Построение точки пересечения двух кривых

Для построения точки пересечения двух кривых [c.741]

Для построения линии взаимного пересечения двух кривых поверхностей пользуются методом вспомогательных секущих поверхностей (см. черт. 253). В качестве этих поверхностей используют не только плоскости, но и в некоторых случаях сферы, цилиндрические, конические и другие поверхности. Вспомогательные поверхности выбирают таким образом, чтобы с данными они пересекались по линиям, легко определяемым на чертеже. Желательно с этой точки зрения, чтобы эти линии получались прямыми или окружностями. что позволяет проводить их только с помощью циркуля и линейки. [c.87]

Порядок алгебраической кривой может быть определен наибольшим возможным числом точек пересечения ее с плоскостью. Рассмотрим с этой точки зрения кривую пересечения двух поверхностей 2-го порядка на черт. 286. При ее построении использовались плоскости о, каждая из которых определяла четыре точки кривой. Например, с помощью плоскости (02 были найдены точки Мт, Mg, и Af,o- Это означает, что плоскость <02 пересекает линию пересечения поверхностей в четырех точках. Любая другая плоскость также пересечет кривую в четырех точках, так как они будут точками пересечения двух сечений — кривых 2-го порядка, которые, находясь в одной плоскости, пересекаются в четырех точках (действительных различных, совпадающих или мнимых). [c.95]

Пересечение поверхностей, когда одна из них проецирующая (рис. 10.13). Если одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, то задача построения линии пересечения двух поверхностей упрощается и сводится к построению недостающих проекций кривой линии на одной из поверхностей по одной заданной проекции линии (см. 8.3). На рисунке 10.13 горизонтальная проекция линии пересечения прямого кругового цилиндра и сферы совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Фронтальная и профильная проекции линии построены по их принадлежности сфере с помощью проекций вспомогательных линий на сфере. Отметим характерные (опорные) точки линии пересечения, пользуясь горизонтальной проекцией. Высшая и низшая точки (их проекции 2 2, 2" м Г, 1, 1") лежат в плоскости симметрии фигуры, проходящей через центр сферы с проекциями о, о м ось цилиндра с проекциями о о , о-,. Горизонтальная проекция плоскости симметрии — прямая, проходящая через проекции о и О]. В пересечении этой прямой с проекцией цилиндра отмечаем горизонтальные проекции 2 и / высшей и низшей точек линии пересечения. Заметим, что точка 2 — ближайшая [c.140]

Для построения линии пересечения двух фигур чаще всего применяют метод вспомогательных плоскостей или поверхностей (посредников). В качестве посредников применяют плоскости или шаровые поверхности. Задачи решаются в такой последовательности проводят несколько удачно выбранных посредников. Каждый посредник пересекает заданные поверхности по простейшим линиям (прямым или окружностям) общие точки взаимного пересечения полученных линий принадлежат одной и другой поверхностям, т. е. принадлежат линии их пересечения. Найдя достаточное количество точек, соединяют их плавной кривой. Если пересекаются два многогранника, то при помощи посредников определяют точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго. Полученные точки соединяют между собой в определенной последовательности. [c.137]

Если же кривая поверхность нелинейчатая, то для построения линии пересечения такой поверхности плоскостью в общем случае следует применять вспомогательные плоскости. Точки искомой линии определяются в пересечении линий, по которым вспомогательна секущие плоскости пересекают данные поверхность и плоскость. Вспомним рис. 166, на котором был показан случай применения вспомогательных плоскостей для построения линии пересечения двух плоскостей. [c.232]

Еще один пример построения точек пересечения прямой линии с поверхностью, ограничивающей некоторое тело вращения, дан на рис. 391. Помимо двух плоскостей, тело ограничено двумя цилиндрическими поверхностями вращения и переходной между ними частью — поверхностью кругового кольца. В точке К прямая пересекает цилиндрическую поверхность и далее пересекает в точке /С поверхность кругового кольца. Для построения проекций этой точки найдена кривая с проекциями 1-2- , полученная при [c.261]

Решение задач способами начертательной геометрии осуществляется графическим путем. Простейшей геометрической операцией, которую приходится. выполнять в процессе решения, является определение точки пересечения двух линий. Учитывая, что все геометрические построения осуществляются с помощью только линейки и циркуля, то линиями, точку пересечения которых следует определять, являются прямые и окружности. Иными словами, путем проведения отрезков прямых и дуг окружностей (в редких случаях участков лекальных кривых) в определенной последовательности, устанавливаемой теоремами и правилами начертательной геометрии, можно решать сложные задачи из различных областей науки и техники. [c.4]

По данным, проиллюстрированным на рис. 2, были получены интервалы наиболее вероятного нахождения максимальных значений полуволн Я, Ь для различных степеней отклонения от нормы. Разграничение на интервалы производилось по точкам пересечения полигонов соответствующих длительностей. Наряду с этим разграничение производилось по точкам пересечения теоретических кривых функций нормального распределения, построенных по расчетным данным. Ордината точки пересечения двух полигонов численно равна вероятности непопадания искомого максимума в заданный интервал. Результаты приведены в табл. 3. [c.72]

Для построения линии пересечения линейчатой кривой поверхносга с плоскостью в общем случае применяют вспомогательные плоскости. Точки искомой линии определяются в пересечении линий, по которым вспомогательные секущие плоскости пересекают данные поверхность и плоскость. Примеры применения вспомогательных плоскостей рассмотрены ниже. Применение вспомогательной плоскости для построения линии пересечения двух плоскостей показано на рис. 4.9. [c.96]

Защитный ток может быть определен следующим образом. От диска с отверстиями направляется ток все возрастающей силы к сплошному диску и при этих условиях измеряется потенциал сплошного диска для каждой силы тока. Полученные данные служат для построения кривой зависимости потенциала от силы тока. Если график строить в логарифмической шкале, то, как правило, наблюдается первоначально более пологий ход прямой, а затем наклон становится круче. Эта точка перегиба, являющаяся как бы точкой пересечения двух прямых (рис. 3), и дает величину защитного тока. Для материалов, корродирующих при анодном ограничении скорости процесса, защитный ток может рассматриваться только как приближенная величина по отношению к истинной скорости коррозии, так как в этих условиях сила тока, необходимая для защиты против коррозии, всегда больше, чем сила местных токов. [c.1097]

Если бы речь шла о построении линии пересечения двух конических поверхностей с любыми основаниями и заданными или построенными следами в горизонтальной плоскости, то применение горизонтальных плоскостей привело бы к слишком долгим операциям каждая из горизонтальных плоскостей пересекла бы обе поверхности по кривым, подобным следам соответственных поверхностей однако они не были бы идентичны этим следам и их пришлось бы строить по точкам, каждую кривую в отдельности если же построить систему плоскостей, проходящих через прямую, соединяющую вершины обеих конусов, то каждая из этих плоскостей пересечет обе конические поверхности по четырем прямым, а эти прямые, лежащие в одной плоскости, пересекутся между собою, не считая вершин, в четырех точках, которые и будут принадлежать пересечению обеих поверхностей. В этом случае каждая из точек горизонтальной проекции линии пересечения поверхностей будет построена как точка пересечения двух прямых. [c.97]

Если характерные точки кривой находятся на значительных расстояниях друг от друга, то для уточнения характера кривой на этих участках надо построить еще несколько так называемых промежуточных точек. Для нахождения точек сечения применяется метод вспомогательных плоскостей, с которым в его более простой форме мы уже встречались раньше, например, при построении линии пересечения двух плоскостей ( 16, рис. 83). В этом случае проводится некоторая вспомогательная плоскость ф (рис. [c.245]

Построим линию пересечения конической поверхности с цилиндрической (рис. 347). Коническая поверхность задана направляющей кривой линией в плоскости Q и вершиной S. Цилиндрическая поверхность задана направляющей кривой в этой же плоскости Q и направлением образующих — стрелкой точки В. Построение такой линии аналогично случаю определения линии пересечения двух конических поверхностей, из которых одна имеет несобственную вершину. [c.238]

Их можно рассматривать как прямые, получаемые при сечении плоскостью конуса 2-го порядка как множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению 2-й степени как проекции окружности как кривые, получающиеся при пересечении двух проективных пучков прямых (проективное образование) как траектории точки, прямой или окружности, совершающей определенное движение (кинематическое образование) как огибающие и др. Выбор способа образования и, следовательно, построения зависит от условий задачи. [c.64]

Как видно из приведенного примера, аналитический метод позволяет избежать ошибок при проведении плавных кривых через построенные точки линии переходов. Характерным примером могут служить проекции линии пересечения двух торов (рис. 4.45), когда вид проекций линии их пересечения определяется только аналитически, решением системы уравнений обоих торов (софокусные гипербола и эллипс). [c.107]

Для построения кривой действительной упругости поступают следующим образом точки пересечения касательных с вертикальными линиями, проведенными через пересечение линии фокусов (тонкий пунктир) с горизонтами упругостей соответствующих слоев (если линия фокусов пересекает более двух слоев), переносят на границы слоев данного разреза и соединяют прямыми линиями (в примере, приведенном на рис. 147, упругость, равная 8,6 мм рт. ст., является действительной упругостью на границе первого и второго слоев). [c.277]

Ось вращения, как в предыдущей задаче, есть пересечение двух плоскостей, касательных к конусам постоянного удлинения, на которых лежат данные линии. Чтобы найти две другие не изменяющие направления линии, пользуемся началом, на котором основано вышеприведенное построение конуса постоянных направлений. Для этого строим поверхность удлинения и концентрическую с ней сферу, проходящую через точку, в которой ось вращения пересекает поверхность удлинения, и проводим через эту точку плоскость, перпендикулярную к данной нормали плоскость пересечет поверхность удлинения по кривой второго порядка, а сферу — по кругу из четырех точек А, В, С, В пересечения этих линий точка А будет лежать на оси вращения, точка В будет обладать тем свойством, что хорда АВ параллельна характеристике данной нормали, точки же С и В дадут нам хорды СА и СВ, параллельные искомым не изменяющим направления линиям. [c.54]

Сопоставление двух решений позволяет заключить, что в первом случае отпадает необходимость определять точку пересечения светового луча, который проходит через точку О, с плоскостью треугольника. Преимущества метода обратного луча становится более ощутимыми при построении теней от многогранника на многогранник и определении собственных теней тел, ограниченных кривыми поверхностями. [c.330]

Если на характеристику давления нагнетателя, построенную-при постоянном числе оборотов в координатах р—Ь, наложить полученную в тех же координатах и в том же масштабе характеристику сети, то точка пересечения этих двух кривых (рабочая точка) и определит давление и производительность данного нагнетателя в данной сети (рис. 44). [c.73]

На рис. 416 дана ) фронтальная проекция двух цилиндров вращения (Ц1 и Ц2) разных диаметров. Точка о — фронтальная проекция точки пересечения осей цилиндров. Фронтальная проекция получаемой биквадратной кривой представляет собою равностороннюю гиперболу (одну ее ветвь) с центром в точке о. Для построения применены сферы с общим центром в точке пересечения осей цилиндров. Сфера (Сф. /), вписанная в цилиндр большего диаметра, позволяет найти точку / — вершину гиперболы ). Сферы с большим радиусом дают другие точки искомой проекции кривой (например, сфера Сф. 2, точка ЗУ, если при этом радиус больше отрезка о 2, то получаются точки (например, 4) вне общей площади проекций обоих цилиндров. [c.289]

Перспектива интерьера нерегулярной схемы плана (рис. 379). Особенность данной схемы построения перспективы - использование точек схода двух взаимно перпендикулярных направлений (оси симметрии зала и поперечных вспомогательных прямых). Эти точки схода /i и /2 построены в пересечении с прямой, касательной к вершине направляющей кривой проекционной поверхности, что дает близкое совпадение с построением точек схода по приведенной ранее схеме (см. рис. 375). Перспективы высот средних точек полукружий рядов зала I, 11, III построены с помощью вертикальной размерной шкалы в масштабе плана и разреза, помещенной в точке п (N), на линии пересечения оси симметрии плана с прямой /1/2. [c.293]

ТОЧКИ ОПОРНЫЕ (характерные). Наиболее важные для построения точки проекции линии пересечения поверхностей двух пересекающихся тел. При построении на комплексном чертеже линии пересечения тел сначала определяют характерные точки этой линии и затем уже остальные. К характерным относятся высшая и низшая точки кривой, точки на очерках тел (граница видимости), особые точки кривой, если они имеются. [c.125]

И, наконец, в-третьих, применяемый в большинстве случаев способ проведения касательной к кривой в данной точке, по сути дела, на глаз дает часто весьма неопределенное направление проводимой касательной, а следовательно, и вполне ощутимую ошибку в длине подкасательной, т. е., в величине т. Во всех графических построениях направление любой прямой должно получаться соединением двух точек, которые, в свою очередь, получаются в виде пересечений двух прямых или кривых или прямой с кривой. Но здесь это геометрическое требование не соблюдается. Поэтому еще в начале XX столетия для избежания этого искажения результатов был предложен другой, более объективный, способ решения этой же задачи, в свое время вошедшей в большинство курсов и пособий, но ныне, судя по многим работам и отчетам, содержащим обработку экспериментальных данных, основательно забытый. Основывается этот способ на следующих соображениях. [c.43]

Способ Роберваля построения касательной к кривой, заданной законом движения образующей точки. Применение этого способа к эллипсу и к линии пересечения двух эллипсоидов вращения, имеющих общий фокус [c.128]

На чс п. 277 построение линии пересечения двух цилиндрических новерхностей осуществл( но с помощью плоскостей о) , (1)2, u) i и т. д., параллельных их образующим. В чтом случа( предварительно задают некоторую плоскость О), называемую плоскостью параллелизма. Линии а и Ь этой плоскости проводят параллельно соответственно образующим первого и второго цилиндров. Все плоскости семейства со параллельны между собой и пересекаются с Плоскостью оснований цилиндров по параллельным прямым /i /, /зЦ/ И т, д.), а обе цилиндрические поверхности по образующим. Точки искЬмой кривой линии являются точками пересечения соответствующих образующих. [c.88]

Если для какой-либо другой точки, например Ь", проведенная через нее горизонтальная линия несколько раз (например, дважды в точках Ь и Ь[) пересекает кривую и = и (х), то совершенно аналогичное построение делается во всех точках пересечения, а влево от точки Ь" откладывается сумма всех отрезков подкаса-тельных. Если для какой-либо точки С" горизонтальная прямая является сама касательной к кривой и = и (дг) и построение прямоугольника невозможно, то это означает, что ф (и) в этой точке уходит в бесконечность. Если для какой-либо точки касательная к кривой и = и (х) вертикальна, то это означает, что отрезок под-касательной равен нулю, и, следовательно, ф (и) = 0. Если на кривой и = и (х) имеется угловая точка пересечения двух ее ветвей, то ордината ф (и) может быть построена по сумме отрезков двух подкасательных в непосредственно близких к ней точках. Таким образом, для основных видов графиков и = и (л ) построение кривой распределения ф х) в любом масштабе не представляет трудностей. [c.43]

Подобное построение также осуществляется довольно просто, поскольку залание обоих позиционных координат определяет точку на плоскости С01, 002 являющуюся пересечением двух кривых второго порядка. [c.339]

Обпщй способ построения линии пересечения д кривык поверхностей между собой. В общем случае линию пересечения двух кривых поверхностей между собой строят по точкам, которые находят с помощью вспомогательных секущих поверхностей. [c.117]

Мы дали (фиг. 26) сиособ построения проекций линий пересечения двух кривых поверхностей, определенных по форме и положению мы это сделали отвлеченным образом, не занимаясь природой вопросов, для которых подобные исследования могли бы понадобиться. Такое абстрактное изложение достаточно для различных областей искусства так, если взять для примера искусство разрезки камней или дерева, то рассматриваемые здесь кривые поверхности, линии пересечения которых отыскиваются, составляют обычно главную задачу и представляются в явном виде. Но поскольку начертательная геометрия должна стать когда-нибудь одним из главных вопросов народного образования, ибо даваемые ею методы нужны мастерам своего дела не меньше чем чтение, письмо или арифметика, мы считаем полезным показать на нескольких примерах, как она может дополнять анализ при решении большого числа вопросов, на первый взгляд далеких от возможности применения к ним этих способов. Мы начнем с примеров, требующих пересечения плоскостей, и перейдем затем к таким, для которых нужны пересечения кривых поверхностей. [c.132]

На рис. 4.39 покааано построение линии пересечения на примере полусферы, усеченной двумя профильными плоскостями, с вертикальным цилиндром вращения. Так как цилиндр относительно горизонтальной проекции является проецирующим, горизонтальная проекция линии взаимного пересечения совпадает с проекцией цилиндра. Для определения ее фронтальной и профильной проекций целесообразно воспользоваться фронтальными секущими плоскостями. Поскольку цилиндр касается экватора полусферы, имеет место случай одностороннего внутреннего соприкасания двух поверхностей в точке 1. Высшая точка 2 кривой взаимного пересечения определена при помощи фронтальной секущей плоскости А—А, которая пересечет полусферу по окружности определенного радиуса во фронтальном положении. Опорные точки 3 и 4, [c.106]

На рис. 3.80 дан пример построения плавного перехода от одной кривой к другой по дуге окружности заданного радиуса. Положение центра О сопрягающей дуги определено пересечением двух вепомога-тельных эквидистант, точки сопряжений М к N лежат на нормалях, проведенных из центра сопрягающей дуги. Требуемая точность определения координат точек сопряжений может быть обеспечена аналитическим решением или выполнением чертежей в крупном мае-штабе. [c.82]

Это означает, что фазы могут находиться в равновесии лишь при определенных (а не при произвольных) значениях р и Т. Совокупность точек р и Т, отвечающих равновесию фаз, на диаграмме, построенной в осях р и Т, образует кривую равновесия фаз. Если состояние тела с фазой 1 меняется вдоль линии, пересекающей кривую равновесия, то в точке пересечения линии изменения состояния с кривой равновесия наступит расслоение системы на две фазы (1 и 2), после чего тело перейдет в другую фазу 2. Очевидно, что вне кривой равновесия двух фаз устойчивой будет та из них, для которой термодинамический потенциал меньше. При этом, как установлено, при определенных условиях система может остаться однородной в состоянии с фазой I и после перехода через кривую равновесия в область, в которой равновесной должна быть фаза 2 (например, переохлажденный пар, перегретая жидкость). Возникающее состояние окажется ме-тастабильным. [c.250]

Для графического определения состава изопиестических растворов предложен следующий способ (рис. 1-10). По экспериментальным данным строят график зависимости отношения изопиестических концентраций двух солей m i/m 2 от концентрации одной из них (m2). На продолжении оси ординат откладывают значения отношения концентраций солей, для которого ведется расчет, а на оси абсцисс — концентрацию соли m2 в смешанном растворе. Соединяя эти две точки прямой, продолжают ее до пересечения с построенной кривой. Абсцисса точки пересечения соответствует концентрации m2 в изопие-стическом растворе. [c.24]

Графоаналитический метод расчета трубопроводов, основанный на равенстве (8.28), заключается в совместном построении (на одном графике и в одинаковых масштабах) двух кривых кривой потребного напора Яд отр =f(Q) и характеристики насоса Hяa =f2(Q) — и в нахождении их точки пересечения. Подробнее о характеристиках насосов см. в гл. 13—16. [c.135]

С ПОМОЩЬЮ интегральной кривой распределения частиц по размерам, построенной в вероятностно-логариф-мической системе координат (если график имеет вид. прямой, свидетельствующий о логарифмически-нормаль-пом характере изучаемого распределения), можно выразить это распределение в виде двух параметров бм и 1 а. Значению 650 отвечает точка пересечения графика с осью абсцисс, а lga находят из соотнощения, которое является свойством интеграла вероятности [c.223]

Аналогично сказанному, штриховая кривая на рис. 2.15 имеет тот же смысл, что и такая же кривая, получаемая из уравнения (2.35) при этом геометрическое место точек, где график частотной характеристики пересекает соответствуюш,ую кривую, построенную для случая свободных колебаний, можно найти, решив систему уравнений (2.35) и (2.41). Результируюш,ее выражение имеет тот же вид, что и полученное ранее выражение (2.42), поэтому штрихпунк-тирная линия на рис. 2.15 является такой же гиперболой. В этом случае возможно суш,ествование двух точек пересечения графиков, указывающее на наличие- верхней ветви частотной характеристики, которая не имеет физического смысла. [c.164]

Если точка г, в которой пересекаются прямые ко и рп, лежит от соответственных осей на меньшем расстоянии, чем точки к, р, то очевидно, что обе окружности кругов пересекаются в двух точках, имеющих общую вертикальную проекцию в точке г и кривая, проведенная через все построенные таким образом точки г, будет вертикальной проекцией линии пересечения двух поверхностей. Проектируя точку г на окружность круга КЯОК в точки к и к, мы получим горизонтальные проекций двух точек пересечения окружностей кругов, лежащих на одном и том же шаре кривая, проведенная через все точки Я, / , такам образом построенные, будет горизонтальной проекцией искомой линии пересечения. [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...