Периодические теорема существования

Поверхность М, определенная в предыдущем параграфе, может иметь любое число конечных выпуклых границ, помимо границ в бесконечности, и для такой поверхности справедливы полученные в предыдущем параграфе теоремы существования периодического движения. [c.141]

Каждое из упомянутых периодических решений, существование которых установлено при помощи теоремы Ляпунова, может быть фактически найдено в виде бесконечных рядов, расположенных по степеням некоторой произвольной постоянной, абсолютно сходящихся для всякого значения независимой переменной V (а значит, для всякого значения I), пока числовое значение произвольной постоянной не превосходит некоторого отличного от нуля предела. [c.264]

Величины m и и по формулам (7.29 ) зависят только от радиуса а исходной круговой орбиты (невозмущенного движения), а стало быть, каждое из отношений п/т и min будет функцией от а. Для нахождения периодических решений, существование которых обусловливается теоремой Ляпунова, мы должны исключить из рассмотрения такие орбиты (если они существуют), для которых хотя бы одно из этих отношений есть целое число. [c.320]

Покажите, что инвариантное множество Л в подкове из п, 2.5 в содержит совершенное подмножество, на котором наше отображение минимально. Выведите отсюда, что периодические точки, существование которых гарантирует лемма Аносова о замыкании (теорема 6.4.15), могут не принадлежать гиперболическому множеству. [c.278]

Если для 7 выполняется счетное множество условий (29) и (30), то по теореме существования имеется второе семейство периодических решений с приближенным значением периода 2ж1/ 2- [c.163]

ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ [c.67]

Теорема Блоха. Кристаллическая решетка самим фактом своего существования свидетельствует о наличии в кристалле периодического электрического поля. Очевидно, что потенциал поля обладает той же пространственной периодичностью, что и сама решетка. Уравнение Шредингера для электрона в кристалле имеет вид [c.335]

Следовательно, условия теоремы 30.2 выполняются. Существование этих периодических решений является новым результатом он не следует из рассуждений 29.4. [c.612]

Интуитивные соображения, которые навели Пуанкаре на мысль о связи теоремы о кольце с вопросом о существовании периодических орбит, не очень убедительны и во многих отношениях спорны, но, несмотря па это, в следующем параграфе мы приведем аргументацию Пуанкаре ввиду ее особой важности для понимания вопроса и значительного исторического интереса. [c.620]

Справедливость этой теоремы может быть установлена путем ссылки па известную работу Ф. Трикоми [88], если содержащийся в ней критерий существования периодического решения применить к каждой из полос устойчивости и неустойчивости (7.7) . [c.264]

Исследование вопроса о существовании периодических решений системы (18.1) по сравнению с таким же вопросом, касающимся системы вынужденных колебаний (1.1), представляет некоторые дополнительные трудности. Трудности эти возникают из-за того, что в случае автономной системы нельзя, вообще говоря, заранее указать период искомого периодического решения, в то время как в случае системы вынужденных колебаний (1.1) периодическое решение обычно имеет период, равный или кратный периоду правой части. А в тех случаях, когда система (1.1) имеет решение с периодом. несоизмеримым с периодом правой части, это решение, как следует из теоремы 1.7, располагается в множестве, на котором правая часть не зависит от времени t, т. е., строго говоря, в этом случае мы как раз имеем дело с системой вида (18.1). [c.280]

Топологические препятствия к существованию нетривиальных групп симметрий обратимых систем впервые получены автором в [106] (теорема 2). Там же сформулирована в виде гипотезы теорема 1. Эта теорема доказана С. В. Болотиным с помощью детального анализа семейства траекторий, двоякоасимптотических к периодическим траекториям из различных гомотопических классов. Более точно, доказано, что в предположениях теоремы 1 3 найдется замкнутая гиперболическая траектория с трансверсально пересекающимися асимптотическими поверхностями. Из этого результата вытекает, в частности, стохастизация фазового потока и, как следствие, отсутствие дополнительных интегралов и групп симметрий (см. по этому поводу гл. V). [c.156]

Значительно более сложным становится изучение рассматриваемого вопроса, если определитель Пуанкаре (2.7) равен нулю. Здесь уже недостаточна теорема о существовании неявных функций в ее простейшей формулировке. Между тем такие, казалось бы, весьма специальные с математической точки зрения случаи представляют наибольший интерес для теории нелинейных колебаний. Действительно, именно в этих случаях, согласно сказанному выше, нет однозначного соответствия между периодическими решениями исходной и порождающей систем уравнений. Поэтому при обращении определителя (2.7) в нуль с переходом от 1=0к л=7 0 как раз и получаются качественные изменения. [c.159]

Необходимо подчеркнуть также (это не всегда делается при изложении метода) особую роль, которую играет в методе Пуанкаре теорема о существовании неявных функцией. По существу, основная идея метода и состоит в сведении вопроса о существовании периодических решений системы дифференциальных уравнений к вопросу о существовании неявных функций. Специфика состоит лишь в том, что особый интерес представляют особые случаи, как правило, не рассматриваемые в общих курсах и руководствах. [c.159]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Периодические движения вблизи обобщенного равновесия (та = 1). Последняя геометрическая теорема Пуанкаре и ее об-общения доставляют нам дополнительное орудие для установления существования периодических движений. До сих пор еще не найдено какого-либо обобщения этой теоремы на большее число измерений, так что ее применение ограничивается динамическими системами с двумя степенями свободы. В этой главе мы намереваемся изложить некоторые основные идеи, содержащиеся в этой теореме и ее применениях. [c.157]

Геометрическая теорема Пуанкаре . Пуанкаре показал, что существование бесконечного множества периодических орбит в ограниченной проблеме трех тел и других динамических задачах тотчас следует из некоторой геометрической теоремы, с которой лемма 1 тесно связана. [c.172]

Ценность устранения условия совпадения кривых F и Fi явствует из того, что обобщенная теорема может быть применена для установления существования бесконечного множества периодических движений вблизи устойчивого периодического движения динамической системы с двумя степенями свободы. Далее, из этого сразу вытекает существование движений, которые сами не периодичны, но являются равномерными пределами периодических движений. Действительное существование таких квазипериодических движений, насколько мне известно, до сих пор не было доказано . В настоящей работе я не рассматриваю этих динамических приложений. [c.290]

Замечание 2. В рассматриваемой задаче известен ряд частных случаев интегрируемости [36]. В основном это периодические решения, выраженные в конечном виде через известные функции. Некоторые из них (например, решения Бобылева-Стеклова) при малых значениях параметра ц представляют собой частные случаи периодических решений, существование которых доказывается теоремами 1 и 2. [c.85]

Следовательно, но теореме существования 14 корням Аз = г, Ае = —i соответствует однонараметрическое семейство периодических решений уравнений (27), лежащих вблизи равновесного решения и имеющих период, приблизительно равный 2тг. Но эти решения уже известны они бьши найдены как обобщенные решения Лагранжа в конце 12, когда искались частные решения с эллиптической орбитой, близкие к круговым решениям Лагранжа. Используя известные формулы для решения задачи двух тел, легко установить, что при фиксированном значении постоянной интеграла площадей г>4 существует еще одно семейство эллиптических решений, параметром которых можно выбрать период т. Если положить с = os t — И4), 3 = 81п(4 — М4), то из уравнений (12 3), (12 4), (9) и (24) получается [c.162]

Ранее мы выяснили, что конденсация атомов (или ионов и электронов) приводит к понижению энергии системы и является вследствие этого энергетически выгодным процессом. Поэтому в невозбужденном состоянии при предельно низких температурах все тела находятся в конденсированном состоянии, причем, за исключением гелия,—это твердые кристаллические тела. Гелий при нормальном давлении — жидкость, но при давлении в 30 кбар он также становится кристаллом. Существуют различные подходы к объяснению самого факта существования в твердом теле периодического расположения атомов (трансляционной симметрии). Так, согласно теореме Шенфлиса, всякая дискретная группа движений с конечной фундаментальной областью (т. е. элементарной ячейкой) имеет трехмерную подгруппу параллельных переносов, т. е. решетку [22]. Можно объяснять необходимость существования кристаллической решетки, а в конечном счете и вообще симметричного расположения атомов, исходя из третьего закона термодинамики. Согласно этому закону, при приближении к абсолютному нулю температуры энтропия системы должна стремиться к нулю. Но энтропия системы пропорциональна логарифму числа возможных комбинаций взаимного расположения составных частей системы. Очевидно, любое не строго правильное расположение атомов влечет за собой большое число равновозможных конфигураций атомов и приводит к относительно большой энтропии, и только строго закономерное расположение атомов может быть единственным. Поэтому равная нулю энтропия совместима только со строго повторяющимся взаимным расположением составных частей тела [1]. Иногда симметричность расположения атомов в кристалле объясняют исходя из однородности среды. [c.124]

Конечно, это условие не всегда выполнимо. Для простых динамических систем, движущихся согласно периодическому закону, ни при их классическом, ни при квантовом рассмотрении функция Ляпунова существовать не может, ибо такие системы через некоторое время возвращаются в исходное состояние. Возможность существования оператора М определяется типом спектра оператора Лиувилля. В рамках классической эргодической теории этот вопрос недавно изучил Мисра [23]. Я постараюсь рассмотреть здесь некоторые следствия возможности существования оператора М уравнения (36), который можно рассматривать как энтропию систем, анализируемых на микроскопическом уровне. Поскольку М — величина положительная, то согласно общей теореме ее можно представить в виде произведения оператора, скажем, и сопряженного эрмитова оператора (Л" )" " (эта операция означает извлечение из положительного оператора квадратного корня) [c.148]

В 12 устанавливаются общие теоремы о поведении интегральных кривых периодической системы двух дифферен-цивльных уравнений. В частности, здесь устанавливается фундаментальная теорема Массера о существовании периодических решений систем второго порядка. Подробно изу-щеТСЯ поведение диссипативной системы второго порядка. Исследуется возможная структура множества 5 такой системы. [c.7]

Рассмотрим сначала вопрос о существовании периодических движений тела в трехмерном пространстве. Пусть h = U1 — максимальное критическое значение интеграла энергии. При h > U1 область возможных движений совпадает со всей S0 3). На любом римаповом S0 3) существует по крайней мере три различных замкнутых геодезических [52]. Им соответствуют шесть различных периодических движений твердого тела (некоторые из них могут быть перманентными вращениями). При остальных некритических h область В имеет края. Если, например, тело вращается в ньютоновском поле сил (классическое приближение, см. 4 гл. III), то каждая связная компонента области возможных движений согласно [55, 56] диффеоморфна х [О, 1] (Т — двумерный тор) или X В" S — окружность, а В" — двумерный диск). В первом случае граница дВ состоит из двух связных многообразий, диффеоморфпых Т , и, следовательно, по теореме 3 существует, по крайней мере, одно либрационное периодическое [c.143]

Покажем, что при остальных некритических значениях полной энергии существуют либрациоппые периодические движения. Действительно, в этих случаях каждая связная компонента области возможных движений диффеоморфна диску с п дырами (п 0). В случае диска п = 0) существование либрационных периодических движений вытекает из известной теоремы Г. Зейферта [90], а в случае п 1 либрации существуют согласно заключению теоремы 3. Причем, во втором случае можно утверждать больше существуют по крайней мере п (п 1) различных либрационных движений с несамопересекающимися траекториями. [c.145]

Если у области возможных движений есть края, то периодические движения натуральной системы могут быть уже двух типов вращения и либрации. В этой ситуации результаты Уиттекера и Биркгофа не применимы из-за вырожденнос-ти метрики Якоби на границе. Легко указать примеры, когда вращения отсутствуют. Первый общий результат о либрационных периодических движениях натуральных механических систем принадлежит Г. Зейферту [90], доказавшему существование либраций в случае, когда область возможных движений диффеоморфна п-мерному диску. В работе автора [58] доказано существование либрационных решений для случая, когда область возможных движений диффеоморфна N х [О, 1], где N — гладкое компактное многообразие. Методы доказательства существования либраций в работах [58, 90] имеют некоторые общие моменты. Доказательство теоремы о либрациях, проведенное в этой главе, отличается от первоначального [58]. [c.147]

Последние работы Каменкова (1966—1967) посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Здесь доказана общая теорема о том, что задача об устойчивости периодических движений в случаях, несущественно особенных, всегда приводится к задаче об устойчивости равновесия. Анализируются различные случаи, которые могут при этом представиться. Если среди корней характеристического уравнения имеются по модулю равные единице и выполняются условия отсутствия резонанса в числах до порядка N включительно, то подсистема с 2р переменными, соответствующая этим корням, преобразуется в подсистему с р нулевыми корнями с р группами решений. Если же условия отсутстви я резонанса не выполняются, то каждой паре мнимых сопряженных корней соответствует в преобразованной системе два нулевых корня. Каменков (1967) обобщает свои ранее полученные результаты по принципу сведения на системы с периодическими коэффициентами, а также на системы с произвольными непрерывными и ограниченными коэффициентами. Разработанный Каменковым принцип сведения основан на существовании для укороченной системы функций Ляпунова или Четаева, вследствие чего [c.59]

Остающийся открытым вопрос о возможности п-мерного обобщения последней геометрической теоремы Пуанкаре мы сейчас вкратце обсудим. Исследование аналитических свойств движений вблизи данного устойчивого периодического движения динамической системы с п степенями свободы и свойств соответствующего преобразования Г, порождаемого этой системой, по-видимому, указывает на существование бесконечного множества близких периодических движений. Теорема Пуанкаре оказывается лишь качественным выражением существенных элементов аналитического положения вещей нри п = 2 и, в действительности, частный случай, рассмотренный Пуанкаре, достаточен тогда для динамических приложений . Чтобы придти к надлежащему п-мерному обобщению теоремы, необходимо определить качественно существенные элементы п-мерпой аналитической проблемы. Это, вероятно, может быть сделано простым путем. [c.291]

Так называемая последняя геометрическая теорема Пуанкаре была им установлена, чтобы доказать существование таких новых периодических движений. Наш метод показывает, однако, как во многих важнейших случаях можно избежать применения этой теоремы. Очень интересно отмстить, что большинство неправильных попыток доказательства этой теоремы основано на сообра кениях совершенно того же рода, что и вышеприведенные. Эти попытки как раз потому не ведут к цели, что в общем случае теоремы Пуанкаре нам не известно, что С имеет нужный специальный вид. [c.319]

Смотреть страницы где упоминается термин Периодические теорема существования : [c.239] [c.399] [c.97] [c.56] [c.276] [c.149] [c.150] [c.150] [c.162] [c.231] [c.518] [c.157] [c.323] [c.620] [c.181] [c.96] [c.280] [c.89] [c.50] [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...