В-автоморфизм К-автоморфизм

Поток Л называется К-потоком, если хотя бы один из -ВХОДЯЩИХ в него автоморфизмов является К-автоморфизмом. [c.27]

Проблема классификации динамических систем с точностью до метрического изоморфизма (проблема изоморфизма), как показывают имеющиеся в настоящее время примеры, в общей постановке является совершенно необозримой. Введение энтропии и доказательство с ее помощью существования континуума попарно неизоморфных автоморфизмов Бернулли привлекло внимание к суженной проблеме изоморфизма, относящейся к классам автоморфизмов Бернулли и /С-автоморфизмов. Для них проблема изоморфизма ставится как своеобразная проблема кодирования. В случае, например, автоморфизмов Бернулли с разными пространствами состояний (разными алфавитами) требуется закодировать последовательности, записанные в одном алфавите, в последовательности, записанные в другом [c.52]

Геометрическая классификация, несмотря на ее научную ценность для теории поверхностей, мало пригодна к технологии машиностроения, так как приспособлена для анализа чисто математических свойств (главным образом автоморфизмов). В классификации много раз встречаются одни и те же поверхности, но рассматриваемые с разных точек зрения и таким образом образуется новое множество с неопределенными элементами. [c.416]

Имеются блок-схемы, у которых система образующих пуста, и их группа автоморфизмов состоит из одной единичной подстановки (например, 9 и 11 из табл. 2.6 при d = 5). Такие блок-схемы логично назвать асимметрическими. Как правило, при всех равных условиях они порождают наибольшее количество различных режимов. С другой стороны, наличие большого числа элементов в группе автоморфизмов приводит к тому, что многие режимы, реализуемые с помощью соответствующей блок-схемы, по существу, не будут отличаться друг от друга и их необходимо отбраковывать. [c.61]

В качестве примера рассмотрим код, отнесенный к блок-схеме fi (3, 7), у которого Л0 = <1>, Ле = = <2, 3>, Лт = <6>, Лф, = (4, 5, 7). Группа автоморфизмов этой блок-схемы содержит четыре подстановки (с. 73). После применения к коду подстановок g4, g3, g2, g и последующего упорядочивания элементов соответственно получаем [c.77]

Диффеоморфизм Rg-tLg является внутренним автоморфизмом группы. Он оставляет единицу группы на месте. Его производная в единице есть линейное отображение алгебры (т. е. касательного пространства к группе в единице) в себя. Это отображение обозначается через [c.285]

Подкова Смейла и ее аналоги, с одной стороны, н введенное Я- Г. Синаем понятие марковского разбиения, с другой, вновь вызвали к жизни методы символической динамики. На сей раз обнаружилось, что эти методы являются эффективным средством анализа таких классических систем, как алгебраические автоморфизмы тора, нелинейные колебания и небесная механика. Можно надеяться, что в скором времени такие понятия, как символическая модель , топологическая марковская цепь и т. п., станут для изучающих конкретные системы столь же привычными, как инвариантный тор , разложение в ряд Фурье , показатели Ляпунова . [c.6]

Символическая динамика для некоторых геодезических потоков восходит к Адамару и была развита Морсом (9]. Смейл [13] перенес се на случай подковы , а Адлер и Вейс [1] —на случай автоморфизмов тора. Синай [10], [И] доказал теоремы пп. С и Ъ для У-диффеоморфизмов, а в 15] они были обобщены иа случай диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А. [c.74]

В динамических теориях в центре внимания стоит изучение асимптотического поведения, т. е. поведения системы при устремлении времени к бесконечности, особенно при наличии нетривиального возвращения. Этим они отличаются от других областей математики, имеющих дело с группами автоморфизмов различных математических структур. Лучший способ объяснить, какие асимптотические свойства действительно важны и интересны, состоит в изучении конкретных примеров динамических систем и определении наиболее характерных особенностей их поведения. Мы займемся этим в гл. Д и затем подведем итог нашего исследования и представим список интересных свойств в 3.1, 3.3, 4.1, п. 4.2 г и 4.3. Этому подведению итогов предшествует исследование естественных отношений эквивалентности динамических систем в гл. 2, которое создает предпосылки для изучения асимптотических свойств как инвариантов этих отношений эквивалентности. [c.20]

Иногда раздел теории гладких динамических систем, относящийся к изучению метрических свойств таких систем, называют гладкой эргодической теорией. Можно также сказать, что предмет гладкой эргодической теории составляет анализ автоморфизмов многообразия с достаточно хорошей мерой на нем. Этой теме посвящены гл. 20 и добавление. Ряд результатов, относящихся к гладкой эргодической теории, включен в более ранние главы. [c.22]

По-настоящему интересные и, возможно, несколько неожиданные примеры— растягивающие отображения из 1.7 и гиперболические автоморфизмы тора из 1.8. Эти отображения имеют сложную структуру орбит (см. предложения 1.7.2, 1.7.3, 1.8.1 и 1.8.4), и сохранение такой структуры при возмущениях, несомненно, показательно. В следующем параграфе мы перейдем к исследованию устойчивости этих примеров, а также некоторых взаимоотношений между ними и символическими системами. На самом деле мы сделаем даже больше, чем просто установим структурную устойчивость отображений Е -. мы покажем, что степень дает полную топологическую классификацию большого класса отображений, который включает С -возмущения Е . [c.83]

В этой главе мы видели, что несколько различных задач сводятся к решению линейного функционального уравнения специального вида. Так обстояло дело с уравнениями (2.2.6), (2.2.7) и с (2.2.8), когда мы изучали замены времени для потоков с уравнениями (2.6.4) и (2.6.5), возникшими при доказательстве топологической устойчивости гиперболических автоморфизмов тора (теорема 2.6.1, см. также доказательство предложения 2.6.2) и в линеаризованном уравнении (2.8.3) для сопрягающего отображения при использовании метода Ньютона. В случае дискретного времени все эти уравнения могут быть представлены в виде [c.111]

Вообще, любой гиперболический автоморфизм гг-мерного тора, определенный в конце 1.8, является диффеоморфизмом Аносова. В этом случае мы можем с помощью предложения 1.2.2 найти евклидову норму в К", в которой матрица L становится сжимающим отображением в пространстве E (L) и растягивающим в E L) (см. (1.2.4) и (1.2.5)), спроектировать риманову метрику, порожденную этой нормой, на Т" и рассмотреть инвариантное разложение в каждой точке на подпространства, параллельные Е+ Ь) и E L). Можно взять Л = г ( -( ,) + 5, м = г -Ь S [c.269]

Тогда для каждого г е 1,2 с)ш ествует единственный такой автоморфизм С—> С, что DP = f . Поскольку Л, и Лг—единицы поля К, т. е. целые числа, обратные к которым тоже являются целыми, и о (А,) = Х , мы также получаем, что ] (Г) = Г, г = 1,2. Таким образом, автоморфизмы Р проектируются в диффеоморфизмы Аносова фактора Г С. [c.545]

Метод кодирования, который мы впервые использовали в доказательстве топологической сопряженности произвольного растягивающего отображения окружности с линейным отображением той же степени (теорема 2.4.6). Мы применяли этот метод еще три раза в полулокальной ситуации в пп. 2.5 б, 2.5 в, при построении топологического сопряжения полного 2-сдвига с квадратичным отображением и отображением подковы на их инвариантных подмножествах и, наконец, в п. 2.5 г когда мы установили наличие полусопряженности топологической цепи Маркова с автоморфизмом тора. Этот метод очень эффективен в применениях к глобальным и полулокальным гиперболическим проблемам, т. е. к случаям, когда близлежащие орбиты расходятся с экспоненциальной скоростью, как это имеет место в упомянутых примерах (см. гл. 6, особенно определения 6.4.1 и 6.4.2). Одна из главных особенностей этого метода — его непосредственный характер. В частности, он не требует рассмотрения вспомогательного пространства кандидатов в сопряжения. С другой стороны, этот метод применим только к проблеме топологической (но не гладкой) сопряженности и полусопряженности. Метод особенно эффективен в ситуации малых размерностей, где он нередко работает без предположений гиперболичности (см. 14.5, 14.6, 15.4). [c.103]

Пример 5.2. Системы с перемешиванием в абстрактных рамках принадлежат к числу исключительных в смысле слабой топологии (см. Халмош [1], Рохлин [1]). Наоборот, все диффеоморфизмы, близкие (в С -топологии) к автоморфизму тора из примера 1.16, — перемешивающие (см. [3]). [c.20]

Очевидно, что любой С -автоморфизм является, в частности, йордановым -автоморфизмом. Обратное же утверждение неверно, и Йорданов -автоморфизм есть подлинное обобщение С -автоморфизмов, имеющее физический смысл. Чтобы убедиться в этом, обратимся к нашему первому примеру, поясняющему понятие симметрии. Пусть О = 58 (5 ). Оператор и, получаемый из теоремы Вигнера, осуществляет симметрию в указанном выше смысле благодаря соотношению [c.199]

Хотя в случае квантовой системы со спином термодинамический предел ее эволюции во времени существует (разумеется, при условии, что выполняются предположения теоремы 2 ), тем не менее следует иметь в виду, что при переходе к пределу Вейсса и в этом (в остальном гладком) классе физических систем появляется особенность при переходе к пределу Вейсса эволюция во времени конечной системы не сходится к автоморфизму квазилокальной алгебры Я. Однако в случае ие лишенных физического интереса представлений (например, состояния Гиббса и его компонент при разложении на чистые термодинамические фазы) эволюция во времени сходится [240] в пределе Вейсса к автоморфизму бикоммутанта Лф (9i)". В случае чистых термодинамических фаз этот автоморфизм [c.388]

Для вывода теоремы Семереди из теоремы 3.4 достаточно ее применить к автоморфизму Т, являющемуся ограничением преобразования сдвига в пространстве X последовательностей x — xi , j j = 0 или 1, на множество М — замыкание траектории точки х - с координатами если бЛ, = если [c.29]

Существовала принадлежащая М. С. Пинскеру гипотеза о том, что всякий эргодический автоморфизм Т с h t)>Q метрически изоморфен прямому произведению Т1ХТ2, где Г1 —/(-автоморфизм, а Л(Г2)=0. Справедливость этой гипотезы означала бы, что общая проблема изоморфизма для эргодических автоморфизмов сводится к двум частным случаям, относящимся к автоморфизмам с нулевой энтропией и /(-автоморфизмам.. Однако контрпример к гипотезе Пинскера, также построенный Орнстейном, показал, что такое сведение невозможно. Все это указывает на то, что проблема изоморфизма в классе /(-систем чрезвычайно сложна. [c.60]

К сожалению, аналогия между /-теорией , изложенной в этом параграфе, и d-теорией Орнстейна распространяется настолько далеко, что за пределами класса LB-автоморфизмов (подобно тому, как в теории Орнстейна — за пределами класса В-автоморфизмов) результаты в основном носят негативный характер. [c.66]

Автоморфизм А сохраняет лебеговскую меру в Тог тогда и только тогда, когда det = 1. ГУМ и ГНМ получаются проекцией на тор семейств к- и (п— )-мерных плоскостей первые параллельны собственному подпространству, отвечающему собственным значениям Xii с 1Х, [ <С1 (в количестве к штук) вторые— собственному подпространству, отвечающему остальным собственным значениям (в количестве (п—к) штук). Малое возмущение гиперболического автоморфизма в С -топологии представляет собой аносовский диффеоморфизм тора (см. ниже теорему 2.11). Более того, каждый аносовский диффеоморфизм тора топологически сопряжен с некоторым гиперболичес- [c.130]

Это свойство выполняется крайне редко диффеоморфизмы Аносова, для которых (Л = М 2, содержатся в дополнении к множеству 2-й категории в смысле Бэра в DifF(Ai) (см. [41J). Тем не менее, в этом классе автоморфизмов могут быть интересные примеры такие, как автоморфизмы алгебраического происхождения. Поэтому допустим сейчас, что ц = 11=щ и поэтому (X абсолютно непрерывна. Из теоремы 3.12 следует [c.155]

Отсюда видно, что использование теоремы Пойа в первую очередь предполагает знание группы автоморфизмов гиперграфа, точнее,— ее циклового индекса, отыскание которого путем выписывания всех подстановок группы может быть осуществлено только в наиболее простых случаях. К сожалению, не существует общего подхода построения циклового индекса. Однако часто группу автоморфизмов удается выразить с помощью известных операций через некоторые другие группы, цикловые индексы которых известны. Здесь будут описаны две операции, которые используются в дальнейшем. [c.41]

Рис. 2.7. Гиперграф Это выражение для циклового индек-са можно получить и не выписывая всех подстановок группы. Из рис. 2.7 видно, что все автоморфизмы блок-схемы В (3, б) можно получить выполняя еначала перестановки звеньев 2, 3 и 4, 5 на каждом треугольнике гиперграфа (этим перестановкам соответствует симметрическая группа S2), а затем совершая взаимную перестановку самих треугольников (снова работает группа S2). При этом вершина 1 остается неподвижной (учитывается группой 5i). Используя обозначения, относящиеся к произведению и композиции групп, получаем

Адекватное геом. описание теорий с расширенной суперсимметрией достигается в рамках гармонич. С. Они получаются добавлением к обычным координатам х , б , 0 ] дополнит, чётных координат, параметризующих пространства групп автоморфизмов. [c.29]

Естеств. кандидат на роль инвариантной меры гиперболич. системы—это риманов объём (соответствующим образом нормированный). Однако он инвариантен лишь в нек-рых, весьма спец. ситуациях (напр., для автоморфизмов тора). Если же риманов объём р не инвариантен, а ДС представляет собой каскад Аносова, то она диссипативна относительно р существует множество, образы к-рого под действием Т при разных t попарно не пересекаются и по крывают всё фазовое пространство. Тем не менее из р можно получить инвариантную меру. Для этого нужно, качав с любой абсолютно непрерывной вероятностной меры ц (т.е. меры задаваемой плотностью относительно р), ввести последовательность мер где [c.632]

Описанный алгебраич. подход применим и в некоммутативном случае. Ему соответствует определение ДС как однопараметрич. группы автоморфизмов т нек-рой С -алгебры, на к-рой задано состояние р, инвариантное относительно этой группы. Подобные объекты появляются в квантовой статистич. механике, в частности при определении равновесных состояний (КМШ-состояний), и в квантовой теории поля. Их изучение составляет предмет некоммутативной Э. т,, основы к-рой были заложены Дж. фон Нейманом и И. Сигалом I, gal). [c.636]

Группа , имеющая нормальный делитель X, факторгруппа по которому есть / = ф, является расширением группы с помощью группы ф. Чтобы полностью определить структуру группы , необходимо задать 1) нормальный делитель X, 2) факторгруппу ф, 3) систему автоморфизмов группы X, соответствующих каждому элементу в ф, 4) систему факторов. Далее мы покажем, как применять математическую теорию расширения групп ) к пространственным группам. [c.40]

В случае когда ф --постоянная функция, является едннстоенной инвариантной мерой, максимизирующей энтропию (ф = 0 и ф имеют одно и то же равновесное состояние). Для гиперболического автоморфизма двумерного тора является мерой Хаара, а конструкция 4.1 принадлежит Адлеру и Вейсу [1], Эта статья играет важную роль в развитии предмета к хорошо читается. Еслн = ь С, мера t максимальной энтропией все же имеет следующий геометрический смысл периодические точки па Й равномерно распределены относительно [5]. К. Зигмунд [19] рассмотрел типичные свойства мер па i2j. [c.90]

Вернемся к конструкции 1.7. В ходе доказательства предложения 1.7.2 мы в явном виде построили полусопряжение одностороннего 2-сдвига с отображением Е (см. (1.7.2)). Таким образом, Е2 является фактором сдвига. Эта конструкция, очевидно, обобщается на и Е для произвольного А , [А I > 1, и по теореме 2.4.6 мы можем заменить Е произвольным растягивающим отображением окружности степени к. Необратимость этого полусопряжения возникает из-за того, что любое двоично-рациональное число тп/2 имеет два различных двоичных представления, с нулями либо с единицами в конце. Полусопряжение к 5, сопоставляющее последовательности нулей и единиц ш число между О и 1, двоичное разложение которого задается последовательностью ш, очевидно, не является гомеоморфизмом это полусопряжение имеет счетное плотное множество точек, в которых оно перестает быть инъекцией. Это самый простой случай естественной полусопряженности между символической и гладкой системами. Другой, не столь самоочевидный случай, связанный с гиперболическими автоморфизмами двумерного тора, будет обсуждаться в следующем параграфе. [c.89]

Теорема 2.6.1. Любой гиперболический линейный автоморфизм F двумерного тора является фактором произвольного гомеоморфизма д, принадлежащего тому же гомотопическому классу. Полусопряжение определяется единственным образом и гомотопно тождественному отображению. Если гомеоморфизм д является -близким к то полусопряжение близко к тождественному отображению в -топологии. [c.100]

Наконец, для гиперболического автоморфизма тора Р мы будем использовать тот же прием, что и в доказательствах топологической транзитивности (предложение 1.8.1) и отделенности периодических точек друг от друга (см. п. 3.2 д). А именно, если точки х,уеТ близки друг к другу, то имеет место одна из трех возможностей либо эти две точки находятся на одном и том же коротком отрезке растягивающейся прямой, либо на одном и том же коротком отрезке сжимающейся прямой, либо можно единственным образом указать минимальный прямоугольник, состоящий из отрезков сжимающихся и растягивающихся прямых, проходящих через х и у. В первых двух случаях ситуация очень похожа на то, что мы имели в случае растягивающих отображений. А именно, расстояние между положительными (соответственно отрицательными) итерациями точек х, у равно расстояний вдоль растягивающейся (соответственно сжимающейся) прямой и возрастет экспоненциально, до тех пор пока не превзойдет 1/(3 + у5) = 1/(2А). В по следнем случае можно использовать только что изложенное соображение заменяя у точкой г — пересечением неустойчивой прямой л с устойчивой прямой у — и используя неравенство треугольника. Расстояние между по ложительными итерациями жиг растет, пока оно не достигнет по крайне мере величины 1 /(2Л), в то время как расстояние между положительным итерациями г ч у равно расстоянию Шз1(2/, г) - Л"". [c.136]

Следовательно, равенство det Df = 1 влечет сохранение меры Лебега. Oi ратно, если, скажем, det )/(а ) > 1, то А(/(У))> Л(У) для достаточ маленькой области V, содержащей точку х . То же соображение примени к случаю инъективных С -гладких отображений / Т"Т". В частност любой линейный автоморфизм инъективен и его определитель равен лиС -i-1, либо -1. Следовательно, он сохраняет меру Лебега. [c.164]

Напротив, для каждой связной полупростой группы Ли без компактных факторов и максимальной компактной подгруппы К (которая определена однозначно с точностью до сопряжения внутренним автоморфизмом G) существует единственная глобально симметрическая структура на М = G/K, а именно, каждая левоинвариантная риманова метрика на G, которая является правоинвариантной относительно К, тогда превращает М в риманово многообразие и фактор М по действию слева решетки Г в ( будет тогда компактным римановым фактором М. Эти факторы являются прямым аналогом тора и компактных факторов гиперболической плоскости RH из 5.4. В этой модели геодезические, проходящие через Id, соответствуют однопараметрическим подгруппам G/K. [c.558]

В нуль, так как начальное условие представляется двоичной дробью и после каждой итерации число отличных от нуля двоичных цифр уменьшается. Таким образом, ЭВМ будет всегда вычислять настоящую орбиту, но только ту, которая сходится к нулю. Однако это отнюдь не типичное поведение для данной системы (см. 1.7). Аналогично, для автоморфизмов тора все точки с рациональными координатами, и, следовательно все двоичнорациональные точки, являются периодическими (см. предложение 1.8.1). [c.567]

В этом параграфе будет показано, что в случае диффеоморфизмов Аносова на торе структурная устойчивость приводит к глобальной классификации. Мы уже видели в 2.6, что в пределах гомотопического класса гиперболического автоморфизма любое отображение / (и, следовательно, любой диффеоморфизм Аносова) имеет линейную модель в качестве фактора. Сначала будет показано, что любой диффеоморфизм Аносова гомотопен линейному гиперболическому. Ключевую роль в доказательстве этого факта играют теорема 18.5.6 и формула Лефшеца (8.6.1). Затем мы докажем, что полусопряжение с линейнои моделью на самом деле инъективно, следовательно, является гомеоморфизмом. В качестве промежуточного результата, представляющего независимый интерес, покажем, что неблуждающее множество совпадает со всем тором. [c.588]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...