Первая модификация метода Ньютона

Первая модификация метода Ньютона [c.399]

Вторая модификация метода Ньютона [141 отличается от первой способом выбора величины шага. В первой модификации метода Ньютона величина шага выбиралась таким образом, чтобы разности — Ф/ непрерывно убывали по абсолютной величине. Это требование гарантирует, что ни одиа нз аберраций в процессе расчета не может ухудшиться по сравнению с исходной системой, если даже задача ие решена до конца. Однако выполнение этого требования, как показала практика многочисленных расчетов, в ряде случаев резко замедляет сходимость итерационного процесса. [c.414]

По аналогии с первой модификацией метода Ньютона введем величину [c.417]

В качестве первого примера рассмотрим расчет фотографического объектива типа триплет в области аберраций третьего порядка. Исходной будем считать систему из табл. VII.6. Напомним, что с помощью первой модификации метода Ньютона решение было получено за 82 итерации. Результаты расчета с помощью второй модификации приведены в табл. VII.7. Пример наглядно показывает высокую эффективность метода. [c.418]

Например, известны две модификации метода Ньютона и две модификации метода наименьших квадратов. Причем в первой модификации метода Ньютона шаг выбирается таким образом, чтобы разность между значением функции после 5-го итерационного шага Ф] и заданным значением Ф , т. е. (ф — Фу), непрерывно убывала по абсолютному значению. При этом ни одна из аберраций не увеличивается по сравнению с аберрациями исходной системы, но сходимость итераций резко замедляется. [c.389]

Характерной особенностью второй модификации метода Ньютона в отличие от первой является возможность ухудшения некоторых аберраций на промежуточных стадиях расчета, когда решение удается найти, или возможность ухудшения некоторых аберраций D окончательной системе по сравнению с исходной, еслн требуемое решение ие найдено. Такое положение иногда вызывает нарекания оптиков-конструкторов и жалобы на ухудшение машиной качества исходной системы. Однако этот незначительный недостаток метода полностью окупается большим выигрышем в скорости сходимости. Этот метод с успехом используется не только при расчете систем в области аберраций третьего порядка, но и при расчете в области точных значений аберраций. В последнем случае погрешность двучленных формул (VU.67) вызывает иногда нежелательные последствия, например разрыв функций при значениях коррекционных параметров, соответствующих = Разрыв функций проявляется физически как непро- [c.417]

Изложенные выше трудности использования метода Ньютона для решения одного нелинейного уравнения (5.12) усугубляются при применении его к решению систем нелинейных уравнений (5.16). Во-первых, возникает проблема вычисления на каждой итерации матрицы из частных производных. Во-вторых, обостряется проблема нахождения хорошего начального приближения. Для преодоления этих трудностей используют специальные модификации метода [2, 72]. [c.131]

Как и в первой модификации метода Ньютона, расходимость итерационного процесса в данном случае исключена. Действительно, поскольку на каждом шагу итерационного процесса происходит уменьшение оценочной функции и ие может принимать отрицательных значений, то процесс сходится либо к = О, либо к какому-то значению Fnpedy которое обязательно меньше значения в исходной системе. [c.417]

Основная цель модификаций метода Ньютона заключается в предотвращении расходимости итерационного процесса. Сущность этих методов состоит в том, что каждый шаг итерационного процесса разбивается па два этапа, первый нз которых представляет собой выбор направления движения (определение соотношения между нзмеиеинямн параметров), а второй этап — выбор величины шага в этом направлении. Направление движения определяется путем решения системы линейных уравнений (VII.26). Выбор величины шага осуществляется путем анализа изменений функций при движении в найденном направлении. [c.399]

Эта модификация состоит в том, что производные, вычисляют толька один раз в точке а , ро, соответствующей нулевому приближению. При расчете последующих приближений эти величины не изменяются. В этом случае, каждое приближение (кроме первого) требует только однократного интегрирования системы дифференциальных уравнений. Быстрота сходимости метода Ньютона, и особенно рассмрриваемого его варианта, существенно зависит от того, насколько хорошо выбрано начальное приближение ад, Рд. Для улучшения этого приближения исполь-зукуг метод шагов по параметру, например по параметру нагрузки. Идея метода состоит в том, что, проведя расчет п и двух значениях нагрузки Р, и Ра и зная уже значения а и Р при этих нагрузках, далее определяют начальное приближение при третьей [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...