Метрика равномерная

Теорема. Метрика Пуанкаре вблизи границы. Пусть 8 С 8 — римановы поверхности, причем 8 является гиперболической, и пусть р1, р2,. .. — последовательность точек из 8, которая сходится (е топологии 8 ) к граничной точке р 88 С 8. Тогда для любого наперед заданного г все семейство Nr pj) равномерно сходится к р при ] -л оо. Если замыкание 8 компактно в 8, то, выбрав некоторую метрику на 8, согласованную с ее топологией, можно сформулировать следующее более сильное утверждение диаметр окрестности Л г(р ) в этой выбранной на 8 метрике равномерно стремится к нулю при стремлении р к 88. [c.49]

Задача 16-е. Итерации / . Пусть и С С — связное открытое множество, предположим, что существует гладкая ветвь gk V С отображения / для каждого f 1. Покажите, что gk образуют нормальное семейство. Покажите, что если и содержит точку множества Жюлиа, то нормы первых производных в сферической метрике равномерно стремятся к нулю. (В противном случае, некоторая подпоследовательность gk сходилась бы к некоторому непостоянному пределу % и образ (Е/) содержал бы отталкивающие периодические точки. ..). [c.203]

Задача линеаризации уравнений (4) может быть сформулирована следующим образом. Требуется построить такой линейный оператор А, чтобы для каждой точки области D уравнения (4) и (5) были бы в известном смысле близкими (например, равномерно по X D ъ смысле введенной метрики). [c.85]

Исследование функционалов (Р) и (у1) в одномерном случае. Рассмотрим сначала возможности представлений функционалов, формализующих критерий (Р). Пусть на отрезке L = [0,Af] требуется построить узлы сетки Xi i = О, с заданными длинами граничных интервалов А и В. Сетка должна быть наиболее близкой в некоторой метрике к равномерной. Для оценки меры отклонения сеток от равномерных используем два функционала [c.514]

Из неравенства (9.32) видно, что А, образуют последовательность Коши с метрикой х, Ох) откуда следует равномерная сходимость Хп. Согласно лемме 1 гл. УП, п. 5, из равномерной ограниченности А, вытекает, что Тп = и = являются равностепенно непрерывными функциями. [c.282]

ПО индукции вытекает справедливость утверждения для любого п. Следовательно, функции Х равностепенно непрерывны, а поскольку они равномерно ограничены, из каждого их бесконечного подмножества можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность (см. работу [49], т. 1). Однако, согласно неравенству (9.32), расстояние [с метрикой (х, Од ) "] между всеми полученными таким путем предельными функциями равно нулю, и, поскольку они непрерывны, они тождественно равны. [c.282]

О — неподвижная точка отображения /. Трудность заключается в необратимости отображения Е,.. Мы обходим эту трудность, переписывая уравнение (2.4.8) в другой форме. Пусть — пространство всех таких непрерывных отображений к отрезка [0,1], что /1(0) = О, /1(1) = 1, рассматриваемое как пространство с равномерной метрикой. Это в точности пространство отображений, проектирующихся в отображения окружности степени один, т. е. гомотопных тождественному. Тогда мы можем переписать уравнение (2.4.8) как [c.89]

И ДЛЯ поверхностей высшего рода. Для тора нижняя граница задается скоростью роста для плоской метрики, для которой классы минимальных геодезических находятся во взаимно однозначном соответствии с ненулевыми элементами целочисленной решетки Z , и потому скорость роста является квадратичной функцией длины (с множителем, зависящим от выбора плоской метрики). Произвольная метрика может рассматриваться как проекция периодической метрики на В силу компактности тора эта метрика ограничена и сверху, и снизу произведением евклидовой метрики на некоторые множители, так что индуцированное расстояние равномерно эквивалентно расстоянию, индуцируемому евклидовой метрикой (т. е. отношение расстояний заключено между парой положительных чисел). Поскольку длина кратчайшей замкнутой геодезической в гомотопическом классе, соответствующем к Z , равна min d p,p + f ), для любой метрики скорость роста [c.384]

Для поверхностей высшего рода роль плоской метрики, как метрики для сравнения в случае тора, играет метрика постоянной отрицательной кривизны. Такие метрики рассматривались в 5.4. Позднее мы покажем, что для любой такой метрики число замкнутых геодезических (которые в этом случае минимальны) растет экспоненциально с очень точной асимптотикой (см. теорему 18.5.7 и теорему 20.6.9 [ ]). Универсальное накрытие может рассматриваться как диск Пуанкаре преобразования накрытия суть дроб -линейные преобразования. Метрика на М поднимается до метрики на М, инвариантной относительно преобразований накрытия. Поскольку многообразие М компактно, такая метрика определяется своим ограничением на компактную фундаментальную область. Так как преобразования накрытия сохраняют и метрику Пуанкаре, и данную метрику, они равномерно эквивалентны, так что отношение индуцированных расстояний ограничено константами С и 1/С. Это означает, что количество N(T) минимальных геодезических, длина которых не превосходит Т, удовлетворяет неравенству N T) Ng T/ ), где % — соответствующее число для метрики постоянной кривизны. Поэтому JV(T) ограничено снизу некоторой экспонентой. [c.384]

Вектор и называется единичным, если Ц1) 1= 1. Нормированным линейным пространством называется линейное пространство V с нормой . Банаховым пространством называется нормированное линейное пространство, полное относительно метрики (ь, т) = - шЦ, индуцированной этой нормой. Две нормы и называются эквивалентными, если существует такая константа С>0, что Ц-Ц 1М1 СЦ-Ц, т. е. если тождественное отображение является равномерным гомеоморфизмом относительно Ц и . [c.698]

Пусть энергетическая норма соответствует показателю Если 3, то, полагая в (6.15) р = ро, и щ — е Сх — 62, получаем пз (6.14) оценку различия между экстремальными полями и г 2 в равномерной метрике. Если же Ро 3, то будем предполагать, что [c.85]

В силу предположения (6.16) из (6.17) и (6.15) получим оценку различия полей в равномерной метрике через оценку разности этих же полей в энергетической метрике. [c.85]

Существование оценки в энергетической норме и достаточная гладкость точного и приближенного решений позволяют получить оценку погрешности в более сильных нормах (например, в равномерной метрике). [c.195]

Замечание 1. Определение устойчивости предусматривает задание в фазовом пространстве некоторой метрики, при помощи которой определяется равномерная сходимость. Однако ни устойчивость, ни асимптотическая устойчивость положения равновесия от этой метрики не зависят. [c.28]

Замечание 4. Аналогично предыдущему, определяется устойчивость по Ляпунову любого решения любого дифференциального уравнения (автономного или нет) это — равномерная сходимость решений на полуоси 0 к рассматриваемому решению при стремлении начальных значений этих решений при =0 к начальному значению изучаемого решения. Равномерная сходимость здесь определяется при помощи некоторой метрики в фазовом (или расширенном фазовом) пространстве (или многообразии). В отличие от случая положения равновесия автономной системы, определенная таким образом устойчивость зависит от выбранной метрики. Например, устойчивое [c.28]

Наибольшее распространение получили оценки остаточного члена в равномерной метрике [143], где при и S (i2) они имеют вид [c.121]

В равномерной метрике получается оценка с логарифмическим множителем [144], как в (5.14). [c.123]

Пространство и время. В природе нам не даны ни неподвижное пространство, ни его метрика нам не дано и равномерное движение, по которому можно было бы отсчитывать равные промежутки времени. [c.3]

Вначале предположим, что 3 и II гиперболичны. Так как диаметр К конечен относительно метрики Пуанкаре в 3, то из 3.4 и теоремы Пика следует, что образ fj (К) целиком стремится к . Снова применив 3.4, легко заключаем, что последовательность отображений 3 СТ локально-равномерно сходится к постоянному отображению К е ди С Т, что и требовалось. [c.51]

Пространство и время. В природе нам не даны нп неподвижное пространство, ни его метрика нам не дано и равномерное движение, по которолгу можно было бы отсчитывать равные промежутки времени. Эти важные обстоятельства по-рояадают проблемы определения пространства и врем( П1Г, которыми мы не будем заниматься до поры, пока не накопим достаточный материал конкретных механических знаний. [c.26]

Поскольку /о и как функционалы от /д непрерывны в равномерной метрике, то в ограничении То (х) должен достигаться знак равенства, ибо в противном случае можно было бы уменьшить /о (р), а, следовательно, и За (х). В ряду случаев оптимальной формой сечеция является прямоугольник. Пусть, например, балка неармированная и ограничение снизу в (3.17) отсутствует. Рассмотрим тогда прямоугольник со сторонами, параллельными осям р, 2, симметричный относительно этих осей. Высота этого прямоугольника есть 2г (х), а ширина 21, где I определяется из условия [c.185]

Меньшая информативность приближений в слабой метрике не позволяет идентифицировать непрерывные и сингулярные типы распределений на существует состоятельных решающих правил, позволяющих по возрастающей выборке определить, непрерывен или сингулярен наблюдаемый закон Р. Максимальным семейством, для которого задача статистического точечного оценивания может иметь смысл в сильной метрике, является подсовокупностью всех доминированных мер, в частности подсовокупность всех распределений вероятностей на вещественной прямой или единичном отрезке, имеющих плотность. Для таких подсовокупностей универсальное состоятельное решающее правило не может быть равномерно состоятельным. Однако для более узких априорных семейств Р законов те же решающие процедуры могут приводить к равномерно убывающему на всем семействе Р риску. [c.501]

О существуют такие е,, 3 > О, что Bj x, е,, 4) С Bf(x, e,t) Bj x, 2, t). Но так как мы используем метрику Ляпунова, Bj x, е, t) = В х, е) х X ip B (

[c.651]

Замечание. 1. В доказательстве фактически не используется гёльдеровость на М. Доказательство проходит, если 1р — борелевская функция, ограничение которой на является гёльдеровской функцией относительно метрики Ляпунова с равномерными показателем и постоянной Гельдера для всех 5 > 0. Заметим, что функция А, полученная в теореме, обладает тем же самым свойством. [c.685]

Аналогично предыдущему замечанию, как и в равномерно гиперболическом случае, можно показать, что неустойчивое распределение является гёльдеровым относительно метрики Ляпунова на А . Следовательно, ограничение якобиана на неустойчивое распределение также является гёльдеровым отображением относительно метрики Ляпунова (ср. с аргументацией из п. 19.1 д). Действительно, самое важное применение теоремы Лившица относится к анализу неустойчивого якобиа- [c.685]

Еслн X — компактное метризуемое топологическое пространство (например, компактное многообразие), то пространство С(Х,Х) непрерывных отображений из Х в себя обладает С°, или равномерной, топологией. Она получается, еслн зафиксировать метрику р в пространстве X и определить расстояние d между /,д С(Х,Х) по формуле [c.697]

I щ х) в равномерной метрике. Эта оценка является 10посредственным следствием теорем вложения. [c.85]

Если все мультипликаторы цикла по модулю меньше 1, то он орбитально асимптотически устойчив. Устойчивость следует из того, что отображение монодромни пр и.Я, <С1— сжимающее при подходящем выборе метрики на П)ансверсали. Эта метрика строится так же, как функция Ляпунова вблизи особой точки, асимптотически устойчивой по первому приближению. Из сжатия вытекает орбитальная асимптотическая устойчивость близкие фазовые кривые наматываются на цикл как спирали. Можно доказать, что фаза движения вдоль цикла при этом стремится к фазе движения одной из точек по циклу. Отсюда следует равномерная близость (на полуоси t 0) не только фазовой кривой, но и любого решения, отвечающего близкому к циклу начальному условию, к одному из решений, описывающих движение по циклу. [c.33]

Я<5Но, что нечто вроде 8-траекторий ялн (5, s)-цепей можно определить в том случае, когда в М вместо метрики имеется равномерная структура — роль малых 8, б тогда играют ее окружения. По существу так и делается в [46], где вначале метризуемость компакта М ие предполагается, только вместо окружений равномерной структуры компакта автор использует открытые покрытия. [c.208]

Следствие. Множество периодических автоморфизмов плотно в пространстве всех автоморфизмов пространства Лебега (М, Ж, х), снабженном равномерной топологией, т. е. топологией, задаваемой метрикой diT , 7 ,) = supn- 7 i Ar2 ). [c.70]

Задача 2-к. Отсутствие нетривиальных голоморфных аттракторов. В динамике вещественной переменной часто наблюдаются очень сложные аттракторы, то есть такие компактные множества К, что К) = К и для всякой орбиты Хо XI . в некоторой окрестности К последовательности (1181(ж , К) равномерно сходятся к нулю. Покажите, что для голоморфного отображения / 8 8 такая картина не наблюдается. Покажите, что если К С 8 компактное множество, для которого / К) = К, я f отображает некоторую связную гиперболическую окрестность II компакта К в ее собственное подмножество, то / является строго сжимающим на К относительно метрики (1181с/, и, следовательно, К состоит из единственной точки. [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...