Автоморфизм измеримого пространства

Пример П15.2. Выберем в качестве S эргодический автоморфизм измеримого пространства (X, р), в качестве Y — окружность = = х (mod 1) . Если а х) — измеримая функция, определенная на X, со значениями в У, то [c.144]

Если Т обратимо и Т — также измеримое преобразование, то Т называют автоморфизмом измеримого пространства (М, Ж). Всякий автоморфизм порождает циклическую группу автоморфизмов Г" , —оо<гг<оо. [c.7]

Определение 2.1 . Абстрактной динамической системой (М, //, (pt) называется набор, состоящий из измеримого пространства М с мерой /i и группы (pt автоморфизмов mod О, сохраняющих меру [c.15]

Пусть теперь некоторая локально компактная группа и действует автоморфизмами измеримым образом на пространстве Лебега М, Ж, ц) с инвариантной мерой. [c.91]

Если ц инвариантна относительно Г, то Т называют эндоморфизмом пространства М,Ж,]1). Если же Т обратимо и Гц = ц, то Т называют автоморфизмом пространства М, ЭИ, ц). Если Г — измеримое действие группы К, и каждое Т сохраняет меру l,, то Г называется потоком на пространстве М,Ж,)1). Наиболее общий случай охватывается следующим определением. [c.9]

Косое произведение динамических систем. Пусть М, Ж, (г) есть прямое произведение пространств с мерой МиЖг,111) и М2,Ж2,щ)- Рассмотрим автоморфизм Г1 пространства Мг и измеримое семейство автоморфизмов ГгСАгО пространства М2, измеримым образом зависящее от Х1 М1. Последнее означает, что для любой измеримой функции f xux2) функции п х1,Х2)=ЦТ Хи Т2 х1)х2) тнкже измеримы. Введем преобразование Г, действующее по рмуле Т х, х2)=-= (Г1, хь Т2 Х )Х2). Нетрудно проверить, что Г сохраняет меру [г. Автоморфизм Г называется косым произведением автоморфизма Г1 и семейства Г2(х1) . [c.30]

В теории косых произведений естественно возникает понятие коцикла. Пусть Т — автоморфизм пространства (Mi, Jii, ni), G — измеримая группа, т. е. множество, наделенное согласованными друг с другом структурами группы и измеримого пространства. Коциклом для Т со значениями в G называется измеримое отображение 0 MiXZWG, удовлетворяющее соотношению Ф хиТП- -п)=Ф хит) Ф Т Хип). Коциклы i и Фг когомологичны, если найдется такое измеримое отображение if Mi- G, что Oi(Xi, п) = [ lp Tl Xl)]- Ф2 xu п) -tl3(A i). [c.31]

Поток Г, 0,, Т ) определяется в классической механике ) как однопараметрическая группа Г< автоморфизмов (тодО) (зависящих измеримым образом от t) пространства с мерой (Г, х). Этому определению соответствует однопараметрическая группа U(p(t) унитарных операторов, определяемых соотношением [c.81]

Пусть Ti есть факторавтоморфизм Т, и гомоморфизм ф таков, что прообраз ф (л 1) почти каждой точки Xi Mj конечен и состоит из N точек. Если Т эргодичен, то условная мера каждой из них, как условная мера на элементе разбиения, индуцированного отображением ф, равна N . Тогда автоморфизм Г можно представить как косое произведение над Т, в котором Мг есть пространство из N точек, а семейство T ixx) состоит из перестановок множества Мг. В общем случае, если Тх — факторавтоморфизм эргодического автоморфизма Г и ф М->--> Mi — соответствующий гомоморфизм, то разбиение пространства М на прообразы ф (лг1), Xi6Mi, измеримо. Ему отвечает каноническая система мер ( с Сб . [c.31]

Определение 4.2. Измеримое разбиение пространства Лебега (М, Ж, (х) называется бернуллиевским относительно автоморфизма Г М- М, если все его сдвиги Г" , —оо<п<оо, независимы. Автоморфизм Г называется В-автоморфизмом, если он имеет бернуллиевское образующее разбиение. [c.54]

Ниже часто будут встречаться пары (Г, ), где Г — эргодический автоморфизм пространства (М, Ж, х), Е — разбиение М. Не оговаривая особо, мы будем считать, что = (С1,.. ., Сг) — конечное измеримое разбиение, и порядок его элементов фиксирован (т. е. Е — упорядоченное разбиение), М — пространство Лебега с непрерывной мерой. Каждой паре (Г, ) естественно сопоставляется случайный процесс с г состояниями или, иными словами, инвариантная относительно сдвига мера в пространстве ЛГ двусторонних последовательностей из г символов. Две пары (ГьЕО. ( 2, Ег) считаются эквивалентными (Гь 10 (Гг, 1а), если им отвечает одна и та же мера на М . Иногда пару (Г, ) называют процессом, отождествляя ее с отвечающим ей случайным процессом. [c.54]

Очевидно, что Т/ и 5 коммутируют. Пусть У = У 1х(8) — факторпространство относительно действия 5, т. е. относительна измеримой оболочки разбиения на траектории т(5). Тогда У снабженное фактормерой 1л / г(5), есть снова пространство-Лебега (может быть с а-конечной инвариантной мерой), на котором корректно определен поток Г = Г//х(5). Этот поток мы назовем потоком Пуанкаре или потоком, ассоциированным с траекторным разбиением автоморфизма 5. Основное свойство этой конструкции в следующем. [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...