Сечение конуса плоскостью

Точки 7 и 8, принадлежащие кривой сечения конуса плоскостью, проведенной параллельно оси конуса, находят обычным проецированием. Для нахождения промежуточных точек, например 9, воспользуемся уже известным способом — проведем горизонтальную секущую плоскость Б—Б] найдем горизонтальные проекции 9н точек, а на горизонтальной линии связи, проведенной из 9v,— профильную проекцию 9w этой точки. [c.121]

Точки К, М н N задают (рис. 287, б) сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к его оси. [c.239]

Рассмотрим сначала сечение конуса плоскостью, проходящей через точку А [c.263]

Уравнение (70) как раз представляет собой уравнение конического сечения (эллипс, окружность, парабола или гипербола) в полярных координатах (рис. 9.20). Из курса аналитической геометрии известно, что уравнение конического сечения (т. е. сечения конуса плоскостью) в полярных координатах может быть написано в таком общем виде [c.289]

Рис. 160. Сечение конуса плоскостью общего положения

Эти кривые называют иногда коническими сечениями , так как они могут быть получены в сечении конуса плоскостью (см. 3 главы IX). [c.168]

Если секущая плоскость 0(0г) параллельна двум образующим конуса, то получим гиперболу. Очевидно, по таким же суждениям, как об эллипсе и параболе, можно утверждать, что гипербола имеет две бесконечно удаленные точки. Таким образом, три указанные кривые, имеющие одинаковое происхождение как сечения конуса плоскостью, можно различать по числу их бесконечно удаленных точек эллипс бесконечно удаленных точек не имеет парабола имеет одну, а гипербола — две бесконечно удаленные точки. По аналогии с п. 3, секущая плоскость, будучи параллельна двум образующим, может проходить через них. При этом фигурой сечения будут эти же самые образующие, и мы получим так называемую распавшуюся или выродившуюся гиперболу в виде двух пересекающихся прямых. [c.270]

Докажем, что если конус вращения пересечен плоскостью так, что а>ф (рис. 327), то в сечении получим эллипс. Фронтальная проекция фигуры сечения конуса плоскостью изобразится отрезком Qi. Построим проекцию сечения на какой-нибудь плоскости проекций П , параллельной плоскости 0(0а). [c.271]

Рассматривая конус, как предел вписанной в него пирамиды с той же вершиной, убеждаемся, что центр тяжести конуса лежит на отрезке, соединяющем вершину конуса с центром тяжести основания, на расстоянии трех четвертей длины этого отрезка от вершины. Можно также сказать, что центр тяжести конуса совпадает с центром тяжести сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и проведенной на расстоянии одной четверти высоты конуса от основания. [c.278]

Пример 66. Центр масс конуса. Плошадь Q какого либо сечения конуса плоскостью, параллельной его основанию, представляется так (фиг. 95) [c.251]

Продольное сечение конуса — сечение конуса плоскостью, в которой лежит ось конуса (рис. 4.2, г). [c.93]

Поперечное сечение конуса — сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса (рис. 4.2, д). [c.93]

Если секущая плоскость пересекает носитель грани, совместное решение дает уравнение линии Li одного из следующих типов прямая, окружность, эллипс, парабола, две ветви гиперболы, пара параллельных прямых, две пересекающиеся прямые. Прямая — результат сечения плоской грани, окружность — сечения сферической грани или нормального сечения цилиндрической и конической граней. Пара параллельных прямых (две ветви гиперболы) появляются при сечении цилиндра (конуса) плоскостью, параллельной оси, эллипс — при наклонном сечении цилиндра или конуса, парабола —при сечении конуса плоскостью, параллельной образующей. Конкретный тип в случае кривой второго порядка распознается с помощью инвариантов уравнения второй степени малого дискриминанта [c.104]

Круглый резец, рассчитанный на обработку детали с конусным участком, представляет собой усечённый конус. В сечении конуса плоскостью, отстоящей на некотором расстоянии от оси резца, получается не прямая, а дуга гиперболы. Выпуклая режущая кромка поверхности резца придаёт конусному участку [c.290]

В круговом конусе ось х является осью симметрии конуса, 0 равно половине угла раствора конуса, а -линии остаются по-прежнему образующими, а аа-линии превращаются в поперечные сечения, т. е. в сечения конуса плоскостями, ортогональными оси X (рис. 19). [c.156]

Решение. Горизонтальная проекция Ся —Bfj гиперболы сечения конуса плоскостью, параллельной оси конуса, представляет собой прямую линию, так как секущая плоскость является горизонтально-проектирующей. [c.146]

Произвольное сечение конуса плоскостью, нормальной к оси Ох. имеет оси Я(1—х) и В(1—5), где Н и В — большая и малая внешние оси у закрепленного конца соответственно. [c.94]

Параллелями поверхности конуса являются окружности — линии сечения конуса плоскостями, перпендикулярными его оси. [c.139]

Соединив найденные семь точек на плоскостях Н и W плавными кривыми, получим горизонтальную и профильную проекции сечения конуса плоскостью Р. [c.130]

Какие плоские фигуры могут быть в сечении конуса плоскостью [c.141]

АВС равен половине угла, стягиваемого дугой СЬ, а угол СМЬ опирается на эту дугу, то эти углы равны. Следовательно, плоскость П ориентирована по отношению к конусу так же, как и плоскость ху (поворотом вокруг оси конуса на угол тг плоскость П переводится в положение, параллельное плоскости ху). Следовательно, сечение конуса плоскостью П — тоже окружность. Плоскость П сечет сферу по окружности, поскольку точки Ь и М. у этих окружностей общие, то они совпадают. [c.40]

Допускается вычерчивание фасок на боковых гранях головки болта. Построение их дано на чертежах табл. 10. Следует учесть, что дуги, ограничивающие боковые грани головки болта, являются дугами гипербол (так как они получены в результате сечения конуса плоскостями, параллельными его оси). При упрощенном вычерчивании они заменяются дугами окружностей. [c.54]

Рис. 136. Сечение конуса плоскостью

Тень от одного тела на поверхность другого. Для построения тени от конуса на призму (рис. 660) следует найти границу собственной тени конуса. Отметим точку 3 пересечения тени ]—S с ребром с, где начинается тень, падающая от конуса на призму. Построив сечение конуса плоскостью I2 на высоте ребра Ь, проведем тень на этой плоскости [c.460]

Угол SA равен углу SBA (построения производятся в плоскости главных меридианов, поэтому проекции углов, о которых идет речь (см. /43/), равны углам в натуре), так как оба угла опираются на равные дуги. Это возможно лишь в том случае, когда сечения конической поверхности плоскостями I и П антипараллельны (см. рис. 311), а следовательно, подобны. Так как сечение конуса плоскостью 2 — окружность, то и сечение конуса плоскостью П также окружность (диаметра АВ). [c.125]

Построить полную развертку усеченной Найти сечение конуса плоскостью а и [c.96]

Выполнение профиля, образованного более сложными кривыми, труднее, но также может быть осуществлено на станке. Необходимое для этого приспособление (рис. 188, а) представляет собой оправку для установки калибра параллельно образующей конуса на заданном расстоянии Н от вершины. Оправку с калибром устанавливают в упорных центрах круглошлифовального станка. После шлифования параллельно образующей конуса калибр получит очертание параболы. Аналогично, только меняя элементы конической части оправки и угол наклона ее опоры к оси, получают другие профили (рис. 188, б), представляющие сечения конуса плоскостью эллипс или гиперболу. [c.197]

Проекции точек, принадлежащих конической поверхности, строят с помощью окружностей или образующих, проведенных через заданные точки. Это основано на положении точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии этой поверхности. Пусть на боковой поверхности прямого конуса имеется точка А, которая задана своей фронтальной проекцией — точкой а (рис. 234, а). Для построения остальных проекций точки А использована вспомогательная окружность радиуса Эта окружность получена при сечении конуса плоскостью Р, перпендикулярной его оси и проведенной через точку А. [c.130]

Контрольные вопросы и упражнения 1. Какую форму могут иметь сечения цилиндра плоскостью 2. Как построить промежуточные точки для эллипса, полученного при сечении конуса плоскостью 3. Постройте изометрическую проекцию конуса с вырезом (рис. 266). [c.150]

Лекальные кривые, полученные при сечении конуса плоскостью, строят по точкам с помощью вспомогательных линий. Вначале определяют положение вершин и замыкающих хорд (для парабол и rnnep6oJt) или больших и малых осей (для эллипсов). Затем строят точки, расположенные на очерковых образующих конуса, и некоторое число промежуточных точек, определяемое то пюс1ью построения. [c.48]

Решение. Горизонтальная проекция Сн Вн гиперболы сечения конуса плоскостью, параллельной двум его образующим, представляет собой отрезок прямой, так как секущая плоскость язляет-ся горизонтально-проецир ующей (рис. 4.35). [c.101]

Но проецирующий посредник не всегда обеспечивает кратчайшее реше- ние задачи. На рис.152, б эта же задача решена с помошью плоскости Р(Р, Р2) общего положения, проходящей через вершину 8 конуса. Чтобы задать такую плоскость, проведём через 82 прямую (82А2), отметим горизонтальную проекцию А точки её пересечения с заданной прямой / и проведём (8 А]). Найдём горизонтальные следы прямых (8А) и /, совместив горизонтальную плоскость проекций с основанием конуса Сг = /2ЛХ -> С - горизонтальный след прямой / Вг = (82А2)Пх -+ В1 - горизонтальный след прямой (8А). (СВ) = РПП1 - горизонтальный след плоскости р. Фигура 1 -8г2 является горизонтальной проекцией сечения конуса плоскостью р, а N1 = (81-1 )Л/1 и М1 = (81-2 )П/1 - горизонтальные проекции точек (М, Н) = /Па. Их фронтальные М2, N2 проекции отмечаем по линии связи. [c.151]

Известно, что в сечении конуса плоскостью, параллельной его оси, обра- [c.182]

Наметим ряд случайных параллелей, полученных сечением конуса плоскостью типа у(у2) отметим проекции точек их пересечения с плоскостью р и соединим плавной кривой к . (М , N2) = 1С2П/2 (Mi, N ). Точки M(M М2) и N(N N2) являются точками пересечения прямой / с поверхностью а. [c.171]

Известно, что в сечении конуса плоскостью, параллельной его оси, образуется гипербола. Следовательно, в нашем случае грани с конусом пересекаются по гиперболам. Из точки S опустим перпендикуляры на грани и отметим точки А и F - горизонтальные проекции вершин гипербол. Построим параллели, радиусы которых равны отрезкам [SiAJ и [S F ] соответственно, укажем [c.205]

На рис. 477 показано построение координатных отрезков для точки, заданной на поверхности усеченного конуса вращения в изометрической проекции (рис. 477, а). Положим, что мы имеем сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса и точку В (рис. 477, б). В полученной трапеции проведена прямая S/5I1 D и пересекающая ее в точке К прямая ВО. Получаем ОК КВ= = 0Л AD. Но эта пропорция сохранится и в изометрической проекции. Построим конус с вершиной в точке S и с образующей, параллельной образующей усеченного конуса (рис. 477, в). Отношение О Ai AiDi повторяет отношение О А AD, содержащееся в указанной выше пропорции. Теперь можно получить точку К па ОВ на рис. 477, в. Образующая, проведенная через точки S и Е, определяет точку К (рис. 477, г) и проекцию 0F образующей, на которой находится точка В. Отсюда мы получаем возможность получить вторичную проекцию Ь (рис. 477, д) и координатные отрезки ВЬ, Ы и 01, определяющие координаты г, у и X. [c.347]

IV. Длина малой оси получена путем сечения конуса вертикальной плоскостью, проходящей через точку О. Это сечение будет окружностью, которую вращением вокруг горизонтальной оси повернули в горизонтальное положение, а хорда 041 будет являться половиной длины малой оси эллипса, т. е. 04i — = 0/У=0///. По большой и малой осям эллипса строят эллипс способом, описанным на рис. 43. Точки 5 V) и 6 VI) ограничивают часть эллипса, относящуюся к сечению конуса плоскостью по линии Т—Т. Секущая плоскость пересекает цилиндр по части эллипса, отдельные точки которого получены так заднее основание цилиндра (окружность) повернуто вокруг горизонтального диаметра до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций (на рис. 65 показана половина этой окружности). Тогда отрезок а8 соответствует половине длины хорды VII VIII, отрезок Ы0 — половине длины хорды IX X и соответственно отрезок 12i — половине длины хорды XI XII. Соединяя последовательно найденные точки, получим истинную величину сечения. [c.37]

Когда плоскость проецирующая, можно установить характер сечения без вспомогательных построений на рис. 321 показано эллиптическое сечение конуса плоскостью О,. Чтобы построить его горизонтальную проекцию, воспользуемся тем, что фронтальная проекция — отрезок — известна. Точки В и Сх — горизонтальные проекции концов большой оси эллипса — лежат на горизонтальной проекции очерка поверхности относительно плоскости Пг — прямой, проходящей через точку 51 перпендикулярно линиям проекционной связи. Чтобы найти горизонтальные проекции концов меньшей оси, разделим отрезок ВгСг пополам и через полученную точку Ог —Ег проведем фронтальные проекции образующих = Л 5. Найдя их горизонтальные проекции, построим на них соответственно точки Вх и Ех- Пользоваться линиями проекционной связи здесь неудобно, так как они пересекаются с горизонтальными проекциями образующих под острым углом и построение будет неточным. Поэтому проведем через точки В и Е окружность, лежащую на конической поверхности ее фронтальная проекция перпендикулярна линиям проекционной связи. Отйетив точку К пересечения окружности с очерковой относительно Пг образующей, определим радиус окружности он равен расстоянию от точки Кг ДО фронтальной проекции оси конуса. Для построения точек 01 и 1 остается провести окружность с центром в точке 51 найденного радиуса до пересечения [c.212]

К особой группе относятся сечения плоскостью поверхности прямого KTivroBoro конуса. На рис. 156 показано сечение конуса плоскостью Т, пе- 156 ресекающей все его образующие. Такое сечение представляет собой эллипс, проектирующийся на плоскость V в отрезок прямой а с. Чтобы построить горизонтальную проекцию сечения (рис. 156,6), отметим произвольные точки, например, к ш.г и с помощью образующих находим их горизонтальные проекции. Точки а и с расположены на очерковых образующих конуса. Их горизонтальные проекции лежат на оси горизонтальной проекции конуса, параллельной оси Ох. Отрезок ас равен одной из осей эллипса. Чтобы определить положение и величину малой оси, разделим отрезок а с пополам и, отметив точки Ь и d, найдем их горизонтальные проекции Ь VI d. Расстояние между точками Ь п d является второй осью эллипса. Натуральная величина эллипса построена способом вращения. [c.108]

На рис. 216 показано по-строенио теней от отрезков ММ и ЕР на поверхность конуса, Тень от отрезка ММ на плоскости Н направлена по лучу>>. Тень от этого отрезка на конической поверхности (от точки 4) определяется так же, как в задаче на построение сечения конуса плоскостью. Линия теии представляет собой часть гиперболы. Тень от отрезка ЕР на поверхности конуса построим, если найдем тень от этого отрезка на плоскости Н (еР ) и отметим точку 1, в которой она переходит на конус. Рассечем конус и прямую ЕР произвольно взятой горизонтальной плоскостью Р (Ру). С конусом она пересечется по окружности, с прямой ЕР в точке 2. Построим тень от прямой ЕР на плоскость Р. Она параллельна тени еР на плоскость Н (см. рис. 215) и пересекается с конусом в точке 3. Рассекая конус и отрезок несколькими плоскостями (плоскостью Р, Q...), получпм необходимые точки для построения тени, которые соединяем плавной кривой линией. [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...