Верхней релаксации оптимальный метод

Векторное поле соленоидальное 311 Векторный потенциал 311 Верхней релаксации оптимальный метод 183 [c.599]

Очень важно правильно выбрать значение параметра верхней релаксации ш. Очевидно, = 1 для обычного итерационного алгоритма без верхней релаксации. Ясно также, что выбор слишком большого значения параметра ш означал бы полное пренебрежение конечно-разностным методом. Для каждой задачи существует своя оптимальная величина ш, при которой итерации сходятся быстрее всего. Можно показать [116], что это оптимальное значение зависит только от конфигурации электродов и размера ячейки (обычно оно растет с уменьшением размера ячейки). Оно не зависит от начального приближения для потенциала и номера итерации к. Интересно, что существует теоретическая возможность определить точное значе- [c.153]

Метод (48) был предложен Д. М. Янгом [26] и получил название последовательной верхней релаксации. При ш = 1 метод (48) превращается в обычный итерационный процесс (44). Для обеспечения оптимальной скорости сходимости Д. М. Янг рекомендует выбирать оптимальный релаксационный параметр [c.13]

Этот метод известен как метод ускорения сходимости Либмана или как метод точечной последовательной верхней релаксации. Величина со представляет собой параметр ускорения сходимости и при соответствующем выборе дает очень эффективную итерационную схему. Легко проверить, что для любого со это уравнение удовлетворяется значением ( ( ) = < ( + ) = ф, т. е. точным решением. Оптимальную величину со можно оценить, если вспомнить (см. разд. 3.4.3), [c.122]

Отметим, что при р оо параметр др стремится к значению до, оптимальному для метода верхней релаксации. Обобщения, связанные с непрямоугольной конфигурацией границ и применением криволинейных координат, не вносят принципиальных изменений в конструкцию и не отражаются на основных свойствах метода релаксации, Несмотря на то что аналитическая оценка для оптимального параметра до в общем случае не найдена, этот метод, по-видимому, остается наиболее эффективным именно для задач со сложной геометрией и переменными коэффициентами в уравнении функции тока, во-первых, в силу своей простоты и, во-вторых, потому, что подобрать близкое к оптимальному значение одного параметра д несравнимо легче, чем найти оптимальную последовательность та экспериментальным путем в методах переменных направлений и попеременно-треугольном, Так как коэффициенты разностных уравнений для [c.102]

Основные результаты проведенного исследования собраны в табл. 5.2, 5.3 и проиллюстрированы на рис. 5.9. Нетрудно увидеть ряд закономерностей. В области Ка< <1() , где основным механизмом распространения тепла является теплопроводность, наиболее быстрое установление итераций наблюдается при верхней релаксации всех функций. Резкая смена оптимальных режимов релаксации при Ка 5-10 соответствует начальной стадии образования пограничного слоя в обеих задачах [28, 54]. В условиях формирующегося пограничного слоя величина <7 с ростом Ка монотонно стремится к верхнему пределу 2, а д и д убывают к нулю. Даже при Ка<105 релаксация заметно сокращает время установления. Но и при высокоинтенсивной конвекции, когда итерации Зейделя уже не сходятся, методом релаксации получены [c.132]

Рис. 3.16а. Поведение итераций в методе последовательной верхней релаксации в зависимости от величины параметра релаксации ш. Размер сетки / = /= 21, Ал = Ду, оптимальное значение ш в этом случае Ио= 1.7295.

Таким образом, применение ЭВМ дало основание к дальнейшему развитию методов типа метода Либмана с использованием преимуществ идеи верхней релаксации Саусвелла. В 1950 г. Франкел (и в 1954 г. независимо от него Янг) разработал метод, который он назвал экстраполированным методом Либмана и который впоследствии стал называться методом последовательной верхней релаксации (Янг [1954]) или методом оптимальной верхней релаксации. Франкел подметил также аналогию между итеративным решением эллиптических уравнений и решением шагами по времени параболических уравнений, что имело важные последствия. [c.19]

Может показаться, что выбор очень больших А/ (малых р) будет ускорять асимптотическую по времени скорость сходимости, но в действительности существуют некоторые оптимальные значения А/ или р. При оптимальном р сходимость достигается за несколько меньшее число итераций, чем при ис-. пользовании метода последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром. Такая более быстрая сходимость представляется правдоподобной, ибо неявность схемы приводит к тому, что влияние эллиптических граничных условий сказывается в течение всего времени. Однако выполнение одной итерации в неявной схеме метода чередующихся направлений занимает больше времени, и поэтому метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром фактически требует меньше машинного времени, чем такая однопараметрическая неявная схема метода чередующихся направлений (Биркгоф с соавторами [1962], Уэстлейк [1968]). [c.189]

В методах последовательной верхней релаксации число итераций, необходимое для сходимости, увеличивается с ростом N. Для неявных схем метода чередующихся направлений, применяемых в областях квадратной формы, kmax почти не зависит от N, так что для достаточно больших N неявные схемы метода чередующихся направлений предпочтительнее. В численных расчетах Биркгофа с соавторами [1962] на сетке 40X40 неявные схемы метода чередующихся направлений с параметрами Вахпресса оказались почти в четыре раза быстрее, чем метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром релаксации. Однако неясно, будут ли неявные схемы метода чередующихся направлений быстрее в случае непрямо- [c.190]

Возможно использование других итерационных сглаживающих процедур таких, как метод Гаусса — Зейделя, последовательной верхней релаксации, сопряженных градиентов и др. В сравнении с простой итерацией и тривиальным выбором параметров т = Ijd они дают, естественно, более высокую скорость сходимости, что можно аналитически вьтести из локального анализа Фурье [100]. Но при оптимальном вь1боре параметров Т по формулам (2.26) и (3.38) алгоритмы А и не уступают по эффективности алгоритмам с перечисленными выше итерационными процессами, посколь- [c.211]

Фг /1- Такой прием, очевидно, может быть применен только достаточно квалифицированным вычислителем, который может быстро приближенно вычислить максимальное смещение при визуальном переборе невязок. Затем был развит другой подход. Было обнаружено, что оптимальная скорость сходимости достигается не приравниванием невязок нулю, а использованием верхней или нижней релаксации в зависимости от того, какие знаки имеют невязки в соседних точках одинаковые или противоположные (Фокс [1948]). (Общее понятие верхней релаксации было предложено Ричардсоном еще в 1910 г.) Такая идея с успехом была использована в методе Саусвелла, но теперь для реализации этого метода потребовался вычислитель, обладающий еще большими мастерством и интуицией. (Это требование фактически было даже выгодным (Фокс [1948]) при расчетах вручную, так как вычислитель, вероятно, менее утомлялся от однообразной работы ) [c.182]

При со = соо число итераций к, необходимое для уменьшения невязки до некоторого заданного уровня, прямо пропорционально полному числу итерируемых уравнений N = (I—2)Х Х(/ —2), тогда как для метода Либмана кПоэтому метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром релаксации соо (иногда называемый оптимальным методом верхней релаксации) лучше для больших задач. [c.183]

Практика применения (Фокс [1948]) метода Саусвелла показала, что для достижения наибольшей скорости сходимости нужно устранять не наибольшую невязку г,, /1, а ту невязку Гг,/, для ликвидации которой требуется наибольшее смещение [ фгУ — Фг/ - Такой прием, очевидно, может быть применен только достаточно квалифицированным вычислителем, который может быстро приближенно вычислить максимальное смещение при визуальном переборе невязок. Затем был развит другой подход. Было обнаружено, что оптимальная скорость сходимости достигается не приравниванием невязок нулю, а использованием верхней или нижней релаксации в зависимости от того, какие знаки имеют невязки в соседних точках одинаковые или противоположные (Фокс [1948]). (Общее понятие верхней релаксации было предложено Ричардсоном еще в 1910 г.) Такая идея с успехом была использована в методе Саусвелла, но теперь для реализации этого метода потребовался вычислитель, обладающий еще большими мастерством и интуицией. (Это требование фактически было даже выгодным (Фокс [1948]) при расчетах вручную, так как вычислитель, вероятно, менее утомлялся от однообразной работы ) [c.182]

Следует отметить, что при со = I (условие ы= 1 соответствует методу Зейде-ля) для получения решения задачи с точностью 0,1 С необходимо совершить 215 итераций. Для метода верхней последовательной релаксации при ш=1,8 та же точность достигается за 57 итераций. Оптимальное значение ш=1,8 получено после серии расчетов. [c.242]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...