Автоморфизм Смейла

Подкова Смейла и ее аналоги, с одной стороны, н введенное Я- Г. Синаем понятие марковского разбиения, с другой, вновь вызвали к жизни методы символической динамики. На сей раз обнаружилось, что эти методы являются эффективным средством анализа таких классических систем, как алгебраические автоморфизмы тора, нелинейные колебания и небесная механика. Можно надеяться, что в скором времени такие понятия, как символическая модель , топологическая марковская цепь и т. п., станут для изучающих конкретные системы столь же привычными, как инвариантный тор , разложение в ряд Фурье , показатели Ляпунова . [c.6]

Символическая динамика для некоторых геодезических потоков восходит к Адамару и была развита Морсом (9]. Смейл [13] перенес се на случай подковы , а Адлер и Вейс [1] —на случай автоморфизмов тора. Синай [10], [И] доказал теоремы пп. С и Ъ для У-диффеоморфизмов, а в 15] они были обобщены иа случай диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А. [c.74]

У-диффеоморфизмы и У-потоки (вместе У-системы) возникли как естественное обобщение алгебраических автоморфизмов тора и геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны [Аи]. С другой стороны, подкова Смейла [17] и ее разнообразные обобщения [С] послужили стимулом для выделения более широкого класса динамических систем, обладающих гиперболическими свойствами, класса систем, удовлетворяющих так называемой аксиоме А Смейла, илн класса А-систем (диффеоморфизмов и потоков). [c.214]

Упражнение 17.1.2 указывает на интересное сходство между аттрактором Смейла и автоморфизмами тора и сдвигами. [c.537]

Покажите, что отображение / Л -> Л аттрактора Смейла топологически сопряжено с автоморфизмом некоторой компактной абелевой группы О (ср. с обсуждением структуры группы на в п. 4.2 е). [c.537]

Основной результат настоящей статьи состоит в том, что п сохраняет свойство минимальности и что все минимальные подмножества / нульмерны. Это, в частности, дает ответ на следующий вопрос Смейла [10] может ли гиперболический автоморфизм тора иметь одномерные минимальные множества Хирш [2] показал, что в этом примере пе может быть минимальных множеств коразмерности один. [c.92]

Эта статья в той или иной степени является непосредственным развитием упомянутых более ранних работ по диффеоморфизмам. Этим работам в свою очередь предшествовали подкова Смейла [23], [24], работа Адлера и Вейса [I] про автоморфизмы двумерного тора, марковские разбиения Сииая для У-днффеоморфнзмов [21], [22]. Для настоящей статьи были также полезны заметки Морса [15], Наконец, упомяием о статье [19], в которой было построено марковское разбиение для трехмерного У-потока. [c.108]

Мы встречались с понятием марковского разбиения неоднократно при рассмотрении кодирования для растягивающих отображений (п. 2.4 б), при изучении множеств типа подковы для квадратичных отображений (п. 2.5 б) и подковы Смейла (п. 2.5 в), при исследовании гиперболического автоморфизма тора (п. 2.5 г), гиперболических отталкивающих множеств для общих одномерных систем (теорема 16.1.1) и аттрактора Смейла ( 17.1). Во всех этих примерах марковские разбиения дают либо сопряжение с топологической цепью Маркова, либо полусопряжение, которые описываются весьма элементарным образом. Оказывается, это явление представляет собой феномен, характерный для малых размерностей и возникающий благодаря тому факту, что граница каждого из упомянутых множеств представляет собой конечное объединение отрезков устойчивых и неустойчивых многообразий. Уже для гиперболического автомтфизма тора Т необходимо определять элементы разбиения таким способом, чтобы граница содержала несчетное множество отрезков устойчивых или неустойчивых многообразий. Таким образом, геометрическая структура марковских разбиений в высших размерностях оказывается гораздо более сложной. Однако возможность рассматривать марковские разбиения существует, и с помощью этих разбиений мы сможем установить достаточно хорошее соответствие между марковской моделью и компактным локально максимальным гиперболическим множеством Л. [c.593]

Подобно тому как вращения окружности и сдвиги на торе являются частными примерами сдвигов на компактных абелевых группах, автоморфизмы и эндоморфизмы тора являются простейшими примерами автоморфизмов и эндоморфизмов компактных абелевых групп. Топологический сдвнг Бернулли, обсуждаемый в следующем параграфе, и аттрактор Смейла, который обсуждается в 17.1, также могут рассматриваться как автоморфизмы компактных абелевых групп. Изучение динамики к эргодической теорнн автоморфизмов компактных абелевых групп связано с вопросами, относящимися к коммутативной алгебре, алгебраической геометрии и в особенности алгебраической теории чисел. Эта взаимосвязь хорошо представлена в книге Шмидта [287], [288]. [c.723]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...