Резонанс в системе с двумя степенями свободы

Резонансы в системе с двумя степенями свободы [c.117]

Рис. 3.4. Резонанс в системе с двумя степенями свободы.

Так же как и в системах с двумя степенями свободы, перекрытие резонансов приводит к образованию стохастического слоя конечной ширины и вызывает движение поперек слоя. Новой особенностью диффузии Арнольда является движение вдоль стохастического слоя, которое возникает при взаимодействии по крайней [c.72]

В гл. 3 мы видели, что в системах с двумя степенями свободы, близких к интегрируемым, вблизи сепаратрис резонансов возникают области хаотического движения. Эти области сохраняются для любого ненулевого возмущения е, хотя их площадь и стремится к нулю при Е 0. Следовательно, не существует резкого перехода к стохастичности для какого-то критического значения е, и поэтому смысл любого такого критерия должен быть определен более четко. [c.244]

Фазовые портреты систем с двумя степенями свободы около замкнутой траектории при резонансе. Колебания около замкнутой траектории в системе с двумя степенями свободы описываются периодической по времени системой с одной степенью свободы, зависящей от параметра (п. 4.1). Система, имеющая резонансную нормальную форму для такой задачи, сводится к системе с одной степенью свободы можно строить ее фазовые портреты. Если коэффициенты при младших членах нормальной формы находятся в общем положении, то для дан- [c.283]

Свободные незатухающие колебания в системах с двумя степенями свободы. Нормальные колебания (моды). Парциальные и нормальные частоты. Биения. Понятие спектра колебаний. Методика анализа колебаний двух связанных осцилляторов. Затухание колебаний и диссипация энергии. Вынужденные колебания. Резонанс. Колебания систем со многими степенями свободы. Дисперсионное соотношение. [c.47]

И. Б у те и и н Н. В., К теории резонанса в механической автоколебательной системе с двумя степенями свободы, ПММ 14, вып. 1 (1950). [c.379]

Не выполняя решения системы уравнений (101), можно сделать выводы о влиянии линейного сопротивления на вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы. Как и для случая системы с одной степенью свободы, вынужденные колебания являются незатухающими гармоническими колебаниями и происходят с частотой возмущающей силы. Они не зависят от начальных условий. При резонансе амплитуды вынужденных колебаний остаются постоянными в отличие от случая отсутствия сопротивления. [c.469]

Какой вид имеют уравнения вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы в главных координатах в случае резонанса и какова фаза этих колебаний [c.139]

КОМБИНАЦИОННЫЙ РЕЗОНАНС В ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [c.215]

Эта система уравнений описывает динамическую устойчивость двойного физического маятника. Все результаты предыдущей главы, где рассмотрены комбинационный резонанс в параметрической системе с двумя степенями свободы, могут быть использованы без изменений. [c.269]

Теорема (Арнольд — Мозер [179]). Если в автономной гамильтоновой системе с двумя степенями свободы отсутствуют резонансы до четвертого порядка включительно и в нормальной форме (195) [c.236]

Вынужденные колебания системы из многих связанных маятников. Положим, что вместо двух маятников, мы имеем целую группу таких связанных маятников, расположенных вдоль прямой. Если к системе приложить внешнюю гармоническую силу и менять ее частоту так медленно, чтобы все время существовал установившийся режим, то мы будем наблюдать резонанс всякий раз, когда частота внешнего воздействия будет равна частоте одной из мод. (Конечно, внешняя сила может быть приложена таким образом, что некоторые моды, как было замечено выше, не возбудятся. Тогда на частотах, соответствующих этим модам, резонанса не будет.) Точно так же, как в случае системы с двумя степенями свободы, установившаяся амплитуда каждого движущегося элемента будет суперпозицией вкладов от каждой из мод системы. [c.121]

Обратимся теперь к случаю резонанса, предположив, что частота о) изменения возмущающей силы совпадает с одной из частот собственных колебаний. Пусть, например, (s> = ki, для исследования движения обратимся к главным координатам, в которых уравнения движения системы с двумя степенями свободы имеют вид [c.239]

Анализ системы с двумя степенями свободы (см. 2) может быть проведен совершенно аналогично в этом случае возможны два резонанса при приближении частоты со к частоте XI или частоте Яг, т. е. к той или иной собственной частоте. [c.32]

Влияние вязкого трения на вынужденные колебания твердого тела с двумя степенями свободы. Рассмотренная в предыдущем пункте 3° теория вынужденных колебаний системы хорошо согласуется с действительностью во всем, за исключением одного результата. Хотя при резонансе и наблюдается [c.621]

На рис. 17.73, а, показана кривая, являющаяся одновременно графиком динамических коэффициентов Х] и рг как функций ь Такой график остается неизменным в случае, если р и Р 1Р<з. имеют одинаковые значения. В нашем случае 2, 1, 1/2. Этот график показывает, что при наличии отмеченных равенств система имеет один резонанс, несмотря на то, что обладает двумя степенями свободы. Подробнее об этом говорится ниже. На рис. 17.73,6 показаны графики функций р1 = р1(а1), р2 = Р2(а1) при Р = 1, Р]/Р2 = 2. Эти графики соответственно совпадают с графиками функций р2 = Р2(а1) и р1 = р1(а1) при р=1, Рх/р2 = /2. На рис. ПЛЪ,в,г,д,е представлены кривые (графики) динамических коэффициентов. Во всех случаях на оси абсцисс, кроме шкалы аргумента см, показана и шкала соответствующих значений аргумента аг. На рис. 17.73, ж, з показаны графики функций, входящих в формулы для динамических коэффициентов— в числители (сплошные линии) и знаменатели (штриховые линии). В общем случае формула для динамических коэффициентов для системы с к степенями свободы имеет вид (17.189). Упомянутые числители — это частные случаи функции Р ц <л/(Лс1), а знаменатели — частные случаи функции / 2/1 ((о/соа) в формуле (17.189). [c.158]

Существует значительное различие между стохастичностью в системах с двумя и большим числом степеней свободы. Используя топологические соображения, Арнольд [12] показал ), что для систем с более чем двумя степенями свободы стохастические слои связаны между собой и образуют в фазовом пространстве плотную паутину . Для начальных условий на этой паутине стохастическое движение идет вдоль слоев, приводя к глобальной диффузии, не ограниченной инвариантными поверхностями. Этот механизм принято называть диффузией Арнольда. Она может быть быстрой или медленной в зависимости от толщины стохастических слоев. Такая диффузия существует (в принципе) для сколь угодно малых возмущений интегрируемых систем. Еще один интересный эффект в многомерных системах связан с медленной модуляцией одного из периодических движений ). В этом случае стохастическое движение вдоль паутины может значительно усиливаться за счет так называемой модуляционной диффузии. Этот механизм противоречит интуитивному представлению о том, что медленная модуляция должна приводить к адиабатическому поведению ). В многомерных системах резонансы могут значительно влиять на диффузию также [c.18]

И благодаря внешней стохастичности (шуму). Для систем с двумя степенями свободы действие шума эквивалентно, вообще говоря, наличию третьей степени свободы и приводит к диффузии вдоль резонансов. При этом резонансы могут значительно увеличивать скорость диффузии. Считается, что эти процессы могут ограничивать время жизни частиц и интенсивность пучков в накопительных кольцах. В гл. 6 мы рассмотрим диффузионные процессы в многомерных системах, включая диффузию Арнольда и модуляционную диффузию, а также совместное действие внешнего шума и резонансов. [c.19]

Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, близкую к интегрируемой. В окрестности резонанса гамильтониан такой системы можно привести к стандартному виду [c.236]

Численные исследования структуры вторичных резонансов стандартного отображения отсутствуют. Однако они проделаны для большого числа гамильтонианов с двумя степенями свободы, поверхность сечения Пуанкаре которых похожа на фазовую плоскость стандартного отображения. Примером является задача о движении частицы в магнитном поле и поле косой волны [383, 385] (см. п. 2.26). Соответствующий гамильтониан в системе отсчета волны имеет вид [см. (2.2.67) ] [c.266]

Глава 3. Вынужденные колебания. Главы 1 и 2 начинаются со свободных колебаний гармонического осциллятора и заканчиваются свободными стоячими волнами в замкнутых системах. В главах 3 и 4 мы рассматриваем вынужденные колебания, вначале для замкнутых систем (глава 3), где мы обнаруживаем резонансы , а затем для открытых систем (глава 4), где возникают бегущие волны. В п. 3.2. рассмотрены вынужденные колебания одномерного осциллятора с затуханием как в переходном, так и в установившемся режиме. Затем мы переходим к системам с двумя или большим числом степеней свободы и обнаруживаем у таких систем резонансы, соответствующие каждой моде свободных колебаний. Мы рассматриваем также действие вынуждающей силы на замкнутые системы при частотах, меньших частоты низшей (или больших самой высокой) моды, устанавливаем существование экспоненциальных волн и объясняем действие фильтров. [c.12]

Эта книга является инженерным учебником, и общая теория изложена в ней довольно элементарно. Однако колебания систем с двумя и тремя степенями свободы изложены подробно, и многие из рассмотренных примеров полностью решены. Эти сравнительно простые системы дают ясное представление о таких понятиях, как главные колебания, резонанс и т. д., что часто остается менее ясным при абстрактном изложении. В книге рассмотрены также некоторые специальные вопросы, такие, как приближенное решение векового уравнения, или теория малых колебаний системы вблизи установившегося режима движения. [c.376]

Для завершения анализа резонансов в системах с двумя степенями свободы осталось рассмотреть еще резонансы, су-щесгвенные уже в квадратичных членах гамильтониана случай кратных собственных чисел и случай нулевого собственного числа. [c.278]

IV.102). Такая дополнительная масса играет роль динамического гасителя колебаний (виброгасителя) для основной массы. Идея этого устройства нащла разнообразное практическое применение, в особенности в тех случаях, когда частота возбуждения достаточно стабильна. Если это условие не соблюдено, то возникают опасности появления резонансов полученной системы с двумя степенями свободы. Для того чтобы избежать появления значительных амплитуд колебаний при возможных изменениях частоты возбуждения, в систему гасителя обычно вводятся демпфирующие элементы (рис. IV.44, а). [c.260]

Ура1внения (135.55) (вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы в нормальных координатах независимы друг от друга. Эти уравнения совпадают с уравнением (133.71) вынужденного колебания точки. Если частота возмущающей силы р совпадает с частотой одного из собственных колебаний системы k или /гг, то в решение множителем войдет время /. Следовательно, одна из нормальных обобщенных координат при возрастании t может быть сколь угодно большой (резонанс). Значения частот р возмущающей силы, ра(вной одной из частот собственных колебаний системы ( i,. 2), называют критическими частотами возмущающей силы. [c.218]

Определитель квадратной матрицы в (17.191) обращается в нуль при еовпадении величины ш с любой из к еобственных частот колебаний со/ (I = 1,2,. .., к)—возникает резонанс. (При наличии сопротивления имеют место максимумы в величине динамического коэффициента в окрестности значений аи/а, близких к единице). Формулы динамических коэффициентов для системы с двумя степенями свободы показаны в разделе 5 настоящего параграфа в примере 17.29. В случае систем с большим числом степеней свободы структура формул аналогична. [c.144]

Явление взаимной синхронизации генераторов нва-эигармовнческих колебаний в простейшем случае бигармонического резонанса ( = = 2 14-4) может быть исследовано в рамках системы ур-ний для комплексных амплитуд а, взаимодействующих иод в автогенераторе с двумя степенями свободы [c.526]

Г. Пример исследование резонанса порядка 3. 15 качестве простого примера исследуем, что происходит с замкнутой траекторией автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы вблизи такого значения постоянной энергии, при котором период колебаний соседних траекторий около заьшпутой траектории в три раза больше периода обращения по замкнутой траектории. [c.357]

Ниже мы рассмотрим усиление классических процессов переноса вдоль резонансов. Усиление возможно даже для автономной системы с двумя степенями свободы в том случае, когда внешний шум не сохраняет энергию, и система может двигаться вдоль резонансов. Такой процесс был исследован Теннисоном в работе [405 ], основные результаты которой и представлены в п. 6.3а. Родственный процесс диффузии самого резонанса был рассмотрен Чириковым [71 ] и Коэном и Раулэндсом [80] (п. 6.36) ). [c.375]

Глава 5 посвящена рассмотрению многомерных гамильтоновых систем. Здесь для 2я-периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при помощи теоремы Четаева о неустойчивости доказаны утверждения о неустойчивости при наличии резонансов третьего и четвертого порядков и рассмотрены различные аспекты задачи об устойчивости движения в многомерных гамильтоновых системах. Излагаются результаты Арнольда по устойчивости для большинства начальных данных, формулируется и доказывается теорема Брюно о формальной устойчивости гамильтоновых систем, рассматриваются основные результаты исследований Нехорошева об оценке скорости диффузии Арнольда [78—81] в многомерных гамильтоновых системах, близких к интегрируемым. [c.12]

Острота амплитудно-частотной характеристики системы с одной степенью свободы при действии силы трения, пропорциональной скорости, характеризуется половинной шириной амплитудно-частотной характеристики. Половинная ширина амплитудно-частотной характеристики измеряется разностью между двумя частотами, для которых амплитуда колебаний равна половине амплитуды, сответствующей резонансу. Выразить половинную ширину амплитудно-частотной характеристики Д через коэффициент расстройки частот г — ш/А и через приведенный коэффициент затухания = n/k. Дать приближенную формулу для случая в 1 (ш частота вынуждающей силы, k — частот а собственных колебаний при резонансе 2=1). [c.412]

В статьях [35-40] исследована задача о сугцествовании движений, асимптотических к неустойчивому равновесию или периодическому движению гамильтоновой системы в случае резонанса. Показано, что неустойчивость нри резонансе тесно связана с сугцествоаанием траекторий, асимптотических к траектории невозмугценного движения. В частности, условия устойчивости гамильтоновых систем с одной и двумя степенями свободы эквивалентны условиям отсутствия асим-тотических траекторий. [c.122]

Хотя мера всех периодических траекторий равна нулю, они являются всюду плотными в фазовом пространстве. Наглядно периодические траектории соответствуют рациональным числам на отрезке, мера которых равна нулю, но которые тем не менее сколь угодно хорошо приближают любое иррациональное число. Поэтому на первый взгляд может показаться, что отыскание периодических траекторий эквивалентно получению вообще всех траекторий. На самом деле это не так, поскольку периодические траектории, вообще говоря, не ограничивают апериодические тр аекторнп. Даже если в начальный момент они близки, то позже могут оказаться произвольно далеко друг от друга в фазовом пространстве. В отличие от этого при двух степенях свободы инвариантные торы ограничивают близкие траектории и поэтому являются значительно более важными для описания динамики системы. Тем не менее и в общем случае периодические траектории могут оказаться весьма полезными по двум причинам. Во-первых, они могут выявлять некоторые особенности общей структуры движения, например резонансы различного уровня с определенным числом вращения. Во-вторых, можно исследовать их устойчивость, что будет использовано в 4.4 при определении глобальной устойчивости движения. [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...