Автоморфизм

Группой автоморфизмов называется группа отображений некоторого множества [c.911]

Математическая классификация поверхностей может быть геометрической и алгебраической. При геометрической классификации изучаются общие свойства поверхностей (автоморфизмы), получаемые при разных преобразованиях. Одна из возможных геометрических классификаций, приведенная в табл. 1, имеет восемь групп. [c.415]

Геометрическая классификация, несмотря на ее научную ценность для теории поверхностей, мало пригодна к технологии машиностроения, так как приспособлена для анализа чисто математических свойств (главным образом автоморфизмов). В классификации много раз встречаются одни и те же поверхности, но рассматриваемые с разных точек зрения и таким образом образуется новое множество с неопределенными элементами. [c.416]

Рис. 2.3. Гиперграф с группой автоморфизмов порядка 12

Автоморфизмом гиперграфа Г называется подстановка на множестве его вершин, оставляющая без изменения его список ребер. Таким образом, автоморфизм— это изоморфизм, переводящий гиперграф Г в себя. [c.38]

Легко показать, что все автоморфизмы любого гиперграфа образуют группу подстановок. Эта группа называется группой автоморфизмов гиперграфа. [c.38]

Именно благодаря группе автоморфизмов возникают эквивалентные раскраски вершин. Исключение составляют гиперграфы, группы автоморфизмов которых единичные. Такие гиперграфы называются асимметрическими. [c.38]

Наиболее сложной частью решения этой задачи является построение группы автоморфизмов G и ее циклового индекса. В этом примере попробуем просто перечислить все возможные подстановки группы автоморфизмов, после чего находим цикловые индексы отдельных подстановок. Для этого выписываем единичную подстановку, которая всегда должна быть в группе [c.39]

Посмотрим, как можно использовать операцию произведения в предыдущем примере. Из рис. 2.3 видно, что группа автоморфизмов гиперграфа порождается, во-первых, всеми возможными подстановками на множестве вершин 4, 5, 6), что соответствует симметрической группе 5з, во-вторых, всеми возможными подстановками на множестве 2, <3 — это уже группа 5з, и, в-третьих, на множестве (1 работает единичная группа Si. Таким образом, группа автоморфизмов этого графа равна [c.41]

Рис. 2.4. Гиперграфы, группы автоморфизмов которых выражаются через композицию

Используя эту формулу и (2.11), найдем цикловой индекс группы автоморфизмов гиперграфа, изображенного на рис. 2.4, а [c.43]

Здесь число подстановок в группе автоморфизмов увеличилось до 72. [c.43]

Пусть задана нумерация звеньев блок-схемы В = = Ви Вг,. .., Вь) (например. В —это минимальный код). Предположим, что g —некоторая подстановка, такая, что gB = gBu gBi,. .., gSb> —код, эквивалентный В. Тогда множество G всех таких подстановок определяет группу автоморфизмов блок-схемы. [c.55]

Построение группы автоморфизмов для конкретных блок-схем обычно трудоемко и связано с непосредственным анализом их гиперграфов. [c.56]

Для того чтобы задать группу автоморфизмов, необязательно выписывать все ее подстановки, достаточно знать лишь ее образующие. Число последних обычно гораздо меньше порядка группы. Так, для рассмотренного выше примера в качестве образующих можно взять следующие подстановки [c.56]

В табл. 2.6—2.8 помещены все образующие групп автоморфизмов блок-схем, список которых приведен 56 [c.56]

Таблица 2.6. Образующие группы автоморфизмов

Для построения системы образующих группы автоморфизмов блок-схемы использовался следующий подход. В блок-схеме выделялись все возможные оси симметрии гиперграфа или его частей (их число определяет количество образующих в системе), а затем каждая образующая строилась как отображение вершин гиперграфа (или его части) относительно оси симметрии. Естественно, при таком подходе некоторые системы содержат не минимально возможное число образующих. Однако в этом случае каждая образующая представляет собой произведение одной или нескольких транспозиций, что очень удобно для использования на следующих этапах синтеза механизмов. [c.59]

Анализ показывает, что некоторые блок-схемы (например, 6 и 7 из табл. 2.6 при d = 5) имеют одинаковые системы образующих, а следовательно и одинаковые группы автоморфизмов. Отсюда следует, что группа автоморфизмов не является точным инвариантом для множества блок-схем. [c.59]

Таблица 2.8. Образующие группы автоморфизмов при о = Б

Имеются блок-схемы, у которых система образующих пуста, и их группа автоморфизмов состоит из одной единичной подстановки (например, 9 и 11 из табл. 2.6 при d = 5). Такие блок-схемы логично назвать асимметрическими. Как правило, при всех равных условиях они порождают наибольшее количество различных режимов. С другой стороны, наличие большого числа элементов в группе автоморфизмов приводит к тому, что многие режимы, реализуемые с помощью соответствующей блок-схемы, по существу, не будут отличаться друг от друга и их необходимо отбраковывать. [c.61]

Опишем методику получения оценок числа режимов для конкретных блок-схем с произвольной группой автоморфизмов. [c.66]

Рассмотрим сначала случай, когда а = 3 и 2 = 5. Для этих значений существует только одна блок-схема 123—145 с образующими подстановками группы автоморфизмов [c.67]

Для построения циклового индекса С (5 (3, 6)) достаточно заметить, что всевозможные вращения гиперграфа блок-схемы совпадают с вращениями треугольника, группа автоморфизмов которого равна S3. Отличие состоит лишь в том, что при различных поворотах гиперграфа друг в друга переходят не отдельные элементы, а пары элементов. В связи с этим С В (3, 6)) сразу же получается из С(5з) путем замены hj на h j, / е 1 3 [c.70]

Группа автоморфизмов блок-схемы В (3, 7) может быть получена сначала взаимной перестановкой трех вершин гиперграфа внутри каждого четырехугольника (группа 5з), а затем взаимной перестановкой самих четырехугольников (группа 52). Учитывая, что на неподвижной вершине 1 работает группа S, получаем [c.72]

Группу автоморфизмов блок-схемы S (3,7) легче всего получить, если выписать в явном виде все ее подстановки. Пользуясь табл. 2.6 для d = 4, имеем [c.73]

Тогда, если G(fi) —группа автоморфизмов блок-схемы В и G(fi), то семейство [c.77]

В качестве примера рассмотрим код, отнесенный к блок-схеме fi (3, 7), у которого Л0 = <1>, Ле = = <2, 3>, Лт = <6>, Лф, = (4, 5, 7). Группа автоморфизмов этой блок-схемы содержит четыре подстановки (с. 73). После применения к коду подстановок g4, g3, g2, g и последующего упорядочивания элементов соответственно получаем [c.77]

Практическое использование этого правила весьма трудоемко, так как требует последовательного перебора всех подстановок группы автоморфизмов с последующим преобразованием и попарным сравнением получаемых кодов. Поэтому желательно иметь такой признак браковки, который позволил бы ограничиться анализом только одного данного кода, не делая сравнения его с другими. [c.77]

Пусть G (B)—система образующих группы автоморфизмов G B) блок-схемы В и g G B). Пред-полол<им сначала, что g имеет самый простой вид [c.77]

Как известно, Кант ) обосновывал свой взгляд на пространство как на форму чувственности следующим примером две фигуры, являющиеся зеркальными изображениями друг друга ), неконгруэнтны, т. е. неэквивалентны с точки зрения группы конгруэнций, являющейся инвариантной подгруппой автоморфизмов ), несмотря на метрическую тождественность. Отсюда Кант заключал, что пространство не связано с внутренними свойствами тел и является априорной формой чувственного восприятия. Этот пример, положенный Кантом в основу созданной им системы трансцендентального идеализма, разъясняется с точки зрения Клейна, суммирующей все достижения геометрии XIX в. от Лоба- [c.911]

Взаимнооднозначное отображение f Z Z множества Z снова в Z, сохраняющее смежность вершин, называется автоморфизмом графа Г. Другими словами, автоморфизм есть изоморфизм графа в себя. [c.14]

Отсюда видно, что использование теоремы Пойа в первую очередь предполагает знание группы автоморфизмов гиперграфа, точнее,— ее циклового индекса, отыскание которого путем выписывания всех подстановок группы может быть осуществлено только в наиболее простых случаях. К сожалению, не существует общего подхода построения циклового индекса. Однако часто группу автоморфизмов удается выразить с помощью известных операций через некоторые другие группы, цикловые индексы которых известны. Здесь будут описаны две операции, которые используются в дальнейшем. [c.41]

Важную роль на дальнейших этапах синтеза механизма играет наличие силмметричных положений звеньев в блок-схеме, которые необходимо учитывать, например, при построении всех возможных режимов работы механизма. Эту симметрию звеньев можно описать с помощью группы автоморфизмов блок-схемы, совпадающей с группой автоморфизмов ее ги-перграфа. [c.55]

Рис. 2.7. Гиперграф Это выражение для циклового индек-са можно получить и не выписывая всех подстановок группы. Из рис. 2.7 видно, что все автоморфизмы блок-схемы В (3, б) можно получить выполняя еначала перестановки звеньев 2, 3 и 4, 5 на каждом треугольнике гиперграфа (этим перестановкам соответствует симметрическая группа S2), а затем совершая взаимную перестановку самих треугольников (снова работает группа S2). При этом вершина 1 остается неподвижной (учитывается группой 5i). Используя обозначения, относящиеся к произведению и композиции групп, получаем

В гиперграфе блок-схемы В 2>, 7) все автоморфизмы можно получить путем взаимной перестановки трех треугольников относительно неподвижной вершины J. Так как это равносильно перестановке пар вершин, принадлежаш,их треугольникам, то [c.73]

Суперполе может иметь внеш. лоренцов индекс и индекс группы автоморфизмов суперсимметрии, а также индекс к,-л. группы внутренней симметрии. [c.27]

Адекватное геом. описание теорий с расширенной суперсимметрией достигается в рамках гармонич. С. Они получаются добавлением к обычным координатам х , б , 0 ] дополнит, чётных координат, параметризующих пространства групп автоморфизмов. [c.29]

Графы зубчатых механизмов (1983) -- [ c.14 ]

Равновесная и неравновесная статистическая механика Т.2 (1978) -- [ c.23 ]

Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 (1999) -- [ c.123 ]

Динамические системы - 2 (1985) -- [ c.7 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...