Топологическое седло

О (О, 0) есть топологическое седло, две сепаратрисы которого стремятся к О в направлениях соответственно (J и к, а остальные две в направлениях [c.379]

При переходе к плоскости (г, и) имеет, очевидно, смысл рассмотрение только значений у>0 так как 2 = Уу, то особая точка (О, 0) системы (6) будет иметь вид, представленный на рис. 71. Это, очевидно, также топологическое седло, причем 2 = 0 состоит из двух сепаратрис, а в области г>0 (и соответственно 2 < 0) лежит по одной сепаратрисе, стремящейся, как нетрудно убедиться, к точке (О, 0) при т- -— < (рис. 71). Чтобы исследовать концы оси I/, делаем замену [c.111]

При ц = о седло уходит в бесконечность, образуя в точке с координатами м = О, 2 = 0 сложное состояние равновесия — топологическое седло. Общий интеграл имеет вид [c.124]

Убегающие траектории, которые получаются при соответствуют вращательным движениям маятника, возникающим при сообщении ему начального количества движения, которое обеспечивает проход через верхнее положение со скоростью, отличной от нуля. На фазовой плоскости это будет соответствовать выходу описывающей точки за пределы области, ограничиваемой кривыми С , С,. Эти кривые, проходящие через седла и служащие в окрестностях данных точек асимптотами гиперболических фазовых траекторий, являются сепаратрисами. Они разделяют топологически различные области на фазовой плоскости область траекторий, приходящих из —оо и уходящих в фоо, и область замкнутых траекторий. [c.24]

Теорема ([ИЗ]). В типичном однопараметрическом семействе векторных полей встречаются векторные поля с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, седло по гиперболическим переменным и р гомоклинических траекторий Г,- точки О, р>1. Тогда для всех полей v , соответствующих достаточно близким к критическому значениям параметра, лежащим по одну сторону от критического значения, справедливо следующее утверждение. Для некоторой окрестности и объединения ОиГ,- ограничение потока поля на множество неблуждающих траекторий топологически эквивалентно надстройке над топологической схемой Бернулли из р символов. [c.113]

М 1°. Заменой времени добиваемся равенства Я,= 1 докажем, что а — топологический инвариант. Рассмотрим преобразование монодромии Д гомоклинической траектории седла у. Для этого выберем произвольную точку Рву Q y) достаточно близко к седлу на его устойчивом двумерном многообразии (неустойчивом одномерном многообразии W "). Требования близости формулируются ниже. Многообразие W делит окрестность седла на две части. Ту часть, в которую траектория у входит при t- —оо, обозначим U. Возьмем две трансверсаль-ные гладкие двумерные площадки ГЭР и T 9Q (рис. 48а). Обозначим через Г+ пересечение [/+ПГ. Если площадка Г+. достаточно мала, то определено отображение соответствия Ai точка РбГ+ переходит в конец дуги фазовой кривой рассматри [c.133]

Модули. В [183] было обнаружено, что топологическая сопряженность диффеоморфизмов с одинаковым геометрическим расположением устойчивых и неустойчивых многообразий влечет за собой условия типа равенства на мультипликаторы периодических траекторий. Точнее, пусть f / )—диффеоморфизм замкнутого многообразия с гиперболическими неподвижными точками р, q (р, q ) типа седло. Пусть Xi(Xi)—наибольшее по модулю собственное значение Df p) Df (p )) из всех собственных значений, меньших по модулю единицы, а V 2( Y2) — наименьшее по модулю собственное значение D/( ) (D/ ( 0) из всех собственных значений, больших по модулю единицы. Предположим, что 2( 2) имеет кратность 1. Тогда [162] [c.140]

Заметим, что область притяжения аттрактора может как менять, так и не менять свой топологический тип при его внутренней бифуркации. Например, для потока на диске при рождении устойчивого предельного цикла из фокуса она из односвязной становится двухсвязной, а при возникновении точки типа седло-узел на устойчивом предельном цикле она двухсвязна и до, и после бифуркации. [c.160]

Нетрудно убедиться, что данная особая точка имеет топологический тип грубого седла, что и доказывает лемму. [c.107]

При рассмотрении вопроса о том, какую топологическую структуру может иметь простое состояние равновесия, естественным является, как мы увидим, разделение на следующие случаи 1) характеристические числа Я-1 и 2 действительны и имеют одинаковые знаки (состояние равновесия называется узлом), 2) характеристические числа комплексно-сопряженные и действительные части их не равны нулю (состояние равновесия называется фокусом), 3) характеристические числа действительны, но разных знаков (состояние равновесия называется седлом), 4) характеристические числа чисто мнимые. [c.145]

Исследование топологической структуры в окрестности седла проводится здесь так же, как в [22]. Несколько другое, тоже геометрическое исследование дано в [11]. См. также по этому вопросу п. 5. [c.153]

Сепаратрисы, понимаемые как полутраектории, называются также иногда усами седла . Топологическая структура седла отлична от топологической структуры узла или фокуса. [c.160]

И 2. В подпространстве параметров системы, имеющей особую точку типа центр, могут быть выделены области, вблизи которых существуют квадратичные системы с четырьмя предельными циклами как с вышеописанной, так и с другой топологической структурой, содержащей два седла и узел на экваторе. Сепаратрисы одного из седел идут к предельным циклам с распределением [c.289]

Поведение сепаратрис, попавших в области, ограниченные дугами и ветвями гиперболы (6), определяется однозначно. Предельные циклы, окружающие фокусы, являются для этих сепаратрис соответственно ю- и а-предельными множествами. Для сепаратрис, не попавших в указанные области, существует несколько логических возможностей они могут стремиться к узлу или седлу па экваторе, к фокусу или предельному циклу на плоскости. Однако при а <ао в силу близости к системе с особой точкой типа центр их предельным множеством может быть только узел на экваторе сферы Пуанкаре. При 1а1<ао сохраняется топологическая структура, имеющая место при сколь угодно малых а. [c.291]

Из трех градиентных потоков, обсуждавшихся в 1.6, второй (на вертикальном торе), очевидно, структурно неустойчив. Это следует из того факта, что число орбит, а- или а -предельные множества которых являются седлами, изменяется, когда тор наклоняют. Эти числа являются инвариантами топологической орбитальной эквивалентности. Другие два потока (на круглой сфере и наклоненном торе) являются С-сильно структурно устойчивыми. Для первого из них имеет место устойчивость даже в более сильном смысле (см. упражнение 2.3.4). Во всяком случае, глобальные структуры орбит этих потоков достаточно просты, и наличие структурной устойчивости не кажется удивительным. [c.83]

Заметим, что различные инвариантные меры перекладывания отрезков порождают сопряжения этого перекладывания с другими. Чтобы упростить обсуждение этого вопроса, допустим, что перекладывание отрезков топологически транзитивно, что является более слабым условием, чем отсутствие сепаратрис, соединяющих седла, но более сильным, чем типичность. В этом случае каждая неатомарная инвариантная мера положительна на открытых множествах и, следовательно, отображение, сопоставляющее отрезку [О, t ] его меру, является гомеоморфизмом, переводящим данное перекладывание отрезков в другое такое перекладывание, что образ данной инвариантной меры есть мера Лебега. Таким образом, если топологически транзитивное перекладывание отрезков обладает к эргодическими инвариантными мерами, то мы получаем к — 1)-симплекс топологически сопряженных перекладываний отрезков. [c.478]

Обе эти сепаратрисы, имеющие вид восьмерок , изображены на рис. 76 для случая 0< Х< 1. При X = О обе сепаратрисы сливаются, и получается картина, изображенная на рис. 77. При — 1< X О получается та же картина, что и при 0< Х< -[ 1, но сдвинутая на тс вдоль оси а (рис. 78) В случае О X 1 (рис. 76 внутри наружной сепарат рисы (сепаратрисы А) име ются три области периоди ческих движений, две одно-связные (замкнутые фазовые траектории охватывают один из центров) и одна двухсвязная (замкнутые фазовые траектории охватывают оба центра и седло 0 = 0, 10 = О с сепаратрисой В). Фазовые траектории, расположенные вне наружной сепаратрисы, всегда замкнутые и охватывают цилиндр (это имеет место при любых X) они соответствуют, очевидно, периодическим движениям тяжелой точки с обеганием всей окружности. Так как при Х = 0 сепаратрисы сливаются, то при этом значении X двухсвязной области, о которой только что шла речь, не существует. Качественная топологическая картина интегральных кривых меняется, и следовательно, Х = 0 является бифуркационным значением. Точно [c.132]

Пусть теперь дана динамическая система (6.1). Она определяет некоторое семейство траекторий или, в другой терминологии, некоторое разбиение плоскости на траектории. Будем рассматривать всевозможные топологические отображения плоскости в себя и смотреть, как при этом изменяется заданное системой (6.1) разбиение на траектории. Очевидно, вид траекторий при этом может сильно измениться, но некоторые черты этого разбиения остаются неизменными или, иначе, топологически инвариантными. Например, остается неизменным число и взаимное расположение замкнутых траекторий, состояний равновесия и т. д. если состояние равновесия системы (6.1) было седлом, то и после любого топологического преобразования характер его сохранится. [c.412]

Из доказанных теорем I и II, очевидно, следует, что у грубой системы возможны только простые состояния равновесия типа 1), 2) и 3). Эти состояния равновесия — грубые в том смысле, что разбиения некоторой достаточно малой окрестности такого состояния равновесия на траектории исходной системы (Л) и на траектории всякой достаточно близкой к ней системы (Л) топологически тождественны и мало сдвинуты одно по отношению к другому. В частности, когда состояние равновесия О системы (Л) — седло, состояние равновесия О системы (Л) — тоже седло и сепаратрисы седла О мало сдвинуты по сравнению с сепаратрисами седла О системы (Л) ). [c.441]

Если динамическая система, для которой выполняются условия 1), 2) и 3), является грубой, то малые изменения ее правых частей не будут менять топологической структуры ее разбиения на траектории, а будут лишь мало сдвигать все это разбиение. Но при выполнении условий 1), 2), 3), т. е. при условии, что особые траектории системы (Л) являются лишь простыми предельными циклами и сепаратрисами, не идущими из седла в седло (подробное перечисление возможных видов сепаратрис см. ниже), нетрудно показать, что при малых изменениях правых частей системы (Л) или, иначе говоря, при переходе к измененной системе (Л), особые траектории не меняют своего характера и при этом лишь мало сдвигаются. Этот факт делает утверждение теоремы совершенно наглядным геометрически. Точное доказательство теоремы состоит в фактическом построении для всякой измененной системы (Л), достаточно близкой к системе (Л), такого топологического отображения области О в себя, при котором траектории системы (Л) отображаются в траектории системы (Л) и соответствующие друг другу точки находятся на сколь угодно малом расстоянии друг от друга. [c.454]

Мы не будем исследовать подробно возможные топологические типы для наиболее сложного случая ВП, когда в границу ячейки входят и предельные циклы и седла. Возможные здесь случаи приведены на рис. 308 и 309. Заметим, что для случаев ВП в известном [c.462]

Подробно изучено поведение течения в зоне пространственного отрыва, в которой наблюдается сложная топологическая структура течения, характеризующаяся наличием особых точек (узел, седло, фокус), линий растекания и стекания. [c.305]

Рассмотрим теперь следующую ситуацию на оси п располагаются последовательно три точки равновесия седло, топологический узел, седло. Обозначим их через и, п , п соответственно (рис. 29). [c.50]

Замечание 1. Количество траекторий, уходящих на бесконечность, определяется через топологический тип бесконечно удаленной особой точки. В частности, в системах (13), (7) существует единственная траектория, уходящая на бесконечность, поскольку бесконечно удаленная особая точка является седлом (если, конечно, отображать не плоскость, а фазовый цилиндр см. также [253]). [c.223]

Тогда, если а2т+1 = а > О, то состояние равиовесия О системы (9) является топологическим седлом (рис. 238). Ес.ги же < О, то точка О является 1) фокусом или центром при = О, а также при Ф О и п т или при Ьп Ф О, п т и X <С. 0 2) топо.югическим узлом, если ЪпФ , п четное число и п <.т, а также если Ь ф О, п — четное число, п = т и %>0 3) состояние.ч равновесия с о.глиптической областью. [c.397]

Особыми точками на экваторе сферы Пункаре будут точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям z = О, и — рь. При >О это сложные состояния равновесия с А = 0, аФО — два седло-узла. При ц = О особые точки, сливаясь, образуют на концах оси X новую особую точку — топологическое седло (случай А = 0, 0=0), кратность которого равна пяти. Справедли- [c.122]

Теорема сведения ([117], [20]). Локальное семействовекторных полей (и О, 0), г (О, 0)=0 топологически эквивалентно надстройке седла над ограничением семейства на его центральное многообразие. Это ограничение (обозначим его-(ш О, 0) представляет собой локальное семейство с с-мерным фазовым пространством, где с — размерность центрального многообразия ростка v -, 0)). Если локальное семейство (ш О, 0) является версальной деформацией ростка w -, 0), тО исходное семейство (и О, 0) является версальной деформацией, ростка г ( , 0). А [c.18]

Классы и встречаются неустранимьш малый шевелением образом в семействах, зависящих от не мейее чём ц параметров. Типичное семейство, содержащее росток класса Л , стабильно (с точностью до надстройки седла) локально топологически эквивалентно (указанному в таблице 1) главному семейству и является, как и оно, версальной деформацией сво- его самого вырожденного поля. Аналогичное утверждение справедливо для семейств, содержащих росток Кл зсса только эквивалентность следует заменить слабой эквивалент-ностью .А [c.23]

Теорема (о версальности). Росток однопараметрического семейства общего положения векторных полей We) на гомокли-нической траектории негиперболической особой точки—седла по гиперболическим переменным в R —топологически эквивалентен ростку одного из главных семейств О или 0 на гомоклини-ческой траектории поля или V . [c.115]

Главные семейства в и их свойства. В этом пункте строятся топологические нормальные формы семейств в окрестности гомоклинической траектории седла в R . Соответствующие теоремы версальности формулируются в п. 5.5. Семейства строятся с помощью описанных ниже склеек из линей- [c.129]

Теорема (В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, 1985 г.). Пусть гладкое векторное поле в R имеет гомоклиническую траекторию гиперболического седла с собственными значениями a ip, К а-Х<0. Тогда отношение а/Я является топологическим инвариантом. [c.133]

Устойчивые и неустойчивые еостояния равновесия. Мы рассмотрели состояния равновесия с точки зрения их топологической структуры. При этом очевидно, что если не принимать во внимание направление движения по I, то топологическая структура устойчивого узла и фокуса и неустойчивого узла и фокуса одинакова. В то же время топологическая структура седла, очевидно, отлична от топологической структуры узла и фокуса. Однако часто в задачах, связанных с приложениями, состояния равновесия рассматриваются просто с точки зрения их устойчивости или неустойчивости без детализации их топологической структуры ). С этой точки зрения состояния равновесия разделяются на два типа. [c.160]

Пусть теперь а2, +1 < 0. Тогда У % < , и оба числа к и ко имеют одинаковые знаки. Из соотиошений (22) следует, что в этом случае одно из состояний равновесия С>1 и Оо является простым седлом системы (А, +,), а другое — простым узлом, причем если > О, то седло лея. ит на оси Г[т+1 выше узла, а если < О, то ниже. Дальнейшее рассуждеиие проводится в точности так же, как в случае 2) (т. е. в случае, когда п < т, 02т+1 < 0). Мы приходим, таким образом, к следующему заключению если Ь ф О, Я > О, агт + 1 < О и т = п, то точка О (О, 0) системы (А) является топологическим узлом при п четном и состоянием раеновесия с эллиптической областью прп п нечетном (рис. 239). [c.402]

Собственные числа линеаризации векторного поля, порождающего Поле направлешй уравнения, нормированные условием 1 + =2, равны 1+1/1—8й. Сложенные седла (Л>0) все тонояопяееки - эквивалентны щ)уг другу г гошбмбрфйзм плоскости х, у) переводит друг в друга проекции семейств их интегральных кривых. Точно так же топологически одинаковы все сложенные узлы (0<й < 1/8) и все сложенные фокусы (к >1/8). [c.40]

Структурно устойчивые системы на двумерной сфере ( [4], [8]). В пространстве векторных полей на компактном многообразии открытое всюду плотное множество в i-топологии образуют поля, все особые точки которых гиперболические ( [8], гл. 6). В двумерном случае гиперболические особые точки топологически либо седла, либо узлы. Фазйвая кривая, стремящаяся к седлу прн /- -+СХ5, называется входящей сепаратрисой седла, а при t— —оо — выходящей. [c.45]

Теорема сведения Шошитайшвили ([8]). Пусть дифференциальное уравнение с дважды гладкой правой частью имеет особую точку О и линейную часть Ах. Пусть Г, 7 и Г — инвариантные плоскости оператора Л, описанные в п. 4.1. Тогда в окрестности точки О рассматриваемое урав1нение топологически эквивалентно прямому произведению двух уравнений ограничению исходного на центральное многообразие и стандартного седла [c.63]

Пусть Г — топологически транзитивный поток класса С на двумерном компактном ориентируемом многообразии рода р 1 (т. 1, ч. И), имеющий лишь конечное число неподвижных точек, являющихся невырожденными седлами, и не имеющий блуждающих точек (т. е. таких точек, у которых есть окрестность и, для которой и ]Т и = 0 при t to). В [18] доказано, что число нетривиальных нормированных эргодических мер для таких потоков (т. е. таких, относительно которых любая траектория имеет меру нуль) не превосходит р. Эта оценка точна для любых натуральных р, к, р к, существует топологически транзитивный поток класса С на поверхности Мр. рода р, имеющий ровно к нетривиальных нормированных эргодических мер и 2р—2 неподвижных точек, являющихся невырожденными седлами (Е. А. Сатаев [40]). В [6] построены примеры строго эргодических потоков на всех поверхностях, кроме сферы, проективной плоскости и бутылки Клейна, где существование таких потоков невозможно. В [26] построены примеры перемешивающих потоков класса С с инвариантной мерой, имеющей положительную плотность класса С , на всех поверхностях, кроме только что перечисленных трех исключительных поверхностей. [c.78]

Вернемся теперь к ситуации с тремя точками равновесия ( о.О) (п1, 0), (и , 0) — седло, топологический узел, седло соответствен но. Однако в данном случае мы не будем ограничиваться монотон ными волнами. Следовательно, точка топологический узел мо жет быть фокусом, и возможны такие траектории, как, например изображенная на рис. 32,а (обозначена цифрой 1). Она выходит из точки (И1, 0) (фокуса) и попадает по сепаратрисе в седло (И2, 0). Волна, соответствующая данной траектории, имеет вид, изображенный на рис. 32,6. Волна движется справа налево со скоростью Решение колеблется с угасающей амплитудой вокруг равновесия п1. Передний фронт волны имеет мелкую рябь. [c.56]

На рис. 16.7 дан фазовый портрет укороченной системы при = ( точный резонанс ). В согласии с рис. 16.1 здесь три состояния равно весия. Их типы (при < 4/27) уже известны устойчивый узел, седло неустойчивый узел. Сепаратрисы седла выделены жирными линиям Картина симметрична относительно оси ординат. При большой расстройк симметрия пропадает, состояния равновесия несколько смещаются, н топологическая структура фазового портрета остается прежней (рис. 16.8 [c.297]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...