Автоморфизм с чисто точечным спектром

Определение 2,1. Эргодический автоморфизм Т (поток Р ) называется автоморфизмом (потоком) с чисто точечным спектром, если циклическая группа /г" (однопараметрическая группа ит ) имеет полную в Ь [М, 2Д, (г) систему ортогональных собственных функций. [c.38]

Теорема 2.1 (Нейман [98]). Для того, чтобы эргодические автоморфизмы Г,, Гг пространства Лебега (Мь Л"ь [гО, (ЛГг, <Ж2, м-г) с чисто точечным спектром были метрически изоморфны, необходимо и достаточно равенство Л г(Т 1) =Л г(Т 2), где Аа(Т)—счетная подгруппа окружности образованная собственными значениями оператора От, сопряженного с Т. [c.38]

С помощью теории двойственности Понтрягина для произвольной счетной подгруппы легко построить автоморфизм с чисто точечным спектром, у которого Аа(Т)=А. Этот автоморфизм есть групповой сдвиг на компактной группе М характеров группы Л с нормированной мерой Хаара (х и задается формулой Tg=g go g, g< M), где go(k) =к, к А. [c.38]

Как и в случае автоморфизмов, для любой счетной подгруппы Лс Я можно построить поток Р с чисто точечным спектром, у которого Лй( 7 )=Л и который состоит из сдвигов на группе характеров группы Л. Поэтому всякий эргодический поток с чисто точечным спектром метрически изоморфен потоку, порожденному групповыми сдвигами вдоль некоторой однопараметрической подгруппы группы характеров спектра. [c.39]

Теория автоморфизмов с чисто точечным спектром обобщается на более широкий класс систем. [c.40]

Всякий автоморфизм с чисто точечным спектром, разумеется, имеет квазидискретный спектр. Эргодический косой сдвиг на двумерном торе Т х,у) = х+а, у+х), x,y S а иррационально, — пример автоморфизма с квазидискретным спектром, но не с чисто точечным спектром. [c.40]

Для автоморфизма Т с чисто точечным спектром максимальный спектральный тип р (т. е. тип дискретных мер, сосредоточенных на группе Ad (Г)), очевидно, подчиняет свою свертку р р. Это свойство, называемое групповым свойством спектра, имеется также у многих естественно возникающих систем с непрерывным или смешанным спектром. Однако, гипотеза о том, ЧТО так бывает всегда, оказалась неверной. [c.42]

С помощью аппроксимаций строится такой эргодический автоморфизм Т, что максимальный спектральный тип а оператора 1/т не подчиняет свою свертку <т а (см. [20]). Смысл этого примера в следующем для эргодических автоморфизмов с чисто точечным спектром свойство максимального спектрального типа о оператора От подчинять свертку а о непосредственно вытекает из того, что множество собственных значений С/т есть группа. До введения аппроксимаций существовала гипотеза о том, что это свойство, называемое групповым свойством спектра, имеется у любого эргодического автоморфизма. [c.73]

Теорема 2.1 в сочетании с этим утверждением означает, что всякий эргодический автоморфизм пространства Лебега с чисто точечным спектром метрически изоморфен групповому сдвигу на группе характеров спектра. В случае непрерывного времени (для потоков) имеет место аналогичное зтверждение. [c.38]

Оценки сверху для скорости аппроксимации, справедливой для всех автоморфизмов, не существует. Более того, рассмотренный в 2 главы 2 автоморфизм Т с чисто точечным спектром, состоящим из чисел вида ехр 2л1р/2<г, обладает тем свойством, что для любой п) 0 он допускает циклическую аппроксимацию со скоростью /( ). [c.73]

Из этой теоремы, в частности, вытекает, что всякий автоморфизм с чисто точечным, конечнократным или сингулярным спектром имеет нулевую энтропию. [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...