Простая кубическая решетка Бравэ

Звездочки здесь можно перенести из правой части в левую. Из 1.66) следует, что зона Бриллюэна простой кубической решетки Бравэ представляет куб, ГЦК — кубооктаэдр, а ОЦК — ромбический додекаэдр. [c.44]

Фиг. 4.2. Трехмерная простая кубическая решетка Бравэ.

Обратной решеткой по отношению к простой кубической решетке Бравэ, сторона кубической элементарной ячейки которой равна а, является простая кубическая решетка с кубической элементарной ячейкой со стороной 2п а. Это видно, иапример, из построения (5.3), поскольку, если [c.97]

Атомная плоскость некоторой решетки Бравэ определяется как любая из плоскостей, содержащих по меньшей мере три не лежащих на одной прямой точки этой решетки. Из-за трансляционной симметрии решетки Бравэ любая такая плоскость в действительности содержит бесконечно много точек решетки которые образуют на плоскости двумерную решетку Бравэ. Некоторые плоско -сти простой кубической решетки Бравэ изображены на фиг. 5.3. [c.99]

Фиг. 5.3. Некоторые атомные плоскости (темные) простой кубической решетки Бравэ. Показаны два различных способа (о и б) разбиения решетки на семейства томных плоскостей.

В простой кубической решетке Бравэ обратная решетка также является простой кубической и индексы Миллера служат координатами вектора нормали к плоскости, взятыми в выбранной очевидным образом кубической координатной системе. Г. ц. к. и о. ц. к. решетки Бравэ обычно описывают с помощью условной кубической ячейки, т. е. как простые кубические решетки с базисами. Поскольку каждая атомная плоскость в г. ц. к. и о. ц. к. решетках представляет собой также атомную плоскость соответствующей простой кубической решетки, для обозначения атомных плоскостей можно воспользоваться тем же способом задания индексов, что и в простой кубической решетке. На практике только при рассмотрении некубических кристаллов существенно, что индексы Миллера представляют собой координаты нормали в системе, определяемой не прямой, а обратной решеткой. [c.101]

Примером подобного соотношения является условие ортогональности -а = а Ьц, выполняющееся для некоторых основных векторов простой кубической решетки Бравэ. [c.119]

В число операций группы симметрии решетки Бравэ входят все трансляции на векторы решетки. Кроме того, в нее в обш,ем случае входят также повороты, отражения и инверсии ), которые переводят решетку в саму себе. Например, простая кубическая решетка Бравэ переходит в саму себя при повороте на 90° вокруг любой прямой, содержащей точки решетки и имеющей направление [c.120]

Любую операцию симметрии решетки Бравэ можно построить из трансляции Тк на вектор К решетки и жесткой операции, оставляющей неподвижной по крайней мере одну из точек решетки ). Это не столь очевидно. Например, простая кубическая решетка Бравэ переходит в себя при повороте на 90° вокруг оси (100), проходящей через центр кубической элементарной ячейки, в которой точки решетки размещены в восьми вершинах куба. Такая жесткая операция не оставляет неподвижной ни одну из точек решетки. Ее, однако, можно построить из трансляции иа вектор решетки Бравэ и поворота вокруг определенной прямой, содержащей точки решетки, как это показано на фиг. 7.1. Подобное построение всегда возможно — это видно из следующих рассуждений. [c.121]

Эквивалентность двух пространственных групп решетки Бравэ — более тонкое понятие, чем эквивалентность двух точечных групп (хотя они оба и сводятся к понятию изоморфизма в абстрактной теории групп). Операции двух одинаковых пространственных групп могут все же отличаться в несущественных деталях, поэтому нельзя просто сказать, что две пространственные группы эквивалентны, если они содержат одни и те же операции. Например, две простые кубические решетки Бравэ с различными постоянными решетки а та а принято считать имеющими одинаковые пространственные группы, несмотря на то, что в одном случае шаг трансляций равен а, а в другом а. Сходным образом желательно было бы считать, что независимо от значения с/а, которое, очевидно, не влияет на полную симметрию структуры, пространственные группы всех простых гексагональных решеток Бравэ тождественны. [c.122]

Таким образом, на примере пятивалентных полуметаллов видно, какое поразительно важное значение в определении свойств металла имеет кристаллическая структура. Если бы эти элементы обладали простыми кубическими решетками Бравэ, то при нечетной валентности они представляли бы собой прекрасные металлы. Следовательно, щели между зонами, возникающие из-за очень слабого отклонения решетки от простой кубической, в 10 раз изменяют число носителей [c.306]

См. также Гранецентрированная кубическая решетка Бравэ Объемноцентрированная кубическая решетка Бравэ Простая кубическая решетка Бравэ Кулоновский потенциал [c.417]

См. также Гексагональная плотноупакованная структура Простая кубическая решетка Бравэ I 78 координационное число I 83 примеры химических элементов I 82 решетка, обратная к ней I 97 решеточная сумма I 301 упаковочный множитель I 94 Простая моноклинная решетка Бравэ I 125, [c.407]

На фиг. 4. 1 показана часть двумерной решетки Браве ). Видно, что она удовлетворяет определению а на фигуре изображены также основные векторы Я1 и а2, фигурирующие в определении б . На фиг. 4.2 показана одна из наиболее известных трехмерных решеток Бравэ — простая кубическая решетка. Особенности ее структуры связаны с тем, что эту решетку порождают три взаимно перпендикулярных основных вектора равной длины. [c.77]

Обратите внимание, что ее можно рассматривать либо как простую кубическую решетку, образованную точками А и содержащую точки В в центрах кубов, либо как простую кубическую решетку, образованною точками В и содержащую точки А в центре кубов. Отсюда следует, что такая решетка действительно является решеткой Бравэ. [c.79]

Другим столь же важным примером является гранецентрированная кубическая (г. ц. к.) решетка Бравэ. Чтобы построить г. ц. к. решетку Бравэ, нужно добавить к простой кубической решетке на фиг. 4.2 по одной дополнительной точке в центре каждой грани (фиг. 4.8). Для простоты описания можно представить, что каждый куб в простой кубической решетке имеет горизонтальную верхнюю и нижнюю грани, а также четыре вертикальные грани, обращенные на север, юг, восток и запад. Может показаться, что не все точки в новой решетке эквивалентны, но это не так. Рассмотрим, например, новую простую кубическую решетку, образованную теми точками, которые были помещены в центры всех горизонтальных граней. Теперь точки исходной простой кубической решетки являются центральными точками горизонтальных [c.81]

Точно так же можно считать, что простую кубическую решетку образуют все точки, лежащие в центре северных-южных граней исходной кубической решетки, или же все точки, лежащие в центре восточных-западных граней исходной кубической решетки. В любом случае остающиеся точки оказываются расположенными в центре граней новой простой кубической решетки. Следовательно, любую точку можно рассматривать либо как угловую точку, либо как лежащую в центре грани для любого из трех видов граней. Таким образом, г. ц. к. решетка действительно является решеткой Бравэ. [c.81]

Точки решетки Бравэ, лежаш ие ближе всего к данной точке, называются ее ближайшими соседями. В силу периодичности решетки Бравэ любая точка имеет одинаковое число ближайших соседей. Поэтому такое число является характеристикой решетки и его называют координационным числом этой решетки. У простой кубической решетки координационное число равно шести, у объемноцентрированной кубической — восьми, а у гранецентрированной кубической — двенадцати. Понятие координационного числа допускает очевидное обобщение и на простые периодические структуры, не являющиеся решетками Бравэ, при условии, что каждая точка в этой структуре имеет одинаковое ЧИС.ПО ближайших соседей. [c.83]

Г.ц.к. кубическую решетку Бравэ часто бывает удобно представлять в виде простой кубической решетки с четырехточечным базисом, у которой сторона кубической элементарной ячейки равна а. [c.117]

В гл. 4 и 5 мы описывали и использовали только трансляционную симметрию решеток Бравэ. Например, суш ествование и важнейшие свойства обратной решетки зависят лишь от суш,ествования тройки основных векторов аг прямой решетки, а не от выполнения каких-либо особых соотношений между ними ). Несомненно, трансляционная симметрия имеет наибольшее значение для обш ей теории твердого тела. Тем не менее из уже описанных примеров видно, что в основе естественного разделения решеток Бравэ по классам должна все же лежать не трансляционная, а какая-то иная симметрия. Так, независимо от величины отношения с а простые гексагональные решетки Бравэ гораздо более походят друг на друга, чем на любую кубическую решетку Бравэ из трех описанных типов. [c.119]

По форме ЭЯ и соответственно по совокупности элементов симметрии ПР делятся на семь сингоний, или систем (рис. 5.2, табл. 5.1 и 5.2). Эти сингонии в свою очередь подразделяются на три категории, различающиеся но числу единичных направлений высшая (кубическая), средняя (гексагональная, тетрагональная, ромбоэдрическая), низшая (ромбическая, моноклинная, триклинная) сингонии. Из 14 решеток Бравэ семь простых (или примитивных), т. е. таких, которые строятся осе-выми трансляциями к узлам в вершинах параллелепипедов повторяемости, а семь сложных, т. е. таких, которые строятся трансляциями к точкам, находящимся либо в центрах граней ЭЯ (базо- и гранецентрированные ячейки), либо в центре объема ЭЯ (объемноцентрированные ячейки, см. рис. 5.2). Сложные ячейки характеризуются так называемым базисом. Базис представляет координаты минимального числа узлов, трансляцией которых строится пространственная решетка (табл. 5.3). В применении к кристаллическим структурам сложных веществ определение базиса включает координаты частиц с указанием их химической природы. Целесообразно оставить понятия пространственная решетка или кристаллическая решетка за решетками Бравэ (абстрактный, математический образ кристалла), а для действительных струк- [c.96]

Г.ц.к. решетка является наиболее плотной, а простая кубическая — наименее плотной пз трех кубических решеток Бравэ. Структура типа алмаза является менее плотной, чем любая из них. Это видно из координационных чисел решеток 12 — для г.ц.к., 8 — для [c.94]

Мы видим, что с точками простой кубической обратной решетки, сумма координат которых относительно кубических основных векторов нечетна, в действительности не связано никакого брэгговского отражения. Таким образом, простая кубическая обратная решетка превраш,ается в г.ц.к. структуру, которая получалась бы, если бы мы рассматривали о. ц. к. прямую решетку не как решетку с базисом, а как решетку Бравэ (фиг. 6.11). [c.115]

Чтобы подойти к решению этой проблемы, заметим, что в подобных задачах всегда можно путем непрерывной деформации перевести структуру заданного типа в другую структуру того же типа, не потеряв при этом ни одной из операций симметрии. Например, все время сохраняя простую кубическую симметрию, можно равномерно растянуть оси куба от а до а. Сохраняя простую гексагональную симметрию, можно вытянуть (или сжать) с-ось (или а-ось). Следовательно, можно сказать, что две решетки Бравэ имеют одинаковую пространственную группу, если путем непрерывной трансформации удается преобразовать одну из них в другую таким образом, чтобы каждая операция симметрии первой решетки непрерывно трансформировалась в операцию симметрии второй из них, а во второй решетке нет ни одной дополнительной операции симметрии, которая не получалась бы так из операции симметрии первой решетки Бравэ. [c.122]

Кубическая система (3). Кубическая система содержит те решетки Бравэ, точечная группа которых совпадает с группой симметрии куба (фиг. 7.3, а). Три решетки Бравэ с неэквивалентными пространственными группами обладают кубической точечной группой простая кубическая, объемноцентрированная кубическая и гранецентрированная кубическая. Все они были описаны в гл. 4. [c.123]

Заметим, что условие (8.27) сводится к условию (2.1G), используемому в теории свободных электронов, если решетка Бравэ — простая кубическая и а — основные векторы кубической решетки, а Ni = N2 = N3 = Lia. [c.143]

Аналогично хлорид цезия (фиг. 4.25) состоит из равного числа ионов цезия и хлора, размещенных в точках о. ц. к. решетки таким образом, что ближайшими соседями каждого иона являются восемь ионов другого вида ). Трансляционная симметрия этой структуры та же, что и у простой кубической решетки Бравэ ее можно описать как простую кубическую решетку с базпсом. состоящим из иона цезия в начальной точке О и иона хлора в центре куба (а/2) (х -Ь У + ). [c.92]

Пусть N есть число п-х ближайших соседей данной точки решетки Бравэ. (Например, в простой кубической решетке Бравэ iVj = 6, iVj = 12 и т. д.) Пусть г — расстояние до п-го ближайшего соседа, выраженное как отношение к расстоянию до первого ближайшего соседа (например, в простой кубической решетке Бравэ rj = 1, rj = 1,414). Составьте таблицу значенийи г при п = 1,. . ., 6 для г.ц.к., о.ц.к. и п.к. решеток Бравэ. [c.94]

Сплавы удобно разделить на два широких класса упорядоченные и неупорядоченные. Упорядоченные сплавы, иногда называемые также стехиометри-ческими, имеют трансляционную симметрию решетки Бравэ. Их структуру можно задать, размещая многоатомный базис в каждом из узлов решетки Бравэ. Например, сплав, называемый -латунью, обладает упорядоченной фазой ), в которой оба компонента (медь и цинк) содержатся в равных пропорциях и образуют структуру типа хлорида цезия (фиг. 4.25). Ее можно рассматривать как простую кубическую решетку Бравэ с двухточечным базисом Си в точке (ООО) и Zn в точке (а/2) (111). Первая зона Бриллюэна простой кубической решетки представляет собой куб, поверхность которого пересекается сферой свободных электронов, содержащей по три электрона на условную ячейку (номинальная валентность меди равна единице, а цинка — двум) ). [c.310]

Простая кубическая решетка Бравэ 178 координационное число I 83 примеры химических элементов I 82 решетка, обратная к ней 197 решеточная сумма 1301 упаковочный множитель 194 Простая моноклинная решетка Бравэ 1125, 126 Простая тетрагональная решетка Бравэ 1123, 124 Пространственные группы 1120 количество 1127, 133 симморфные и несимморфные 1134 [c.435]

Обозначения Шенфлиса для кристаллографических точечных групп I 129—131 Обратная решетка I 95—103 для гранецентрированной кубической решетки Бравэ I 97 для объемноцентрированной кубической решетки Бравэ I 98 для простой кубической решетки Бравэ I 97, 103 [c.402]

Из полученных результатов следует, что прямая и обратная решетки взаимно сопряжены. Решетка, обратная обратной, есть просто исходная прямая решетка. Каждый узел [ [hkl] ] обратной решетки соответствует семейству параллельных плоскостей (hkl) прямой решетки. Необходимо иметь в виду, что обратная решетка в кристаллографии строится по отношению к конкретной решетке Бравэ и сама является решеткой Бравэ. Так, для простой кубической ячейки Бравэ обратной решеткой является решетка, описываемая простой кубической элементарной ячейкой со стороной 1/а, где а — параметр прямой ячейки. Обратная к гра-нецентрированноп есть объемно-центрированная решетка, а прямой объемно-центрированной решетке соответствует обратная гра-нецентрированная. Вектор обратной решетки = [c.26]

Решетку Бравэ также можно задать как решетку с базисом, выбрав непримитивную условную ячейку. К такому описанию часто прибегают, чтобы подчеркнуть кубическую симметрию о. ц. к. и г. ц. к. решеток Бравэ. В этом случае их описывают соответственно как простые кубические решетки, порождаемые векторами ах, ау и аг и обладающие двухточечным базисом [c.87]

Объ емн оцеи три р ова н п а я кубическая ретешка, рас-смашриваемая как простая кубическая решетка с базисом. О.ц.к. решетка представляет собой решетку Бравэ, поэтому, как мы знаем, брэгговские отражения должны наблюдаться в случае, если изменение К волнового вектора является вектором обратной г. ц. к. решетки. Иногда, однако, удобно рассматривать о. ц. к. решетку как простую кубическую решетку, которая порождается основными векторами ах, ау, ах и имеет двухточечный базис, состоящий из точек (11 = О и d2 = (а/2) (х + у -1- /). В таком случае обратная решетка также является простой кубической и имеет кубическую ячейку со стороной длиной 2п а. Однако теперь каждому брэгговскому отражению соответствует свой структурный фактор к- Тогда из (6.13) следует, что [c.114]

В результате, помещая базис с тригональной точечной группой в гексагональную решетку Бравэ, мы пол учаем новую пространственную группу, отличающуюся от той, которую мы имели бы, есл.г бы тот же базис был помещен в тригональную решетку. Это не справедливо ни в каком другом случае. Например, поместив базис с тетрагональной симметрпей в простую кубическую решетку, мы получим точно ту же пространственную группу, которую имели бы, поместив его в простую тетрагональную решетку (при условии, что не выполняется какого-либо специального соотношения между размерами этого объекта и длиной с-оси). Физически это отражается в том, что существуют кристаллы, имеющие тригональные базисы в гексагональных решетках Бравэ, но не существует кристаллов с тетрагональными базисами в кубических решетках Бравэ. В последнем случае только по чистой случайности длины с-оси и а-осей могут быть равными (и соответственно решетка остаться кубической). Наоборот, простую гексагональную решетку нельзя перевести в тригональную путем непрерывного искажения, поэтому она может сохранять свою простую гексагональную форму даже при наличии базиса, имеющего всего лишь тригональную симметрию. [c.133]

Интересно отметить, что кристаллическая структура висмута (и двух других полуметаллов) представляет собой лишь слабое искажение простой кубической моноатомной решетки Бравэ, поскольку ее можно построить следующим образом взять структуру хлорида натрия (см. фиг. 4.24), слегка растянуть ее вдоль направления (111), так чтобы оси куба образовали друг с другом равные углы, несколько меньшие 90°, и немного сместить узлы хлора на одно и то же расстояние в направлении (111). Б структуре висмута расположено по одному атому висмута в каждом из получаюш 1хся узлов натрия и хлора . [c.306]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...