных нараллеленинедов, сложенных равными гранями и заполняющих пространство без промежутков. Параллелепипеды П. р. преобразуются друг в друга группой конечных переносов (трансляций). П, р, —простейшая схема строения кристаллов, Каждый параллелепипед содержит в себе нек-рую повторяющуюся переносами часть кристаллич, структуры одну или неск, молекул, один или неск. одинаковых или различных атомов, а такяда доли атомов и ионов. С кристаллографич. точки зрения, в П. р. более существенны ие сами параллелепипеды, их грани или ребра, а повторяющиеся трансляциями эквивалентные точки — узлы решетки, напр, центры или вершины параллелепипедов, т. к. симметрия кристалла наиболее полно отображается именно в системе узлов П. р., иначе говоря, в Браве решетке. [c.225]

Полезно удостовериться в том, что (109.24) инвариантно при преобразованиях симметрии пространственно-временнбй группы кристалла Очевидно, <3 инвариантно по отношению к операции обращения времени, эквивалентной комплексному сопряжению [c.332]

Гауссовы поля эквивалентны статистически независимым группам волн. Предположение, что кумулянты Н начального не-гауссового состояния непрерывны, означает, что начальная зависимость. между волнйвыми группами, приближается плавно к нулю, когда расстояния между группами стремятся к бесконечности. Позже волновые группы занимают различные положения в пространстве, но их статистическая, зависимость остается. Следовательно, поля не могут строго приближаться к гауссовому состоянию. Но расстояния между зависимыми волновыми группами увеличиваются со временем, так что статистическая информация распространяется до бесконечности и может быть восстановлена лишь непрерывным расширением пространственной области анализа. Это эквивалентно увеличению спектрального разрешения. [c.135]

Каждая группа упомянутых расчетов дополняет другие, и их целесообразно рассматривать совместно. При максимальном КПД расчеты квазитрехмерного потока по методу Макдональда дают дозвуковые числа Маха на корытце профиля в радиальном сечении, находящемся на 89% высоты проточной части от корневого сечения, тогда как в экспериментальном исследовании [10.24] на большей части корытца скорости потока равны скорости звука. Результаты расчетов полностью трехмерного потока [6.64, 10.27] оказались намного ближе к данным экспериментального исследования. Расчетные кривые в плоскости г—0, полученные в работе [6.64], в точности повторяют результаты экспериментального исследования благодаря тому,что в расчетах учитывалось пространственное расположение скачка уплотнения. При этом были правильно рассчитаны углы наклона скачка уплотнения и его интенсивность, которые оказались несколько меньше, чем для эквивалентного плоского потока. [c.311]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...