Матрица гиперболическое

Покажем, что на характеристиках решение системы (2.46) должно удовлетворять определенным соотношениям. Предположим, что система (2.46) гиперболическая. Это означает, что ранг матрицы (2.49) равен т—1. С другой стороны, в силу предположения о существовании решения ранг расширенной матрицы [c.44]

Если все не лежащие на мнимой оси собственные значения матрицы линейной части векторного поля в особой точке находятся в правой (левой) полуплоскости, то скажем, что особая точка — неустойчивый (устойчивый) узел по гиперболическим переменным. В противном случае особая точка называется седлом по гиперболическим переменным. [c.89]

Задавая шесть координат на концах балки, можно определить из полученного уравнения оставшиеся шесть неизвестных координат, а затем по вектору последовательно определить перемещение и усилие в каждой точке балки, что соответствует стандартной процедуре метода начального параметра. Недостатком этого метода является высокая степень экспонент, входящих в переходную матрицу. Элементы матрицы на ЭВМ Минск-32 вычисляются с точностью до семи значащих цифр и, следовательно, гиперболические функции заменяются экспонентами при показателях степени, больших восьми. При таких округлениях граничные условия на концах не удовлетворяются, что ограничивает частотный диапазон вычислений. Верхняя граничная частота может быть увеличена, если вычисления вести от концов балки к ее середине и неизвестные значения векторов находить из условия равенства перемещений и нагрузок в какой-либо средней точке балки. Показатели степени уменьшаются при этом примерно пропорционально длине участка балки, т. е. в два раза, и, с.ледова-тельно, граничная частота возрастает в четыре раза. Аналогичный алгоритм расчета применен в данной методике. [c.105]

Задачу о колебаниях составных стержней и рам при действии гармонического возбуждения можно свести к системе линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей. Элементами матрицы являются суммы гиперболических и гармонических функций, зависящих от размеров стержней и частоты. С увеличением длины участка стержня и частоты аргументы функций растут, что при расчете на ЭЦВМ с ограниченным количеством значащих цифр приводит вначале к замене гиперболических функций экспонентами, а при дальнейшем росте аргумента — к потере гармонических функций. При этом матрица системы вырождается и получить удовлетворительное решение не представляется возможным. Например, на ЭЦВМ типа Минск вычисления производятся с семи значащими цифрами, поэтому при расчете колебаний опертой балки, начиная с третьей формы, гиперболические функции заменяются экспонентами, а расчет форм колебаний выше пятой практически осуществить не удается, так как теряются гармонические функции. [c.107]

Так как модифицированные матрицы степень экспоненты не увеличивают, то суммирование будет производиться только по показателям pj, немодифицированных участков. При большом количестве участков в системе модифицирование необходимо начинать при сравнительно малых значениях чтобы ограничить 2Р. Это вносит определенную погрешность в расчет, но не вызывает вырождения матриц. Погрешность вычислений связана с заменой гиперболических функций экспонентами, что аналогично изменению показателя степени рд, на pij. да р , + [c.111]

Хотя в принципе описанная процедура довольно простая, тем не менее даже в этой простой системе не удается избежать трудностей вычислительного характера. Например, здесь необходимо вычислять определитель матрицы порядка 8 Х 8, элементами которой являются тригонометрические и гиперболические функции различных аргументов. Обычно это делается с помощью вычислительных машин по существу методом проб и ошибок. Некоторые интересные аспекты этой задачи обсуждаются в работах [4.5, 4.6]. [c.177]

Приведенные примеры характерны использованием гиперболических функций для описания перемещений и усилий в упругих системах. Как видно, МГЭ позволяет получать точные решения задач статики при минимально возможной дискретизации расчетной схемы. Отметим, что, если фундаментальные функции отличны от полиномов, то МКЭ не дает точных решений задач [184]. Повышение точности расчетов по МКЭ достигается либо дроблением сетки КЭ (этот путь приводит к увеличению порядка разрешаюш,ей системы уравнений), либо применением точных матриц жесткости, что не всегда возможно. [c.69]

Скоростные силы, определяемые скалярной матрицей, называются скоростными силами сферического типа, а определяемые девиатором — скоростными силами гиперболического типа. Аналогично и для позиционных сил — позиционные силы сферического и гиперболического типа. [c.177]

Гиперболические силы (матрица Н) приводят к разрушению стоячей волны и к изменению частоты колебаний если К = 0. Вне конуса стоячих волн эти силы приводят также и к прецессии волнового поля и к изменению амплитуды. [c.378]

Сосредоточимся теперь на первом свойстве стохастичности. Экспоненциальная расходимость близких траекторий при сжатии фазового объема возможна, если по одним направлениям в фазовом пространстве и происходит расширение, а по другим — сжатие, т. е. неблуждающие фазовые точки должны быть подобны двумерным седлам. Такие точки называются гиперболическими. Неподвижная точка Uo является гиперболической, если матрица Якоби Л(ид) = [c.125]

Функции 6// образуют матрицу 14-го порядка. Компоненты этой матрицы удобно выражать при помощи функций К, ц (см. п. 5.2) и гиперболических функций. Кроме того, введем обозначения [c.95]

Формула (181), в частности, показывает, что возможное смещение края заготовки без ее разрушения убывает почти в гиперболической зависимости с увеличением коэффициента вытяжки и существенно зависит от интенсивности упрочнения, причем с уменьшением интенсивности упрочнения (с уменьшением 1 3ц,) величина допустимого смещения края заготовки также уменьшается. Заметим, что в тех случаях, когда величина х, определенная по формуле (181), будет равна величине х, определенной по формуле (177), мы получаем точку, разграничивающую область возможной вытяжки на проход с образованием цилиндрического стакана от области, в которой может быть только незавершенная вытяжка с частичным втягиванием заготовки в матрицу и с некоторым изменением диаметра фланца. [c.143]

Между решениями уравнений эллиптического и гиперболического типов существуют качественные различия, В первом случае имеем гладкие решения. Во втором же возможны разрывы на характеристиках. Условие на характеристике (вытекающее из разрешимости неоднородной алгебраической системы с вырожденной матрицей ) дает своеобразный эффективный способ решения гиперболических уравнений. Используя (3.3), запишем уравнения баланса сил (12,1) как [c.232]

Конструкция примера из этого раздела может быть обобщена, например, так. Пусть L R R — некоторая целочисленная (гтг х т)-матрица с определителем + 1 или —1 и без собственных значений, по модулю равных единице, т. е. гиперболическая матрица. Тогда LZ = Z и отображение L обратимо на Z , так что L определяет обратимое отображение т-тора которое имеет свойства, очень сходные с рассмотренными ранее свойствами Fj . Мы будем называть такое отображение гиперболическим автоморфизмом тора. Если опустить ограничение на определитель L, возникающее в результате отображение все еще может рассматриваться как отображение тора, хотя и не обратимое. Такие отображения называются гиперболическими эндоморфизмами тора. Для m = 1 это просто растягивающие отображения окружности. [c.60]

Найдите такую гиперболическую матрицу L 6 5Ц4,Z), что [c.138]

Вообще, любой гиперболический автоморфизм гг-мерного тора, определенный в конце 1.8, является диффеоморфизмом Аносова. В этом случае мы можем с помощью предложения 1.2.2 найти евклидову норму в К", в которой матрица L становится сжимающим отображением в пространстве E (L) и растягивающим в E L) (см. (1.2.4) и (1.2.5)), спроектировать риманову метрику, порожденную этой нормой, на Т" и рассмотреть инвариантное разложение в каждой точке на подпространства, параллельные Е+ Ь) и E L). Можно взять Л = г ( -( ,) + 5, м = г -Ь S [c.269]

Некоторые из этих примеров уже были исследованы довольно подробно. Например, для гиперболического автоморфизма двумерного тора, определенного матрицей мы установили топологическую транзитивность н плотность множества периодических точек, вычислили их количество (предложение 1.8.1), в п. 2.5 г построили марковское разбиение [c.532]

Точнее говоря, будем рассматривать группу Р5Ь(2, К) как ЗЬ(2, Ш)/ ц, где ЗЬ (2, Е) — группа (2 х 2)-матриц с определителем, равным единице. Тогда можно представлять себе преобразования из М как матрицы из 3 (2, К). Преобразования Мёбиуса, поднятые на 5Н, соответствуют умножениям слева на элементы Р5Ь(2, К). Классификация преобразований Мёбиуса как эллиптических, параболических и гиперболических, упомянутая в п. 5.4 в, соответствует классификации матриц по абсолютному значению Т их следа Т <2 для эллиптических, Т = 2 для параболических и Т > 2 для гиперболических преобразований. [c.549]

Эта геометрическая конструкция обобщается для вещественного п-мерного гиперболического пространства КН . Рассмотрим верхнюю половину гиперболоида 7 в + , задаваемую условиями <Э(х) = хр-1-.. —, = = — 1, х , >0, и вновь обозначим через С семейство кривых, которые получаются пересечением Н с плоскостями, проходящими через начало координат, т. е. задаваемыми п уравнениями вида а[Х, -Ь... + а х — а ,х 1 = 0. Группа 50 (п, 1) матриц, сохраняющих форму Q, действует на Н. Введем новые переменные т , = = х /х . = 1/х , и затем применим стереографическую проекцию с центром в (О,..., О, —1), которая [c.556]

Покажите, что если I 81 п,Х) — гиперболическая матрица, то множество Flx(i ) неподвижных точек автоморфизма тора поднимается до решетки в К . [c.623]

Диссипативные коэффициенты /J,ij и l/ij могут быть функциями Пк или дк соответственно. Матрица коэффициентов ij легко может быть пересчитана из матрицы уи, с помощью преобразования переменных. Очевидно, при Ь —) оо или Uij —> О система (1.46) в пределе переходит в гиперболическую систему (1.40) (а система (1.45) соответственно в (1.2)). [c.80]

Так как скорость распространения волн в общем случае есть функция напряжения, система уравнений (10.7) является системой квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа. Определим для нее характеристики и соотношения на характеристиках. Для системы уравнений (10.7) матрицы А и В уравнения (9.18) имеют вид [c.70]

Матрицы A А — симметрические, матрица А — симметрическая положительно определенная. Легко видеть, что уравнения (27.15) представляют почти линейную симметрическую гиперболическую систему дифференциальных уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами при производных. [c.238]

Элементы матриц A, В, С и вектора D являются функциями а, р и U. Система уравнений (27.78) есть система квазилинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа. [c.260]

Это — гиперболический поворот, т. е. матрица [c.57]

В. М. Пляцким [56] установлена оптимальная величина давления для медных сплавов, которая с увеличением диаметра слитка уменьшается по гиперболической зависимости при этом давление должно быть тем выше, чем ниже температура заливаемого расплава и больше время выдержки расплава в матрице до приложения давления, так как для запрессовки загустевшего металла в образующиеся усадочные поры необходимо приложить весьма высокие усилия. Повышенные давления требуются и для сплавов с широким интервалом кристаллизации, так как у них усадочная пористость распространена почти по всему объему, и задача состоит в общем уплотнении слитка. [c.96]

Доказательство теоремы 1 основано на идеях КАМ-теории. Согласно 9, при малых > О инвариантные торы являются гиперболическими. При п = 1 они превращаются в периодические решения, и теорема 1 становится частным случаем теоремы Пуанкаре из п. 5 8. Действительно, условие 3) теоремы 1 при этом заведомо выполнено, а условие 1) совпадает с условием невырожденности кевозмущенной системы. Далее, невырожденность матрицы УК ПК эквивалентна двум условиям det V О и det(/i n/< ) ф 0. Первое из них сводится к условию невырожденности критической точки функции h, а второе эквивалентно второму из неравенств (8.15). Следовательно, применима теорема Пуанкаре. [c.240]

Согласно результатам п. 2, в предположении 1) система с гамильтонианом ехр 7 0 невырождена. Далее, пусть П — матрица вторых производных функции ехр Tio по импульсам у,ф. Несложно показать, что К иК совпадает с числом 6 из условия 2), которое (по предположению) отлично от нуля. Теперь можно воспользоваться теоремой 1 из 10. Условия 1) и 3) этой теоремы заведомо выполнены. Так как /i"(Ao)o < О, то выполнено условие 2). Следовательно, возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом (11.4) при малых значениях е > О имеет п-мерный гиперболический инвариантный тор, заполненный траекториями условно-периодических движений. Этот тор аналитичен по [c.247]

Предположим, что все корни этого уравнения действительны п различны в некоторой области неременных ж, Пк, где матрица Aij uk x) имеет постоянный ранг т < п. Система (1) может быть гиперболической пли параболически вырожденной, как в системах, описывающих процессы с диссипацией. [c.641]

Ниже приводятся иекогорые факты, касающиеся символической динамики иа базисном гиперболическом множестве Л [4]. Для любой матрицы А = [Л/,] порядка п, состоящей из f yлeй и единиц, рассмотрим пространство двусторонних последовательностей [c.148]

В качестве простого примера рассмотрим сохраняющие площадь потоки в случае размерности 2, индуцированные линейной системой х = Ах обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т. е. потоки вида для некоторой матрицы А, для которой =с1е16- = 1, или А =0. В этом случае трансверсальные неподвижные точки могут быть только эллиптическими или гиперболическими седлами собственные значения матрицы равны А и —Л, и мы можем считать, что матрица А приведена к жордановой форме. Если А = О, то начало координат не является изолированной неподвижной точкой. Если А / О, то число Л либо чисто мнимо А = га гК, либо вещественно. В первом случае собственные значения равны е= = для некоторого з е К, и тогда нуль — неподвижная эллиптическая точка. В противном случае собственные значения имеют вид для некоторого в е К и нуль — гиперболическая неподвижная точка. Другими словами, возможны только два случая [c.328]

Пусть F ->Т — необратимый и иерастягнвающий гиперболический эндоморфизм тора, т. е. отображение, задаваемое целочисленной матрицей с определителем, абсолютное значение которого больше единицы, ио одно из собственных значений по модулю меньше единицы. Покажите, что отображение Р не является структурно устойчивым. [c.575]

Каждой га-звенной периодической траектории ф" 6 Т" соответствует 2л-звенная периодическая траектория ф 6Т ", полученная из исходной удвоением , т. е. прохождением два раза. Если траектории ф соответствует матрица Пуанкаре Р, то траектории <р , очевидно, соответствует матрица Пуанкаре Р. Таким образом, мультипликаторы ф равны квадратам мультипликаторов ф , значит, периодические решения ф и ф одновремен Ю являются эллиптическими и гиперболическими Траектория ф вырождена в том и только в том случае, если ф вырождена или ее мультипликаторы равны — 1. [c.72]

Для возможности приведения системы к форме (1.7) у матрицы а, должно существовать п линейно независимых собственных векторов 1 Они существуют, если все собственные значения с . ..с различны. Если же среди есть кратные, то для гиперболичности необходимо, чтобы им соответствовало столько независимых собственных векторов, какова кратность Для этого нужно, чтобы Жорданова форма матрицы а, была бы диагонгшьной с действительными элементами. Таким образом, система (1.6) называется гиперболической, если в рассматриваемой области изменения и все собственные значения с ит) матрицы [ (мт)] действительны и имеется и линейно независимых собственных векторов или, что то же самое, Жорданова форма матрицы а, диагональна с действительными элементами. Если все собственные значения К тому же различны, то говорят о гиперболичности в узком смысле. Очевидно, что для приведения системы (1.3) к форме (1.7) не обязательно приводить ее сначала к виду (1.6). Множители можно находить прямо для уравнений (1.5). В дальнейшем всегда будем предполагать, что рассматриваемая система уравнений гиперболическая. [c.19]

Заметим, что матрица коэффициентов Ф, ([/ ) остается симметричной, что обеспечивает действительность ее собственных значений а. Это значит, что характеристические скорости Ск могут быть только либо действительными, либо чисто мнимыми, но не комплексными. В то же время величины а приобретают за счет присутствия Ф ф О, ф j лишь малые добавки к своим основным значениям (3.6) и, следовательно, = рос1 остаются положительными, а с - действительными. Это значит, что система уравнений (3.3) нелинейной теории упругости при малых деформациях является гиперболической. Задачи с малыми возмущениями были подробно рассмотрены в (Гузь [1986]). [c.158]

Замечание . Сг м иетричестое системы (I), в которых все матрицы А симметричны и некоторая линейная комбинация О Л с вещественными является положительно определенной матрицей, являются гиперболическими. [c.53]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...