Критерий хаоса

Кооперативный параметр 242 Критерий хаоса 210 Критическое замедление 310, 331 [c.345]

Ряд экспериментаторов, имеющих дело с хаотической динамикой, разработали алгоритмы вычисления показателя Ляпунова X. Для регулярных движений X < О, но в хаотических режимах X > 0. Таким образом, знак X является критерием хаоса. Измерение показателя Ляпунова требует обработки данных с помощью компьютера. Были разработаны алгоритмы вычисления X по измерениям од-вой динамической переменной x(t) с помощью построения псевдо-нового пространства (см., например, [208]). [c.157]

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ ХАОСА [c.161]

Критерий хаоса в терминах показателя Ляпунова принимает следующий вид [c.199]

Согласно второму закону термодинамики в изолированной системе энтропия, являющаяся показателем состояния системы и критерием эволюции системы, всегда возрастает. Однако, в природе в большинстве своем системы являются открытыми. В открытых системах может устанавливаться стационарное состояние, при котором необходимо учитывать не только общий статистический баланс энергии, но и скорости трансформации энергии. Это в полной мере относится и к автоколебательным процессам, являющимся самоорганизующимися. Для неустойчивых систем характерна необратимость, повышающая энтропию. В равновесных условиях производство энтропии минимально. Нестабильность возникает из нестабильной динамики. С точки зрения И. Приго-жина [15, 16] нестабильность и хаос позволяют сформулировать законы природы без противоречий между динамическим описанием и термодинамическим, так как энтропия выражает фундаментальное свойство физического мира, существование симметрии неустойчивого времени. [c.107]

В данной главе мы будем иметь дело со вторым, совсем иным, типом хаоса. Мы будем исходить из полуклассических уравнений для лазера, которые, очевидно, являются детерминированными и никаких флуктуаций заранее не содержат. Тем не менее мы увидим, что решения уравнений соответствуют излучению, которое ведет себя случайным образом. Однако это случайное поведение отличается от той хаотичности, о которой мы говорили в связи с тепловым излучением здесь большое число атомов, действуя когерентно, дает хаотический лазерный свет. Данная глава посвящена этому новому типу хаотического излучения. Сначала мы приведем пример, а затем обсудим критерии, на основе которых можно решать, является ли излучение хаотическим или, допустим, только квазипериодическим. После этого поговорим о некоторых простых механизмах, которые могут привести к генерации хаотического света. В заключение покажем, что возможны разные пути установления хаоса, начинающиеся с обычного одномодового режима лазера. [c.204]

Так определенная величина X называется показателем Ляпунова. Если вектор q принадлежит п-мерному пространству, то существует не больше п различных показателей Ляпунова. Если хотя бы один из них положителен, критерий возникновения хаоса выполнен (при условии, что исключаются некоторые патологические случаи). Более подробное изложение и более строгое определение величины X можно найти в литературе. [c.211]

Последнее впечатление, по-видимому, обманчиво и связано с тем, что наиболее известные примеры непрерывных систем относятся к очень специальному виду (слабо нелинейные волны), а их динамика исследована только на относительно коротком масштабе времени и для узкого класса начальных условий (небольшое число низкочастотных мод). По всем существующим общим критериям граница стохастичности резко понижается с ростом N (см., например, работу [70], 4.5 и 4.6), так что в типичном случае при N- 00 хаос охватывает, по-видимому, практически все фазовое пространство. Однако значение регулярной компоненты движения далеко не исчерпывается занимаемым ею объемом фазового пространства (см. предисловие редактора перевода).— Прим. ред. [c.409]

В этом разделе мы рассмотрим метод Мельникова [299 ], позволяющий исследовать движение вблизи сепаратрисы системы, близкой к интегрируемой. Этот метод позволяет получить критерий возникновения стохастичности в окрестности сепаратрисы при наличии диссипации. Мы уже видели (см. п. 3.26 и рис. 3.4), что в типичной гамильтоновой системе движение около сепаратрисы всегда хаотическое. Однако в присутствии диссипации это уже не так. Поэтому важно найти условия, при которых возникает хаос. [c.457]

Сведение динамических моделей к одномерным отображениям. В гл. 1 мы убедились, что простые одномерные отображения или разностные уравнения вида х = / х ) могут содержать бифуркации удвоения периода и хаос, если функция /(дг) имеет хотя бы один максимум (или минимум), как показано на рис. 1.19. Явления удвоения периода наблюдались во многих разнообразных сложных физических системах (жидкостях, лазерах, электронных р-п- переходах) и часто динамика этих систем хорошо описывается одномерными отображениями. Такая возможность особенно характерна для систем с существенным затуханием. Чтобы проверить эту возможность, следует сделать выборку какой-либо динамической переменной с помощью сечения Пуанкаре, обсуждавшегося выше, скажем дг = х 1 = / ). Затем можно построить зависимость каждого Лд от последующего значения х Чтобы можно было объявить систему хаотической, необходимо выполнение двух критериев. Во-первых, точки на графике с отложенными по осям величинами п + 1 и дг должны группироваться, создавая некую функциональную зависимость во-вторых, эта функция /(х) должна быть немонотонной, т. е. иметь максимум или минимум. Если эти требования выполнены, то следует подобрать полиномиальную аппрокси- [c.63]

Признаки хаотических колебаний, описанные в этой главе, носят в основном качественный характер и требуют от исследователя применения доли здравого смысла и опыта. Имеются и количественные признаки хаоса, использование которых приносит определенный успех. Два наиболее распространенных критерия — это показатель Ляпунова (см. гл. 5) и фрактальная размерность (см. [c.71]

Прогностическим правилом для предсказания возникновения хаотических колебаний мы называем такой критерий, который определяет совокупность входных или управляющих параметров, приводящую к хаосу. Способность предсказывать возникновение хаоса [c.160]

Мы начнем с обзора экспериментально установленных критериев для конкретных физических систем и математических моделей, в которых возникают хаотические колебаний (разд. 3.2). Эти критерии были установлены с помощью физических и численных экспериментов. Мы рассматриваем такие случаи по двум причинам. Во-первых, для того, кто делает первые шаги в излучении хаотических колебаний, полезно ознакомиться с несколькими системами, допускающими хаотическое поведение, и выяснить, при каких условиях возникает хаос. Такие простые случаи позволяют разобраться в условиях возникновения хаоса в более сложных системах. Во-вторых, при разработке теоретических критериев важно иметь некий тест для сравнения теории с экспериментом. [c.161]

В этом разделе мы кратко рассмотрим несколько основных теорий хаоса и исследуем, как онн приводят к критериям, которые могут оказаться полезными для предсказания или диагностики хаотического поведения в реальных системах. Эти теории включают в себя следующее [c.171]

Критерий гомоклинической траектории является математич . ским приемом получения прогностического соотнощения между безразмерными фуппами переменных физической системы. Он да ет необходимое, но недостаточное условие возникновения хаоса. Критерий гомоклинической траектории может также порождать необходимое и достаточное условие предсказуемости поведения дв> намической системы (см. разд. 6.3 — Фрактальные фаницы области притяжения ). Если отбросить его сложную, несколько таинственную математическую инфраструктуру, то по существу речь идет о методе, позволяющем определить, обладает ли модель в форме обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальных уравнений в частных производных свойствами отображения типа подковы или преобразования пекаря. [c.178]

Наконец, как метод Мельникова приводит к критерию возникновения хаоса [c.179]

График этой функции представлен на рис. 5.6 вместе с результатами физических и численных экспериментов. Критерий (5.3.25) дает очень точную нижнюю границу областей хаоса на плоскости амплитуда—частота вынуждающей силы. [c.185]

КРИТЕРИЙ ЧИРИКОВА ПЕРЕКРЫТИЯ РЕЗОНАНСОВ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОГО ХАОСА [c.189]

Критерий глобального хаоса в этой системе был предложен советским физиком Чириковым [21]. Он заметил, что при увеличении параметра К расстояние по вертикали между сепаратрисами, связанными с периодическими движениями периода 1 и периода 2, убывает. Если бы не вмешательство хаоса, то сепаратрисы пере-крылись бы (рис. 5.22), отсюда название — критерий перекрытия. [c.191]

Предлагаемая вниманию читателя 1снига профессора и декана факультета теоретической и прикладной механики Корнеллского университета Фрэнсиса Муна — заметное явление в довольно обширной литературе по стохастическим колебаниям. Небольшая по объему, она ориентирована в первую очередь на читателя, делающего первые шаги в понимании тех сложных режимов, которые возникают при определенных условиях в нелинейных системах различной природы и не связаны с действием на эти системы случайных шумов. Предъявляя весьма скромные требования к математической подготовке читателя, автор выстраивает основные идеи, понятия и методы нелинейной динамики стохастических систем в такой тщательно продуманной последовательности, которая позволяет начинающему легко войти в курс дела и активно овладеть новой для себя областью, глубоко прочувствовать ее универсальный характер. Излагая критерии хаоса, сопоставляя и сравнивая результаты физических и численных экспериментов, автор подводит читателя к выводу о фаницах применимости той или иной модели, неизменно подчеркивая физику описываемого явления. [c.5]

Хотя автор настоящей книги глубоко убежден в том, что хаотическое движение по самой своей природе более тесно связано с такими математическими образами, как отображения типа подковы, фракталами и гомоклиническими траекториями, использование по-луклассических методов теории возмущений может давать для некоторых классов нелинейных систем более удобные с практической точки зрения аналитические критерии хаоса. [c.197]

До сих пор мы рассматривали в основном прогностические критерии хаоса. В этом разделе мы опишем способ, позволяющий диа-гносцировать, находится ли исследуемая система в хаотическом состоянии или нет. Хаос в детерминированных системах подразумевает чувствительную зависимость от начальных условий. Это означает, что две траектории, близкие друг к другу в фазовом пространстве в некоторый начальный момент времени, экспоненш1аль-но расходятся за малое в среднем время. Если с1д — мера начального расстояния между двумя исходными точками, то, спустя малое время г, расстояние между траекториями, выходящими из этих точек, становится равным [c.197]

В качестве заключительного замечения о критериях хаоса автору [c.210]

Во всяком случае, приведенные выше результаты показывают, что четкий критерий хаоса, возможно, и не существует. Явно фрактальная природа границы, устанавливаемой критерием, может быть присуща многим системам. Возникновение фрактальной границы MOHO рассматривать как верхнюю и нижнюю границы существования хаотических режимов. [c.266]

Полагаяг = ш/ и вводя дополнительное уравнениег = ш, их можно записать в виде автономной системы третьего порядка.) Множитель 1/2 делает собственную частоту малых колебаний в каждой потенциальной яме равной единице. Критерий хаоса при фиксированном коэффициенте затухания Ь = 0,15 и переменных/, ш был рассмотрен нами в гл. 5. Областью, представляющей интерес для исследования, является ш = 0,8 0,1 периодические окна в хаотическом режиме и выход из хаотического режима при / = 0,3. Имеется и другая интересная область б = 0,15 и = 0,3 и / > 0,2. Во всех исследованиях мы настоятельно рекомендуем читателю пользоваться отображением Пуанкаре. При использовании персонального компьютера высокой скорости обработки информации можно достичь за счет специальных ухищрений при составлении программы (см. рис. 5.3). [c.281]

Пример 25.6. Динамический хаос в гамильтоновых системах. Критерий отрицательной кривизны. Каноническая система Хенона-Хейлеса [c.257]

Критерии возникновения хаоса в физических системах пoдpaзд ляются на два типа на прогностические правила, позволяющие предсказывать возникновение хаоса, и на диагностические средства, позволяющие устанавливать наличие или отсутствие хаоса. [c.160]

В разд. 5.3 мы дадим обзор основных прогностических моделей, позволяющих предсказывать возникновение хаоса. К их числу относится критерий удвоения периода, критерий существования гомо-клииической траектории и критерий Чирикова перекрытия резонансов для консервативного хаоса, а также критерии перемежаемости я переходного хаоса. Кроме того, мы перечислим несколько частных критериев, которые были разработаны для определенных классов задач. [c.161]

Области хаоса, полученные двумя группами исследователей представлены на рис. 5.2 и 5.3. На рис. 5.2 представлены экспери ментальные данные для продольно изогнутой консольной балки (см. гл. 2). Ломаная граница соответствует экспериментальным данным, гладкая — теоретическому 1фитерию (см. разд. 5.3). Недавно была экспериментально установлена верхняя граница, за которой движение снова становится периодическим. Эксперименталь ный критерий определялся по отображениям Пуанкаре для движения (см. гл. 2 и 4). [c.164]

Рис. 5.3. Диаграмма, показывающая области хаоса для колебаний материальной очхи в погенш1але с двумя ямами уравнение Дуффинга (3.2.2)]. Гладкая граница оогветствует критерию гомоклинической траектории (разд. S.3.).

Из уравнения (5.3.34) находим К = 1,46. Это значение является оценкой сверху критического значения К = К для глобального хаоса, которое численно равно К 1,0. Остальные подробности относительно критерия перекрытия читатель найдет в книге Лихтенберга и Либермана [110]. [c.192]

Читатель с более практическим складом ума может задать себе вопрос а что произойдет, если ввести слабое затухание В этом случае некоторые из мультипериодических субгармоник станут аттракторами, а овалы, окружающие эти аттракторы, перейдут в спирали, ограничивающие периодические движения. Что произойдет при этом с консервативным хаосом Из начальных условий в тех областях, где был консервативный хаос, развиваются долгопериодические переходные траектории, которые сначала блуждают по фазовому пространству и лищь затем выходят на периодическое движение. А как обстоит дело с реальными хаотическими движениями При наличии затухания для возникновения их необходимо гораздо большая сила (К > 6), при которой появляется фракталоподобный странный аттрактор (рис. 3.5). Таким образом, рассмотренный в этом разделе критерий перекрытия полезен только для строго консервативных гамильтоновых систем. [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...