Число Фейгенбаума

Это предельное отношение называется числом Фейгенбаума. [c.87]

Константа б называется числом Фейгенбаума. В некоторых конкретных случаях последовательность удвоений периода может прослеживаться до /г = 5 или п 6, после чего уже наблюдается хаос. Наблюдению больших значений п препятствуют шумы. По-видимому, последовательности удвоений периода представляют со- [c.213]

Это предельное отношение называется числом Фейгенбаума — по имени физика, который обнаружил эти свойства рассматриваемого отображения. [c.35]

Растущая сложность регулярных движений по мере изменения некоторого параметра эксперимента, например удвоение периода (часто можно получить число Фейгенбаума (гл. 1 и 5)). [c.47]

Число называется числом Фейгенбаума — по имени физика, который обнаружил это автомодельное поведение.) На практике это отношение сходится к 8, уже при третьей или четвертой бифуркации. [c.65]

Удвоение периода Обычно имеется в виду последовательность периодических колебаний, в которой при изменении некоторого параметра происходит удвоение периода. В классической модели бифуркации удвоения периода (половинной частоты) происходят через монотонно уменьшающиеся интервалы управляющего параметра. После прохождения критического значения параметра (точки накопления) возникают хаотические колебания. Такой сценарий перехода к хаосу наблюдался во многих физических системах, но не является единственным маршрутом, ведущим к хаосу. (См. Число Фейгенбаума.) [c.274]

Универсальное свойство (универсальность) Свойство динамической системы, остающееся неизменным в пределах некоторого класса нелинейных задач. Например, число Фейгенбаума для последовательности бифуркационных параметров при удвоении периода является одним и тем же для некоторого класса нелинейных необратимых одномерных отображений. [c.274]

Число Фейгенбаума Свойство динамической системы, связанное с последовательностью удвоения периода. Отношение последовательных разностей параметров бифуркации удвоения периода стремится к числу 4,669.. . . Это свойство и число Фейгенбаума были обнаружены во многих физических системах на стадии, предшествующей хаосу. [c.276]

Параметр 6 называется числом Фейгенбаума и носит универсальный характер, поскольку существует целый класс отображений [c.82]

Хотя экспериментальные результаты (приведенные в разд. 1.2.1) качественно согласуются с теоретически предсказанным значением (1.17.4), не следует удивляться, если это согласие оказывается не слишком хорошим. Прежде всего число Фейгенбаума выведено при п- оо, тогда как экспериментальные данные получены при п = 2, 3, 4, 5. Кроме того, управляющий параметр, который описывает реальный мир и входит в (1.17.1), не обязательно пропорционален управляющему параметру а в (1.17.3), а может быть связан с а значительно более сложным соотношением. [c.82]

Следует отметить аналогию между золотым отношением, универсальным законом Фейгенбаума и последовательностью чисел Фибоначчи. Напомним, что числами Фибоначчи называются члены численной последовательности, каждый из которых, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, например [c.153]

Отображения /(ж), имеющие плавный максимум, в котором вторая производная, подобно (19.16), отрицательна, подчиняются определенным закономерностям. Пусть А — значение параметра, при котором период удваивается 8-й раз. Тогда оказывается, что последовательность А геометрически сходится к Ас Ас — А Наиболее впечатляющей особенностью различных систем, испытывающих удвоение периода, явилось то, ЧТО значение 6, впервые вычисленное Фейгенбаумом, одинаково и равно универсальному числу 6 = 4,6692016. .. Аналогичный результат был получен и для процесса расщепления устойчивых точек расстояние от точки ж = 1/2 до ближайшей к ней неподвижной точки на 2 -цикле подчиняется закону ёд+г = —а с1з, где а —универсальное число, равное 2,503. .. [c.176]

Фазовые переходы 19 Фейгенбаума число 82 [c.414]

Изложенные рассуждения иллюстрируют происхождение основных закономерностей процесса бесконечное множество бифуркаций, моменты появления которых сходятся к пределу Лоо по закону (32,9—10) появление масштабного множителя а. Полученные при этом значения характерных констант, однако, не точны. Точные значения (полученные путем многократного компьютерного итерирования отображения (32,5)) показателя сходимости б число Фейгенбаума) и масштабного множителя а [c.175]

Следующий численный эксперимент связан с построением би фуркационной диаграммы. Для этого следует построить график зависимости при больщихл от управляющего параметра. Выберите какое-нибудь начальное условие (например, Хд = 0,1) и проделайте 100 итераций отображения. Затем отложите значения полученные в результате следующих 50 итераций по вертикальной оси, а соответствующее значение X по горизонтальной оси (или наоборот). Шаг по X выберите около 0,01 и пройдите диапазон 2,5 < < X < 4,0. На диаграмме в точках удвоения периода должны полу-читы я классические бифуркации типа вил. Можете ли вы по данным численного эксперимента определить число Фейгенбаума [c.278]

М. Фейгенбаум [25 J установил общую закономерность различных процессов по мере изменения внешнего параметра поведение системы меняется о т простого к хаотическому. Однако, имеется определенный диапазон значений внешнего параметра, в котором поведение системы упорядочено и периодично. Упорядоченность заключается в том, что в каждый период времени Т поведение системы самовоспроизводится. Вне этого диапазона процесс перестает воспроизводиться, т.е. удвоение периода (Т, 2Т, 4Т...) продолжается до тех пор, пока число удвоений Т не достигнет предельного значения. Это условие выражено соотношением [c.71]

Создание в последние десятилетия теории катастроф [275] и открытие Фейгенбаумом [188, 276] скейлингового закона эволюции нелинейных динамических систем, испытывающих бифуркации, стимулировали новую волну исследований математической гармонии природы. Один из фундаментальных результатов теории катастроф состоит в доказательстве универсальности небольшого числа пространственных образов фазовых траекторий динамических систем самой различной природы. Это вместе с законом Фейгенбаума позволило выявить еще целый ряд важных математических закономерностей процессов эволюции. Все это дало возможность по-новому взглянуть на давно известные закономерности, и в частности на филлотаксис. [c.152]

В этом параграфе мы рассмотрим один из механизмов, качественно объясняющих процесс возинкиовения турбулентного течения жидкости при увеличении числа Рейнольдса. Этот механизм был предложен Фейгенбаумом. [c.131]

Динамика этого уравнения была исследована Мэем ]130], Фейгенбаумом [37, 38] и другими авторами. Ими были открыты решения, период которых при изменении параметра X удваивается (периодом в данном случае назьгаается целое число р, при котором х р совпадает с х ). Одно из важных свойств уравнения (5.3.1), открытое Фейгенбаумом, состояло в том, что последовательность критических значений параметра (X j, при которых происходит удвоение периода траектории, удовлетворяет соотношению [c.171]

Это важное открытие дало в руки экспериментаторов конкрет ный критерий, позволяющий определять, что система находится на пороге хаотического режима, просто путем наблюдения предхаотического режима. Критерий Фейгенбаума был применен к различным физическим системам, в том числе к гидродинамическим, электрическим и лазерным экспериментам. Хотя эти задачи часто моделируются математически с помощью континуальных диф-ференциальных уравнений, отображение Пуанкаре позволяет свести их динамику к системе разностных уравнений. Более того, для многих физических задач наиболее существенную динамику удается моделировать с помощью одномерного отображения [c.172]

Свойства преобразования удвоения. Явление универсальности было обнаружено и исследовано Фейгенбаумом (М. Feigenbaum) в 1978 г. и стимулировало большое число экспериментальных и теоретических работ (библиографию см. в. Ш2]). [c.217]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...