Энтропия автоморфизма

Рассмотрим свободную группу, порожденную двумя элементами а и Ь. Вычислите алгебраическую энтропию автоморфизма, который переводит а в aba и 6 в об. [c.129]

Определение 12.23. Энтропия автоморфизма . Энтропией h (p) автоморфизма Lp называется величина [c.46]

Тогда А-энтропия автоморфизма р относительно разбиения а определяется как [c.54]

Приложение 19 Энтропия автоморфизма а [c.163]

Аналогичными рассуждениями Р. Адлер и Б. Вейс установили ([57]), что любой эргодический автоморфизм двумерного тора, задаваемый целочисленной унимодулярной матрицей, изоморфен, с точки зрения эргодической теории, некоторой стационарной марковской цепи. Этот изоморфизм позволил им провести классификацию всех таких автоморфизмов. Единственным инвариантом нри этом оказалась энтропия автоморфизма в смысле А. Н. Колмогорова, равная логарифму модуля того из собственных чисел матрицы автоморфизма, у которого этот модуль больше 1(для эргодического автоморфизма тора одно из собственных чисел обязательно таково). [c.66]

Другое сходство растягивающих отображений и автоморфизмов тора проявляется при подсчете энтропии /г. их действий на фундаментальной группе. Фундаментальная группа имеет вид тг,(Т , (0,0)) = Z , и отображение Е действует на ее естественных образующих 7, = (1,0) и = (О, 1) следующим образом F ,(7,) = 27, + 72, ,(72) = 7i + Ъ- к как это свободная абелева группа, представления F y , i = 1,2, вида (3.1.22) могут быть приведены к каноническому виду, который оказывается не чем иным, [c.134]

Таким образом, мы столкнулись с интересной ситуацией. Для обоих гладких примеров (т. е. растягивающих отображений окружности и гиперболического автоморфизма тора) со сложной, экспоненциально растущей структурой орбит все три естественные меры экспоненциального роста орбит — скорость роста числа периодических точек р, топологическая энтропия и энтропия действия на фундаментальной группе h, — совпадают. Совпадение первых двух величин является широко распространенным, хотя и далеко и не универсальным явлением. Этот факт, так же как и структурная устойчивость, связан с наличием локальной гиперболической структуры (см. 6.4, теорему 6.4.15, и 18.5, теорему 18.5.1). Совпадение же h, с другими двумя характеристиками в большой степени случайно и зависит как от наличия гиперболичности, так и от малой размерности. Можно показать, что уже для автоморфизмов торов больших размерностей это совпадение может не иметь места (см. упражнение 3.2.8). Однако теорема 8.1.1 показывает, что /г, Дня топологических цепей Маркова скорость роста числа периодических точек и топологическая энтропия также совпадают. Причиной этому вновь служит гиперболичность, поскольку, как мы знаем из конструкций п. 2.5 в, топологическая цепь Маркова топологически сопряжена с ограничением некоторых гладких систем, ограниченных на специальные инвариантные подмножества, которые обладают гиперболическим поведением. [c.134]

Системы с различным асимптотическим поведением для различных начальных условий, неустойчивостью асимптотического поведения относительно начальных условий и высокой (экспоненциальной) степенью роста сложности глобальной структуры орбит, представляемой, например, экспоненциальным ростом числа периодических орбит и положительной топологической энтропией. В эту группу входят растягивающие отображения окружности ( 1.7), гиперболические автоморфизмы тора ( 1.8) и транзитивные топологические цепи Маркова, включая полный сдвиг ( 1.9). [c.156]

Неравенство h (F) log A вытекает также из вариационного принципа (теорема 4.5.3). Другой способ вычисления энтропии гиперболического автоморфизма тора содержится в упр. 4.4.6 и 4.4.7. [c.187]

Весьма естественен вопрос об условиях единственности такой меры. Очевидно, можно брать объединение нескольких непересекающихся копий одной и той же разделяющей системы, которое представляет собой разделяющую систему, или объединение нескольких различных систем с одинаковой энтропией, и по второму утверждению предложения 3.1.7 и второму утверждению предложения 4.3.16 мера с максимальной энтропией тогда не будет единственной. Не помогает и добавление условия топологической транзитивности (упражнение 4.5.2). Однако, как мы увидим в 20.1, для большого естественного класса разделяющих динамических систем, который, в частности, включает все транзитивные топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора, подковы, растягивающие отображения и т д, инвариантная мера с максимальной энтропией единственна. [c.191]

В просто малоразмерной ситуации могут наблюдаться явления, характерные для общих динамических систем, например экспоненциальный рост числа периодических точек, положительность топологической энтропии (определение 3.1.3), нетривиальные гиперболические множества (определение 6.4.2) и присутствие большого количества инвариантных мер. Гладкие примеры из нашей второй группы, т. е. растягивающие отображения из 1.7, квадратичные отображения и двумерные подковы из 2.5 и гиперболические автоморфизмы двумерного тора ( 1.8) — представители этой категории. Имеются, однако, два различия между системами малых размерностей и ситуацией в динамике в целом. В первом случае некоторые сложные динамические явления появляются в упрощенной форме сравните, например, конструкцию марковского разбиения на параллелограммы для гиперболического автоморфизма двумерного тора, описанную в 2.5, с об- [c.388]

Вариационный принцип (теорема 4.5.3) говорит нам, что топологическая энтропия равна верхней грани метрических энтропий. Мы знаем также, что для разделяющих отображений эта верхняя грань достигается (теорема 4.5.4). Таким образом, естественно попытаться исследовать эти специальные меры, энтропия которых максимальна. Для линейного растягивающего отображения окр ности и топологического сдвига Бернулли меры максимальной энтропии определялись очевидным образом, а для гиперболических автоморфизмов тора мы установили, что мера Лебега обладает максимальной энтропией (4.4.7). В предложении 4.4.2 мы показали, что специальная марковская мера /X[j, так называемая мера Перри, обладает максимальной энтропией для любой топологической цепи Маркова. Кроме того, упражнение 4.4.2 позволяет утверждать, что эту меру можно рассматривать как предельное распределение периодических орбит. То же, очевидно, верно для меры Лебега в случае линейного растягивающего отображения. Теперь мы покажем, что при наличии свойства спецификации [c.616]

Докажите, что мера Лебега А — единственная мера максимальной энтропии для гиперболического автоморфизма тора. [c.623]

Определение 12.17. Энтропия разбиения относительно автоморфизма. Пусть (М, /X, (р) — динамическая система, а — конечное (или счетное) измеримое разбиение многообразия М. Энтропией а относительно ср называется число [c.44]

Эта теорема показывает, что всякий эргодический автоморфизм с конечной энтропией можно реализовать как стационарный случайный процесс теории вероятностей с дискретным временем и конечным числом состояний. [c.51]

Теорема 3.4 (см. [38]). Если 7 — эндоморфизм с вполне положительной энтропией, то 7 — точный эндоморфизм. Если 7 — автоморфизм с вполне положительной энтропией, то [c.51]

Теорема 3.8 (см. [38]). Свойство автоморфизма иметь нулевую энтропию эквивалентно любому из следующих свойств [c.52]

Проблема классификации динамических систем с точностью до метрического изоморфизма (проблема изоморфизма), как показывают имеющиеся в настоящее время примеры, в общей постановке является совершенно необозримой. Введение энтропии и доказательство с ее помощью существования континуума попарно неизоморфных автоморфизмов Бернулли привлекло внимание к суженной проблеме изоморфизма, относящейся к классам автоморфизмов Бернулли и /С-автоморфизмов. Для них проблема изоморфизма ставится как своеобразная проблема кодирования. В случае, например, автоморфизмов Бернулли с разными пространствами состояний (разными алфавитами) требуется закодировать последовательности, записанные в одном алфавите, в последовательности, записанные в другом [c.52]

Теорема 4.1 (Я. Г. Синай [43]). Любые два автоморфизма Бернулли с одинаковой энтропией слабо изоморфны. [c.53]

Фельдманом (см. [101]) был также построен пример эргодического автоморфизма Го с нулевой энтропией, ие являющегося LB-автоморфизмом, т. е., в частности, не эквивалентного никакому групповому сдвигу. Используя этот пример и теорему 5.2, можно строить автоморфизмы с положительной энтропией и даже /(-автоморфизмы, не обладающие LB-свойством. [c.64]

Теорема 5.5. Если Гь Гг — конечно фиксированные автоморфизмы, и либо оба они имеют нулевую энтропию, либо оба [c.65]

Теорема 1.5 (см. [20]). Если Г — эргодический автоморфизм с энтропией Н Т), то Н Т) = 1/2 с Т), где с(Т) —нижняя грань множества таких чисел 0, что Т допускает а. п. п. I со скоростью f(n) —в/1п п. [c.73]

Теорема тем самым показывает, что в определенном смысле траекторный изоморфизм для группы Z оказывается мало содержательным никакие динамические инварианты (спектр, энтропия и др.) не сохраняются при траекторной изоморфизме что касается типа разложения на эргодические компоненты, то он является геометрическим инвариантом автоморфизма, так как, очевидно, не меняется при траекторной изоморфизме, и им исчерпывается перечень траекторных инвариантов. [c.93]

Свойство автоморфизма иметь нулевую, положительную или бесконечную энтропию, в силу теоремы Абрамова (свойства 6 . 7 энтропии автоморфизма), является инвариантом эквивалентности в смысле Какутани. Долгое время были известны лишь эти три класса неэквивалентных систем. Примеры, показывающие, что внутри указанных классов также есть неэквивалентные системы, были построены сравнительно неда вно с помощью методов, в значительной степени навеянных изложенной в предыдущем параграфе теорией Орнстейна. Мы дадим краткое изложение этих методов и полученных с их помощью результатов. [c.62]

Определение инвариантов типа энтропии, для действий групп, естественно обобщающее определение энтропии автоморфизма,, было дано в [21] (см, также [67], [81]). Как и при обобщении эргодических теорем, достаточно развитую теорию можно построить для класса аменабельных групп. Мы будем в основном рассматривать лишь группы 2 , от 2, для которых имеются наиболее полные результаты, и начнем с определения энтропии для этого случая. Для упрощения обозначений положим т = 2. [c.85]

В случае когда ф --постоянная функция, является едннстоенной инвариантной мерой, максимизирующей энтропию (ф = 0 и ф имеют одно и то же равновесное состояние). Для гиперболического автоморфизма двумерного тора является мерой Хаара, а конструкция 4.1 принадлежит Адлеру и Вейсу [1], Эта статья играет важную роль в развитии предмета к хорошо читается. Еслн = ь С, мера t максимальной энтропией все же имеет следующий геометрический смысл периодические точки па Й равномерно распределены относительно [5]. К. Зигмунд [19] рассмотрел типичные свойства мер па i2j. [c.90]

Инвариантная мера для топологических цепей Маркова, заданная уравнениями (4.4.5) и (4.4.6), была введена Перри в [244]. Она использовалась Адлером и Венссом при доказательстве того факта, что автоморфизмы двумерного тора с равной энтропией ме-гоически изоморфны. Доказательство опирается на марковское разбиение, описанное в 2.5. Хотя этот факт теперь может быть доказан с помощью теории изоморфизмов Орнстейна, он предшествовал работе Орнстейна об изоморфизмах сдвигов Бернулли и был одним из ранних нетривиальных примеров метрического изоморфизма в динамике. [c.726]

Орбиты У-систем очень неустойчивы две орбиты с близкими начальными условиями экспоненциально разбегаются друг от друга. Это свойство приводит к асимптотической независимости будущего и прошлого У-автоморфизмы эргодичны, являются перемешиванием , обладают бесконечным лебеговским спектром и положительной энтропией, словом, они представляют собой /(Г-системы. У-системы образуют открытое множество в пространстве классических систем. Следовательно, все системы, близкие к У-системе, обладают такими же стохастическими свойствами. В частности, это относится к геодезическим потокам на компактных римановых многобразиях отрицательной кривизны. Таков первый пример У-систем. [c.57]

Из этой теоремы, в частности, вытекает, что всякий автоморфизм с чисто точечным, конечнократным или сингулярным спектром имеет нулевую энтропию. [c.51]

Автоморфизмы с нулевой энтропией характеризуются тем, что для них я(Г) =г, и в этом смысле они противопошожны /С-автоморфизмам, где n(T)=v. [c.52]

В теореме Орнстейна пространства состояний для Гь Гг не предполагаются конечными или счетными, случай Л(Г1) = = Л(Гг)=оо также не исключается. Таким образом, энтропия является полным метрическим инвариантом автоморфизмов Бернулли. [c.54]

Проблема изоморфизма для К-систем. В то время как для автоморфизмов. Бернулли полная их метрическая классификация дается теоремой Орнстейна, в случае /(-систем ситуация значительно более сложная. Имеющиеся здесь результаты носят отрицательный характер. Орнстейн построил пример /(-автоморфизма, метрически не изоморфного автоморфизму Бернулли. Некоторая модификация этого примера привела к построению континуума попарно не изоморфных /С-автоморфнзмов с одинаковой энтропией. [c.60]

Существовала принадлежащая М. С. Пинскеру гипотеза о том, что всякий эргодический автоморфизм Т с h t)>Q метрически изоморфен прямому произведению Т1ХТ2, где Г1 —/(-автоморфизм, а Л(Г2)=0. Справедливость этой гипотезы означала бы, что общая проблема изоморфизма для эргодических автоморфизмов сводится к двум частным случаям, относящимся к автоморфизмам с нулевой энтропией и /(-автоморфизмам.. Однако контрпример к гипотезе Пинскера, также построенный Орнстейном, показал, что такое сведение невозможно. Все это указывает на то, что проблема изоморфизма в классе /(-систем чрезвычайно сложна. [c.60]

Общая конструкция Орнстейна для доказательства изоморфизма автоморфизмов Бернулли с одинаковой энтропией приводит к нефинитарному изоморфизму. Имеются примеры метрически изоморфных сдвигов в пространстве последовательно- стей, не являющихся финитарно изоморфными. Тем не менее, справедлива следующая [c.61]

Из соотношения между /-метрикой и -метрикой вытекает, что класс LB-автоморфнзмов содержит все В-автоморфизмы с конечной энтропией. На самом деле этот класс значительно шире. Многие автоморфизмы с нулевой энтропией, в частности, эргодические сдвиги на коммутативных компактных группах, эргодические перекладывания отрезков (см. 2 гл. 4) являются -автоморфизмами. [c.64]

Построен пример автоморфизма Г, не эквивалентного в смысле Какутани Т (см. [101]). Для любого h, 0[c.66]

Пусть М — пространство последовательностей х= хп , /z6Z, где каждое Хп — точка пространства Лебега (Х, S , Я), на котором действует автоморфизм S. Мера х на М, как и в предыдущем примере, является produ t-мерой меры Я. Автоморфизмы Гь Т2 пространства М задаются формулами i( n ) = S , Т2 Хп ) = Хп+ . Энтропия действия группы Z , порожденного 7 и Гг, равна h S). [c.87]

Теорема 3.19 (см. [4], [6]). Диффеоморфизм Аносова с мерой Лиувилля класса изоморфен автоморфизму Бернулли (в частности, он эргодичен, перемешивает, обладает /С-свойст-вом, имеет положительную энтропию) кроме того, он обладает свойством экспоненциального убывания корреляций и удовлетворяет центральной предельной теореме теории вероятностей для функций, удовлетворяюших усло1вию Гёльдера. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...