Хаос эксперименты

Кац В. А. Переходы в хаосе, инициированные внешним гармоническим воздействием, в распределенном автогенераторе с запаздыванием (эксперимент).—Там же,—С, 65—68. [c.402]

Кац В. А., Кузнецов С. П. Переход к хаосу через бифуркации удвоения периода в модели генератора с запаздывающей обратной связью. Численный эксперимент Ц Там же.— С, 45—48, [c.402]

Хаос в лазерном излучении, эксперимент [c.339]

Еще более сложные и удивительные процессы происходят в неоднородных системах Белоусова—Жаботинского. В тонком (около 2 мм) слое раствора спонтанно возникают окрашенные структуры высокой степени сложности (спирали, дуги, окружности), которые движутся вдоль слоя и исчезают при столкновениях [234, 432, 439 ]. При этом раствор в целом не движется, а изменяются концентрации веществ вследствие реакций между ними и диффузии. Такие реактивно-диффузионные системы должны описываться уравнениями в частных производных, и изучение их намного сложнее, чем однородных. Копель [233] аналитически установил существование плоских волн и разрывов, а также периодических во времени и нерегулярных в пространстве решений простой модельной задачи. Еще раньше хаотическое поведение было обнаружено в подобной системе численно [246]. При этом выяснилось, что хаос является следствием диффузии, тогда как в однородной системе происходят только периодические колебания. Недавние эксперименты [437], по-видимому, подтверждают, что именно диффузия приводит к турбулентности. Переход к турбулентности выглядит в экспериментах плавным без какой-либо резкой границы. [c.495]

Классическим аттракторам соответствуют классические геометрические объекты в фазовом пространстве равновесному состоянию — точка, периодическому движению или предельному циклу — замкнутая кривая, а квазипериодическому движению соответствует поверхность в трехмерном фазовом пространстве. Как мы увидим в последующих главах, странный аттрактор связан с новым (по отношению к классической геометрии) геометрическим объектом, называемым фрактальным множеством. В трехмерном фазовом пространстве фрактальное множество странного аттрактора выглядит как набор бесконечного числа слоев или параллельных плоскостей, причем расстояние между некоторыми из них приближается к бесконечно малому. Для описания этого нового аттрактора нелинейной динамики требуются новые математические идеи и язык, а для его обнаружения и количественной характеристики — новые методы эксперимента. Связь между бифуркациями и хаосом обсуждается в недавно изданной книге [193]. [c.32]

Путь к хаосу через удвоение периода. Когда наблюдается явление удвоения периода, в начальном состоянии система совершает основное периодическое движение. Затем, по мере изменения какого-либо параметра эксперимента — назовем его X — происходит бифуркация или изменение движения на периодическое с периодом, в два раза превышающим период исходных колебаний. С дальнейшим изменением X система подвержена последовательным бифуркациям, при каждой из которых период удваивается. Замечательное свойство этого процесса в том, что критические значения X, при которых происходят последовательные удвоения периода, подчиняются при л — 00 следующему автомодельному соотношению (см. также гл. 1) [c.64]

Дальнейшее обсуждение этого эксперимента можно найти в гл. 4 и б. Теория хаоса использовалась также для возбуждения непериодических колебаний в движущейся скульптуре с набором маятников [2051. [c.100]

Хаос капель жидкости. Простая система, с помощью которой читатель может пронаблюдать хаотическую динамику у себя дома, — это протекающий кран. Этот опыт описан Р. Шоу из Калифорнийского университета в Санта-Крус в монографии о хаосе и теории информации [171]. Эксперимент и пример результатов измерений показаны на рис. 3.39. С помощью источника света и фотоэлемента измеряются интервалы времени между каплями, а управляющий параметр — это скорость вытекания воды из крана. В своем эксперименте Шоу фиксировал последовательность моментов времени [7 , но не измерял размер капель и другие их [c.122]

Хаос поверхностных вот. Хорошо известно, что по поверхности раздела двух несмешивающихся текучих сред (пример — воздух над водой) в поле тяготения могут распространяться волны. Такие волны можно возбудить, потряхивая жидкость в вертикальном направлении так же, как при возбуждении параметрических колебаний маятника. Субгармоническое возбуждение волн на мелкой воде было получено еше Фарадеем в 1831 г. Анализ этого явления с точки зрения удвоений периода был проведен группой, работающей на линейном ускорителе Калифорнийского университета [91]. В этих экспериментах исследовались волны на соленой воле в кольце сред- [c.123]

Мы начнем с обзора экспериментально установленных критериев для конкретных физических систем и математических моделей, в которых возникают хаотические колебаний (разд. 3.2). Эти критерии были установлены с помощью физических и численных экспериментов. Мы рассматриваем такие случаи по двум причинам. Во-первых, для того, кто делает первые шаги в излучении хаотических колебаний, полезно ознакомиться с несколькими системами, допускающими хаотическое поведение, и выяснить, при каких условиях возникает хаос. Такие простые случаи позволяют разобраться в условиях возникновения хаоса в более сложных системах. Во-вторых, при разработке теоретических критериев важно иметь некий тест для сравнения теории с экспериментом. [c.161]

Из-за недостатка места мы не в состоянии воздать должное всему богатому разнообразию сложностей, характерных для динамики квадратичного отображения. Оно, несомненно, является одной из главных парадигм в понимании хаоса, и заинтересованный читатель сможет найти недостающие детали в упоминавшихся выше работах. (См. также приложение Б, где приведены результаты численных экспериментов.) [c.177]

График этой функции представлен на рис. 5.6 вместе с результатами физических и численных экспериментов. Критерий (5.3.25) дает очень точную нижнюю границу областей хаоса на плоскости амплитуда—частота вынуждающей силы. [c.185]

Опираясь на результаты численных экспериментов, мы постулируем существование критической скорости. Мы предполагаем, что хаос близок, когда максимальная скорость движения близка к мак- [c.194]

Наиб, успехи в использовании динамич. подхода достигнуты при исследовании перехода от ламинарного к хаотическому во времени течению жидкости. Наиб, распространённые сценарии перехода к хаосу в простых ситуациях (течение Тейлора—Куэтта между вращающимися цилиндрами, термоконвекция)—это разрушение квазипериодич. движений перемежаемость бесконечная последовательность удвоений периода. В экспериментах наблюдаются и более сложные сценарии, однако обнаружение именно этих канонич. сценариев в реальных течениях обосновало справедливость представлений о дннамнч. характере процессов в области перехода к Т. Эти же сценарии обнаружены и в численных экспериментах с полными [точнее, моделируемыми на компьютере с достаточно большим числом (>10 ) ячеек сетки] ур-ииями Навье—Стокса при числах Рейнольдса Ю . [c.183]

Эксперименты, выполненные на поликристаллах Сц—А1 (0,5 5 ат.% А1) и Си—Мп (0,4 6 ат.% Мп) со средним размером зерна 100 мкм, показали, что с ростом <р) в ходе эволюции ячеистой и полосовой субструктур наблюдается следующая цепочка дислокационных превращений хаос — клубки — ячейки без разориентировки — ячейки с разориен-тировкой — полосовая субструктура [148]. [c.90]

Наиболее полные на сегодня исследования самопульсаций, оптического хаоса и сопутствующих эффектов в лазерах на смешении волн проведены на примере кристалла ВаТЮз в режиме самонакачки [87, 88]. В большинстве экспериментов кристалл находился в воздухе. Было показано, что кинетика генерации закономерно связана с местом и углом входа пучка накачки в переднюю грань кристалла (рис. 7.19).. Значение д = О соответствует такому положению пучка накачки аргонового или криптонового лазера (d = 1,5 мм) относительно нижней грани кристалла размером [c.251]

На рис. 140 приведена зависимость от рассчитанная для сферических частиц Fe, принимая то =10 с [1052]. Горизонтальными штриховыми линиями даны обратные величины характерного времени т лц измерений методами ферромагнитного резонанса (ФМР) и ядерного гамма-резонанса (ЯГР). Из (442) вытекает, что если время измерения т зм много меньше т, то за это время состояние первоначально упорядоченных направлений намагниченности частиц не изменяется и система ведет себя как ферромагнетик. В противоположном предельном случае Тизм т будет наблюдаться полный хаос ориентаций векторов М, т. е. парамагнитное состояние. Переход из одного состояния в другое определяется условием Ти-м = т, которое выполняется при измерении эффекта Мёссбауэра на частицах диаметром 50 А при Г = 20 К (см. рис. 140, кривая 2). Эта температура Т = Тв называется блокирующей температурой. Для частиц Fe диаметром 100 А имеем Тв 150 К. Ниже Тв мёссбауэровский эксперимент дает хорошо разрешимый секстет линий от возбужденных состояний Fe, а выше Тв спектр ЯГР показывает только единственный пик. Частицы Fe диаметром 25 А (см. рис. 140, кривая 1) при всех температурах имеют одиночный пик в спектре ЯГР и, таким образом, являются суперпарамагнитными в случае измерения эффекта Мёссбауэра. [c.319]

Другими универсальными характеристиками перехода Фей-генбаума являются отношение интенсивностей появляющихся субгармоник при ге-й и (ге+ 1)-й бифуркациях удвоения периода и изменение формы сплошного спектра при обратных бифуркациях. В работе [446] Фейгенбаум получил, что при ге оо Sn+i 2k) = Sn(k), Sn+i(2k+i)=r S (k + i/2), где у = 2 = = 4aVV2(l + а ) 6,57, (А)—интенсивность к-ш гармоники основной частоты (й = 2я/Г вдали от п-ш бифуркации удвоения. Полученные соотношения означают, что огибающая спектра рожденных при (ге+1)-й бифуркации субгармоник (вдали от точки бифуркации) должна лежать ниже огибающей спектра рожденных при п-й бифуркации субгармоник на 20 Ig "К 16,35 дБ. Однако, как показано в [593], Фейгенбаум ошибся при вычислении величины Y. В действительности у = У2р = 4,5785. .., что соответствует разности между огибающими спектров в 13,214... дБ. Этот результат неоднократно подтвержден как в физических, так и в численных экспериментах (см., например, [535, 658]). Форма сплошного спектра после перехода к хаосу подчиняется аналогичным закономерностям. В работе [680] получено, что спектральная плотность при (ге+1)-й обратной бифуркации (Sn+iia)) связана со спектральной плотностью при п-й бифуркации 8 а)) соотношением [c.245]

В некоторой области значений о и / переход к хаотической автомодуляции происходит через перемежаемость. В зависимости от этих параметров в эксперименте зафиксированы переходы к хаосу через перемежаемость от режимов стационарпой генерации (рис. 9.106, й), периодической (рис. 9.106,6) п квазипериодической (рис. 9.106, в) автомодуляции. [c.361]

Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. [c.336]

Количественные характеристики обнаруженных в упомянутых экспериментах бифуркаций меняются, в частности, в зависимости от размеров цилиндров и от начальных данных. Так, в первом из экспериментов, описанных Ди Прима и Суинни, / 1 = 22,54 мм / 2 = 25,40 мм = / 2—/ 1 = 2,86 мм // 1=0,14 высота цилиндров к = 2Ы Й2 = 0. Число Рейнольдса Ке = й Й1/у при котором происходит переход к хаосу, здесь оказалось равным Не = Кес = = 2501. Вихри Тэйлора появились в этом эксперименте при Ке = = Не/Кес = 0,051 (в количестве й/г/2я=17) при / = 0,064 на них появились изгибные волны (четыре на окружность, с безразмерной частотой /] = 2Я/1/Й1 = 1,30, причем в спектре иг 1) были видны шесть ее гармоник) при = 0,54 появилась вторая (малая) частота /2 с ростом / она убывала до нуля при = 0,78, [c.146]

Пусть, например, х = 0, П[Л] = [1—(1 -f р) Л ]Л и на вход цепочки подается синхронизирующее воздействие А 0) = Аое с частотой, близкой к парциальным собственным частотам элементов цепочки. В зависимости от начальных условий на цепочке может быстро развиться хаос и могут появиться волны переходов колебания хаос и биения—хаос. В частности, высокочастотное сосредоточенное воздействие может приводить к подавлению турбулентности (см. Власов, Гиневский (1967, 1973), Кудряшов, Ман-сфельд, Рабинович, Сущик (1984), Хуссейн, Хасан (1985) и др.). Подавление широкополосных возмущений требует уже распределенного воздействия (которое тогда нужно ввести в амплитудное уравнение) при этом могут возникать, в частности, и переходы соизмеримость — несоизмеримость (см., например, Кулле (1986)). Упомянем, наконец, численные эксперименты Арансона, Гапонова-Грехова и Рабиновича (1985) с двумерным обобщением уравнения (2.122), имитирующим капиллярную рябь Фарадея. [c.160]

С ростом некоторого характерного управляющего параметра (например, мощности накачки лазера) возбуждается все большее число гармоник с частотами oj, Og. гидродинамике этот путь перехода к турбулентности называют моделью Ландау— Хопфа. В лазерах аналогичную картину можно наблюдать, если все больше и больше несвязанных мод вступает в генерацию и при этом не происходит синхронизации частот. Согласно первоначальной модели Ландау—Хопфа, турбулентное состояние в гидродинамике характеризуется бесконечны.м числом гармоник, частоты которых взаимно иррациональны. Эта идея была отвергнута, поскольку эксперимент показал, что после возбуждения колебаний на двух или трех частотах в гидродинамике уже возникает хаос. В лазерах, однако, наблюдалось большее количество несвязанных мод. Поэтохму нужно отметить один специальный термин. [c.212]

Предлагаемая вниманию читателя 1снига профессора и декана факультета теоретической и прикладной механики Корнеллского университета Фрэнсиса Муна — заметное явление в довольно обширной литературе по стохастическим колебаниям. Небольшая по объему, она ориентирована в первую очередь на читателя, делающего первые шаги в понимании тех сложных режимов, которые возникают при определенных условиях в нелинейных системах различной природы и не связаны с действием на эти системы случайных шумов. Предъявляя весьма скромные требования к математической подготовке читателя, автор выстраивает основные идеи, понятия и методы нелинейной динамики стохастических систем в такой тщательно продуманной последовательности, которая позволяет начинающему легко войти в курс дела и активно овладеть новой для себя областью, глубоко прочувствовать ее универсальный характер. Излагая критерии хаоса, сопоставляя и сравнивая результаты физических и численных экспериментов, автор подводит читателя к выводу о фаницах применимости той или иной модели, неизменно подчеркивая физику описываемого явления. [c.5]

Еще с начала века математики тоже знали, что определенные динамические системы обладают нерегулярными решениями. Как явствует из приведенной выше цитаты, Пуанкаре осознавал возможность хаотических решений, об этом в начале века знал и Бирк-гоф. Ван дер Поль и Ван дер Марк [203] сообщали о нерегулярном шуме в статье об экспериментах с электронным осциллятором, опубликованной в журнале Nature. Так что же нового стало известно о хаосе [c.16]

Перемежаемость. На третьем пути к хаосу длительные интервалы периодического движения перемежаются со вспышками хаоса. Эта схема называется перемежаемостью. По мере изменения параметра вспышки хаоса становятся все более частыми и длительными (см., например, [125]). Сообщалось об указаниях на эту модель предхаотического состояния в экспериментах с конвекш<ей в ячейке (замкнутом прямоугольном объеме) с градиентом температуры (на- [c.68]

ИЛИ внезапного исчезновения установившегося хаотического режи ма. Поэтому эксперимент или численное моделирование необходи МО продолжить еще некоторое время после того, как вы пришли к выводу, что в системе появился хаос, даже если отображение Пуанкаре явно отпечатывает фрактальную структуру, характерную для странного аттрактора. Как долго нужно ждать, прежде чем на звать состояние хаотическим В настоящее время ответ на этот во прос может подсказать только здравый смысл. В нашей лаборато рии мы требуем, чтобы в отображении Пуанкаре аттрактора, в котором мы подозреваем фрактальную структуру, накопилось 400 точек, прежде чем назвать наблюдаемое состояние хаотическим Дальнейшее обсуждение переходного хаоса можно найти в гл. 5. [c.70]

Еще об одном наблюдении нестационарных колебаний сообща лось Эвснсоном [34] в техническом докладе НАСА о колебаниях оболочек. Хотя основной целью его исследования вначале были и -линейные колебания упругих цилиндрических оболочек, и аналоговое моделирование и эксперимент обнаружили, что при достаточно сильном возбуждении возникают нестационарные колебания. Вероятно это наблюдение не единственно и в литературе можно найти еще много примеров хаоса, описанных парой строчек, погребенных в статьях о периодических колебаниях. [c.98]

Цепи с периодическим возбуждением хаос в цепи с диодом. Идеальный диод — это элемент цепи, который либо проводит ток, дибо нет. Такое поведение с резким отключением представляет собой сильную нелинейность. Ряд экспериментов по хаотическим колебаниям был проведен с помощью конкретного диодного элемента, называемого варикапным диодом [ИЗ, 162, 189] использованные электрические цепи подобны показанной на рис. 3.31. Сообщалось как об удвоениях периода, так и о хаотическом поведении такой системы. Возможность удвоений периода указывает, что явление математически описывается одномерным отображением, которое связывает абсолютные значения максимального тока в цепи во время (я Ч- 1)- и л -го циклов [c.111]

Итак, МЫ обсудили нелинейную цепь с варикапным диодом и несколько экспериментальных работ, в которых сообщалось о хаосе в этой цепи. Теперь мы расскажем еще об одном эксперименте 19] с последовательно включенными диодом, индуктивностью и сопротивлением, которые находятся под действием сунусоидально-Ю напряжения. Соответствующая математическая модель имеет [c.113]

Как мы уже упоминали в разделе, посвященном математическим моделям, Уэда [197] исследовал хаос в цепи с отрицательным сопротивлением. Отрицательные сопротивления создаются в эксперименте новым методом с использованием операционных усилителей. Эксперименты Мацумото и др. [128, 129] и Брайанта и Джеф- [c.115]

Частоты, наблюдаемые в этих экспериментах, очень низки (например, 9—30-10 Гц. Французская группа одной из первых получила отображения Пуанкаре в опытах с жидкостями. Этому способствовало то, что они обнаружили в жидкости области, где преобладала одна частота, т. е. один осциллятор. Эту частоту можно было использовать для временной привязки отображений Пуанкаре. Два таких отображения показаны на рис. 2.18. Первое квазипериодично, и отношение частот близко к 3. Второе содержит 1500 точек отображения и показывает разрушение тороидального аттрактора перед установлением хаоса, я измерения параметров течения использовались лазерный доплеровский анемометр и метод дифференциальной интерферометрии. Захват мод н хаос в конвекции исследуются также в более поздней работе [62]. [c.119]

Замкнутый термосифон. Как ни странно, при всем внимании к аттрактору Лоренца как парадигме хаоса в конвективном течении было сделано немного попыток поставить эксперимент, который повторил бы все предположения модели Лоренца. Таким экспериментом, вплотную приближающимся к модели Лоренца, является опыт с течением жидкости в кольцевой трубке в поле силы тяжести. Связь этого эксперимента с моделью Лоренца была замечена Хартом [61]. Конвективные течения представляют интерес как модели геофизических течений, подобных теплым восходящим потокам или течению подземных вод сквозь проницашые слои земной коры важны также приложения к системам нагрева с помощью солнечной энергии или к системам охлаждения активной зоны реакторов. [c.120]

В большинстве экспериментов с жидкостями, твердыми телами а реагирующими смесями результаты измерений можно рассматри- ать как бесконечномерные непрерывные множества. Однако для объяснения основных особенностей хаотических или турбулентных 0ИЖШИЙ системы часто пытаются получить математическую мо-аепь с неболыиим числом степеней свободы. Обычно это делают, проводя измерения лишь в нескольких местах объема, занятого непрерывной средой, или ограничивая полосу частот, в которой исследуется хаос. Это особенно важно, когда данные о скорости, необходимые для построений в фазовом пространстве, должны быть залечены из наблюдения эволюции поля деформаций. При этом мектронное дифференцирование усиливает высокочастотные сигналы, которые не могут представлять интерес в данном эксперименте. Поэтому часто возникает необходимость в электронных фильтрах очень высокого качества, особенно таких, которые в рассматриваемом диапазоне частот создают малый (или нулевой) сдвиг [c.133]

К сожалению, до сих пор известно лишь очень немного физических примеров или экспериментов, связанных с исследованием переходного хаоса. Однако нет никакого сомнения в том, что переход-нь1й хаос представляет собой благодатную почву для будущих исследований. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...