Метод Ньютона

В методе Ньютона поправка [c.228]

Метод Ньютона, характеризуемый высокой скоростью сходимости, широко распространен в процедурах автоматизированного проектирования. Однако по сравнению с предыдущими методами реализация метода Ньютона связана с увеличенными затратами памяти, требующимися для размещения матрицы Якоби. Кроме того, увеличивается трудоемкость вычислений на одной итерации. [c.228]

В алгоритмах решения системы конечных уравнений по методу Ньютона для вычисления поправки ДУ,- вместо обращения матрицы Якоби используют решение системы линейных алгебраических уравнений [c.228]

Важным фактором, управляя которым, можно добиться выполнения условий сходимости метода Ньютона, является близость точки начального приближения Vo к точке корня V. Это обстоятельство привело к появлению метода, повышающего вероятность сходимости метода Ньютона и называемого методом продолжения решения по параметру. В этом методе в решаемой системе уравнений выделяют параметр, влияющий на положение точки корня в пространстве фазовых переменных. Например, при анализе электронной схемы таким параметром может быть напряжение источника питания. Система (5.1) решается методом Ньютона многократно при ступенчатом изменении параметра. Пусть параметр Е выбран так, что при - 0 имеем V - 0. Тогда при первом решении выбираем Vq=0 и находим значение корня V, , соответствующее начальному значению параметра Е. Далее увеличиваем Е и решаем систему уравнений при начальном приближении Vo=Vj [c.228]

Решение систем нелинейных АУ выполняется итерационными методами, при этом на требуемое число итераций И в методе Ньютона решающее влияние оказывает выбор начального приближения, а в остальных итерационных методах — число обусловленности Ц матрицы Якоби решаемой системы уравнений. [c.233]

В методе Ньютона, применяемом в рамках методов установления. или продолжения решения по параметру, обыч- [c.233]

Надежность применения метода определяется не только фактом принципиальной сходимости к корню, но и тем, каковы затраты времени Т на получение решения с требуемой точностью. Ненадежность итерационных методов проявляется либо при неудачном выборе начального приближения к корню (метод Ньютона), либо при плохой обусловленности задачи (методы релаксационные и простых итераций), либо при повышенных требованиях к точности решения (метод простых итераций), либо при высокой размерности задач (метод Гаусса при неучете разреженности). Поэтому при создании узкоспециализированных программ необходимы предварительный анализ особенностей ММ заданного класса задач (значений п, Ц, допустимых погрешностей) и соответствующий выбор конкретного метода. При создании ППП с широким спектром решаемых задач необходима реализация средств автоматической адаптации метода решения к конкретным условиям. Такая адаптация в современных ППП чаще всего применяется в рамках методов установления или продолжения решения по параметру. [c.235]

В целом затраты машинного времени на анализ переходных процессов неявными методами существенно зависят от экономичности алгоритмов численного решения конечных уравнений, применяемых на каждом шаге интегрирования. Обычно для решения конечных уравнений используют метод Ньютона, тогда [c.241]

Метод Ньютона с регулировкой шага сходится к решению независимо от выбора начальной точки Хо и обладает [c.287]

При решении задач минимизации выпуклых функций метод Ньютона обеспечивает более высокую скорость сходимости последовательных приближений к решению по сравнению с градиентными методами, однако количество вычислений на итерации метода Ньютона высоко за счет необходимости вычисления и обращения матрицы вторых производных. Минимизация квадратичных функций происходит за один шаг. [c.288]

На основе метода Ньютона разработан эффективный метод, получивший название метода переменной метрики. Идея метода заключается в использовании информации о градиенте критерия оптимальности для приближенного вычисления матрицы Гессе. Этот метод — итерационный. Поиск в нем ведется по формуле [c.288]

Главное преимущество метода переменной метрики перед методом Ньютона — отказ от вычислений матрицы Гессе на каждой итерации. Положительно определенная матрица [c.288]

Таки.м образом, получили 4Л (7- -1) нелинейных дш(х )ерен-циальных уравнения. Будем решать их методом Ньютона. Запишем (2. 4. 22), (2. 4. 23) в виде [c.34]

Для оценки температурных полей в геометрически сложных областях в последнее время часто применяется метод конечных элементов /1-5/. Можно отметить два подхода к решению нелинейной задачи теплопроводности. Первый из них заключается в предварительной линеаризации нелинейного уравнения теплопроводности с помощью метода оптимальной линеаризации /57 или метода Ньютона - Рафсона,я к линейному уравнению применяется процедура метода конечных элементов (МКЭ). Второй подход заключается в построении решения с использованием МКЭ дня нелинейной задачи в случае "слабой" нелинейности /зу или использовании итераций дня учета нелинейности /5,4/. [c.133]

Решение подобной системы уравнений возможно итерационными методами, наиболее распространенным из которых является метод Ньютона (см. книгу 5). Алгоритм метода Ньютона предусматривает многократное решение линеаризованной системы уравнений [c.115]

Кроме названных известны также метод геометрического программирования, метод Ньютона и созданные на его основе методы переменной метрики, которые в силу их особенностей невозможно отнести ни к одной из рассмотренных групп. [c.152]

Метод Ньютона использует для определения направления движения в допустимой области информацию как о градиенте, так и гессиане 152 [c.152]

Интегрируя по частям, находим, что (2) совпадает с решением, найденным по методу Ньютона—Канторовича [123, с. 28]. [c.322]

Заметим, что метод Ньютона эффективен н том случае, когда для начального приближения Хд выполняется неравенство [c.287]

Результаты вычислений по формуле (9.35) при В = 1 и Xq = 1 представлены в графе 2 табл. 9.1. Как видно, метод Ньютона позволя- [c.287]

При многократном повторении последовательных догружений погрешность нахождения функций w, Ф, вызванная отбрасывание.м нелинейных членов, накапливается. Измельчение величины приращения нагрузки приводит к значительному увеличению трудоемкости решаемой задачи и устранить указанную погрешность не позволяет. Для повышения точности определения гг и Ф метод последовательных догружений комбинируется с методом Ньютона, который на каждом шаге догружения уточняет искомое решение. [c.291]

Рис, 3.3. Графическая интерпретация метода Ньютона [c.58]

Остается подобрать такой вид функции Ф (д ), чтобы процесс итераций сходился. Для этой цели существуют стандартные приемы. Один из них носит название метода Ньютона или метода касательных. Он пригоден для отыскания простых корней, т. е. для того случая, когда F х) в районе корня отлично от нуля. [c.77]

При Xi равном значению корня эта дробь равна нулю, и в силу непрерывности существует такая окрестность корня, в которой I/ I < 1 и, следовательно, метод итерации будет сходиться. Таким образом, излагаемый метод обязательно приведет к успеху., если нулевое приближение взять достаточно близко к корню. Метод Ньютона, как правило, порождает монотонную последовательность приближений. Действительно, если F" в районе корня знака не меняет, то / по разные стороны от корня имеет разные знаки. Если Хд взять в той части отрезка, где / > О, то и все последующие приближения будут находиться в той же части отрезка. Если же Хо взять там, где / < О, то Xi окажется с другой стороны от корня, т. е. там, где / > О и все последующие члены последовательности будут расположены в той же части отрезка. Итак, все члены последовательности в этом случае будут принадлежать области, где FF" > 0. Этот метод имеет название метод касательных , так как в нем за (k + 1)-е приближение принимается точка пересечения оси х с касательной к графику функции F (х), построенной в точке с абсциссой Xk (рис. 2.4). [c.77]

Модуль / (х), определяющий скорость сходимости метода, по мере приближения х к корню стремится к нулю. Отсюда следует, что метод Ньютона сходится с ускорением — чем ближе к корню, тем быстрее сходимость. Для оценки ошибки можно использовать общий метод (2.12), но можно получить и специальную формулу. Для этой цели представим функцию F (х) в виде отрезков рядов Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа [c.78]

Так как в соотношение (2.21) разница между приближениями входит в квадрате, метод Ньютона называется методом второго порядка. Следует отметить, что оценка (2.21) практически никогда не используется, так как вычислить F и F" и исследовать на экстремум их модули — задача для сколько-нибудь сложной функции F по своей трудоемкости неадекватная той цели, ради которой ее следует решать. Вообще, метод Ньютона — это достаточно громоздкий в реализации метод, так как он требует вычисления двух функций F к F. Его можно рекомендовать для решения сравнительно простых уравнений, когда F может быть вычислена относительно просто. На практике, когда вычисление F сложно, прибегают к ее приближенному вычислению, т. е. берется Ф л MF (см. (2.20)). При этом получается сходящийся итерационный процесс первого порядка, близкий по своему геометрическому истолкованию к методу касательных. Примером может служить решение уравнения теплового баланса поверхности ЛА. Для стационарного состояния справедливо следующее уравнение [c.78]

В данном случае не представляется возможным установить, меньше ли производная по модулю единицы из-за сложности зависимости а (Та,). Имеются некоторые соображения (близость к методу Ньютона), позволяющие надеяться на сходимость. Нет также возможности построить теоретические (априорные) оценки ошибки. В этих условиях сходимость (или расходимость) последовательности устанавливают экспериментально, фактически вычисляя ряд ее членов. [c.79]

Другой общий прием, позволяющий построить сходящийся итерационный процесс, носит название метода хорд. Он также, по-существу, близок к методу Ньютона и получается из него путем замены касательной хордой [c.79]

Следовательно, метод хорд является методом первого порядка. Он сходится медленнее метода Ньютона, но намного проще его, так как требует для своего осуществления умения вычислять только одну функцию F (х). К достоинству метода относится также возможность организации двусторонних приближений. Итак, если известно, что на отрезке [а, Ь существует единственный корень уравнения F х) О, то всегда можно построить такой итерационный процесс, при котором последовательность будет сходиться к искомому корню. При анализе вопроса о существовании и приблизительном расположении корней уравнения можно воспользоваться другой формулировкой по-существу того же самого утверждения если каким-то образом уравнение f (jt) = О приведено к виду х = f (х) и обнаружено, что / (х) < 1 на [а, Ь], то можно утверждать, что функция F (х) имеет единственный корень на этом отрезке. Подчеркнем, что установление отрезка, который содержит только один интересующий нас корень, задача гораздо более сложная, чем последующее определение этого корня с заданной степенью точности. [c.81]

Для отыскания простых, в том числе комплексных корней, может быть использован метод Ньютона. Уже была отмечена его быстрая сходимость, а вычисление производных для многочлена не представляет трудностей. [c.86]

Решение системы (4.38) проводилось методом Ньютона [176], который в данном случае оказался вполне устойчивым. Для выбора начального приближения рассматривались два предельных случая распределение температуры при радиационном теплообмене 7,- и кондуктивиом. В качестве начального приближения выбиралось то распределение температуры, которое при подстановке в (4.38) давало меньшую невязку. [c.164]

Экономичность метода решения систем АУ определяется также затратами оперативной памяти. При неучете разреженности только на хранение матрицы Якоби нужно п ячеек памяти. Поэтому если для одного слова используется 8 байт, то при п=100 для хранения требуется 80 кбайт, а при п = 500 — уже 2 Мбайт. Итак, подтверждается вывод о необходимости учета разреженности при решении задач с п>п р, где Ппр зависит от характеристик используемой ЭВМ и, как правило, составляет несколько десятков. В задачах анализа распределенных моделей, в которых п может превышать 10 , экономичность метода по затратам машинной памяти становится одной из важнейших характеристик. В таких случаях применяют либо релаксационные методы, либо метод Ньютона с использованием на каждой итерации метода Гаусса, но в рамках рассматриваемого ниже диакоптического подхода. [c.234]

Для решения систем нелинейных конечных уравнений используют диакоптический вариант метода Ньютона с контролем сходимости итерационного процесса отдельно по выделенным фрагментам. Выполнение условий сходимости в г-м фрагменте является основанием для прекращения вычислений по уравнениям этого фрагмента. Очевидно, что раздельное интегрирование означает и раздельное решение подсистем ЛАУ, относящихся к отдельным фрагментам. [c.244]

Методы Ньютона и переменной метрики. Ускорение поиска экстремума связано с улучшением выбора сопряженных направлений. Довольно эффективным является поиск сопр1Яженных направлений с одновременным накоплением информации о матрице Гессе критерия оптимальности. Используют соотношение [c.287]

Отказы в решении задач могут проявляться в несхо-димости итерационного процесса, в превышении иогреш-ностями иределыю допустимых значений и т. и. Причинами отказов могут быть такие факторы, как плохая обусловленность ММ, ограниченная область сходимости, ограниченная устойчивость. Так, итерации ио методу Ньютона ири решении систем нелинейных алгебраических уравнений сходятся только в случае выбора начального приближения в достаточно малой окрестности корня. [c.49]

ППП системы САППОР использует различные методы оптимизации для решения задач нелинейного программирования. При этом физическая сущность объекта проектирования не имеет значения важно, чтобы задача проектирования была бы сформулирована в терминах математического программирования. ППП системы ДИСО включает методы внешних и внутренних штрафных функций, методы возможных направлений Зойтендейка, методы Ньютона и другие для решения задач программирования. Таким образом, все указанные пакеты относятся к числу объектно-неза-висимых. [c.154]

Вследствие конечности шагов поиска градиентные методы также, как и методы покоординатного поиска, могут привести к ложному оптимуму, особенно при наличии оврагов и гребней (рис. П.4, а). В этих случаях более работо-способнык и оказываются методы Ньютона, использующие квадратичную аппро- [c.245]

Сходимость метода Ньютона к локальному экстремуму гарантируется только при положительности [grad Wo(Zk)]- , для чего используются специальные приемы [80]. Недостатком метода является необходимость вычисления вторых производных. Поэтому метод Ньютона может быть применен там, где он имеет очевидные преимущества, т. е. в окрестности экстремума Но, хорошо поддающейся квадратичной аппроксимации. [c.246]

Трудности, связанные с применением метода Ньютона, привели к разработке группы методов, которые называются квазиньютоновскими методами переменной метрики или градиентными методами с большим шагом. Сущность их заключается в аппроксимации матрицы Гессе или обратной к ней матрицы таким образом, чтобы ограничиться только использованием первых производных. [c.246]

Такой метод решения нелинейнрлх у])авнений называется модифицированным методом Ньютона. Графическая иллюстрация его представлена на рис. 9.9. [c.288]

Итерационый процесс, описываемый соотношением (3.8), известен под названием метода Ньютона. Графическую интерпретацию метода Ньютона иллюстрирует рис. 3.3. Здесь очередное приближение к корню X определяется точкой пересечения с осью Ох касательной к кривой f(x), проходящей через точку с координатами x -i, /(x i). [c.58]

Теоретические основы САПР (1987) -- [ c.228 , c.244 , c.287 ]

Методы и задачи тепломассообмена (1987) -- [ c.77 , c.95 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы (1987) -- [ c.123 ]

Основы автоматизированного проектирования (2002) -- [ c.164 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы Книга1 (2000) -- [ c.130 , c.131 , c.142 ]

Основы теории и проектирования САПР (1990) -- [ c.40 ]

Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 (1999) -- [ c.245 ]

Разностные методы решения задач газовой динамики Изд.3 (1992) -- [ c.197 ]

голоморфная динамика (2000) -- [ c.72 , c.93 , c.299 ]

Формообразование поверхностей деталей (2001) -- [ c.533 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...